RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6
Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6 Textbook Exercise Questions and Answers.
RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6
प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए-
(i) \(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}=2\)
\(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}\)
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
\(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}\) = 2
और \(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}\)
\(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = v, प्रतिस्थापित करने पर
\(\frac{u}{2}+\frac{v}{3}\) = 2
या \(\frac{3 u+2 v}{6}\) = 2
या 3u + 2v = 12 .......(1)
और \(\frac{u}{3}+\frac{v}{2}=\frac{13}{6}\)
या \(\frac{2 u+3 v}{6}=\frac{13}{6}\)
या 2u + 3y = 13 .......(2)
समीकरण (1) को 2 से और (2) को 3 से गुणा करने पर,
6u + 4v = 24 .......(3)
और 6u + 9v = 39 .......(4)
समीकरण (4) में से (3) को घटाने पर,
v के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
3u + 2(3) = 12
या 3u + 6 = 12
या 3u = 12 - 6 = 6
या u = 2
अतः x = \(\frac{1}{2}\) और y = \(\frac{1}{3}\)
(ii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}=2\)
\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}=-1\)
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
\(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}} = 2\) और \(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}} = -1\)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = u और \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = v प्रतिस्थापित करने पर
2u + 3v = 2 .......(1)
और 4u - 9v = -1 .......(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
4u + 6v = 4 .......(3)
समीकरण (2) में से (3) को घटाने पर,
अतः x = 4 और y = 9
(iii) \(\frac{4}{x}\) + 3y = 14
\(\frac{3}{x}\) - 4y = 23
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
\(\frac{4}{x}\) + 3y = 14 और \(\frac{3}{x}\) - 4y = 23
\(\frac{1}{x}\) = v रखने पर
4v + 3y = 14 ......(1)
और 3v - 4y = 23 .........(2)
समीकरण (1) को 3 से और (2) को 4 से गुणा करने पर
12v + 9y = 42 ........(3)
और 12v - 16y = 92 ........(4)
समीकरण (4) में से (3) घटाने पर
y के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
4v + 3(-2) = 14
या 4v - 6 = 14
या 4v = 14 + 6 = 20
या v = 5
परन्तु \(\frac{1}{x}\) = v
या x = \(\frac{1}{v}=\frac{1}{5}\)
अतः, x = \(\frac{1}{5}\) और y = -2
(iv) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}=2\)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}=1\)
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
\(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2} = 2\)
और \(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2} = 1\)
\(\frac{1}{x-1}\) = u
और \(\frac{1}{y-2}\) = v रखने पर
5u + v = 2 ......(1)
और 6u - 3v = 1 ......(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर
15u + 3v = 6 ......(3)
समीकरण (3) व (2) को जोड़ने पर
15u + 3v = 6
6u - 3y = 1
21u = 7
u = 3
u के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
5 × \(\frac{1}{3}\) + v = 2
या v = 2 - \(\frac{5}{3}\)
या v = \(\frac{1}{3}\)
परन्तु \(\frac{1}{x-1}\) = u और \(\frac{1}{y-2}\) = v
या \(\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}\) या \(\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}\)
या x - 1 = 3 या y - 2 = 3
या x = 3 + 1 या y = 3 + 2
या x = 4 या y = 5
अतः x = 4 और y = 5
(v) \(\frac{7 x-2 y}{x y}\) = 5
\(\frac{8 x+7 y}{x y}\) = 15
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
-2u + 7v = 5 .......(1)
7u + 8v = 15 ......(2)
(1) को 7 से और (2) को 2 से गुणा करने
-14v + 49u = 35 .........(3)
और 14v + 16u = 30 ......(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर
-14v + 49u = 35
14v + 16u = 30
65u = 65
u = 1
u के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
-2(1) + 7v = 5
या 7v = 5 + 2
या 7v = 7
या v = 1
अतः, x = 1 और y = 1
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
6x + 3y = 6xy और 2x + 4y = 5xy
\(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = v प्रतिस्थापित करने पर
u + 2v = 2 .......(1)
और 4u + 2v = 5 .......(2)
समीकरण (2) में से (1) घटाने पर
u के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
1 + 2v = 2
या 2v = 2 - 1 = 1
या v = \(\frac{1}{2}\)
परन्तु \(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = v
या \(\frac{1}{x}\) = 1 या \(\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
या x = 1 या y = 2
अतः, x = 1 और y = 2
(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = -2
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
\(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
और \(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = -2
\(\frac{1}{x+y}\) = u और \(\frac{1}{x-y}\) = v को प्रतिस्थापित करने पर
10u + 2v = 4 या 5u + v = 2 ......(1)
15u - 5v = -2 ....(2)
(1) को 5 से गुणा करने पर
25u + 5v = 10 ......(3)
समीकरण (3) घ (2) को जोड़ने पर
25u + 5v = 10
15u - 5v = -2
40u = 8
u = \(\frac{8}{40}=\frac{1}{5}\)
u को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
\(5\left(\frac{1}{5}\right)\) + v = 2
या 1 + v = 2
या v = 1
परन्तु \(\frac{1}{x+y}\) = u
और \(\frac{1}{x-y}\) = v
या \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\)
या \(\frac{1}{x-y}\) = 1
या x + y = 5 .......(4)
या x - y = 1 .........(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर
3 + y = 5
y = 5 - 3 = 2
अंतः x = 3 और y = 2
(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=\frac{-1}{8}\)
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण युग्म है :
या 4u + 4v = 3 ......(1) या 4u - 4v = -1 ......(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
4u + 4v = 3
4u - 4v = -1
8u = 2
u = \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
u एक इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
\(4\left(\frac{1}{4}\right)\) + 4v = 3
या 4v = 2
या v = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
परन्तु \(\frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4} और \frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}\)
या 3x + y = 4 ......(3)
या 3x - y = 2 .....(4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर
3x + y = 4
3x - y = 2
या 6x = 6
या x = 1
x के इस मान को (3) में प्रतिस्थापित करने पर
3(1) + y = 4
या 3 + y = 4
या y = 4 - 3 = 1
अतः, x = 1 और y = 1
प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिये और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 km. तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4 km. तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि स्थिर जल में रितु की चाल = x किमी./घण्टा
और धारा की चाल = y किमी./घण्टा
धारा के विरुद्ध चाल = (x - y) किमी./घण्टा
और धारा की दिशा में चाल = (x + y) किमी./घण्टा
रितु द्वारा धारा की दिशा में 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय = (x + y) × 2 किमी.
पहली शर्त के अनुसार
2(x + y) = 20
x + y = 10 ......(1)
रितु द्वारा धारा के विरुद्ध 2 घण्टे में तय की गई दूरी = चाल × समय = 2(x - y) किमी.
दूसरी शर्त के अनुसार,
2(x - y) = 4
x - y = 2 ......(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
x + y = 10
x - y = 2
2x = 12
x = 6
x के इस मान को (1) में रखने पर
6 + y = 10
y = 10 - 6 = 4
अतः, रितु की स्थिर जल में चाल = 6 किमी./घण्टा
और धारा की चाल = 4 किमी./घण्टा
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी? पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा?
हल-
माना कि एक महिला काम समाप्त कर सकती है = x दिन में
एक पुरुष काम को समाप्त कर सकता है = y दिन में
तब, एक महिला का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{x}\)
एक पुरुष का 1 दिन का काम = \(\frac{1}{y}\)
पहली शर्त के अनुसार,
\(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\) ......(1)
दूसरी शर्त के अनुसार,
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\) ......(2)
\(\frac{1}{x}\) = u और \(\frac{1}{y}\) = v रखने पर,
(1) व (2) से
2u + 5v = \(\frac{1}{4}\)
8u + 20v = 1 ......(3)
और 3u + 6v = \(\frac{1}{3}\)
9u + 18v = 1 ......(4)
समीकरण (3) को 9 से और (4) को 8 से गुणा करने पर
72u + 180v = 9 ......(5)
और 72u + 144v = 8 ......(6)
समीकरण (5) में से (6) को घटाने पर
अतः, एक महिला और एक पुरुष अकेले-अकेले काम को क्रमशः 18 दिन और 36 दिन में पूरा कर सकते हैं।
(iii) रूही 300 km. दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km. रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 km. रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
हल-
माना कि रेलगाड़ी की चाल = x किमी./घण्टा
और बस की चाल = y किमी./घण्टा
कुल दूरी = 300 किमी.
स्थिति I
60 किमी. दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}=\frac{60}{x}\) घण्टे
बस द्वारा (300 - 60 = 240) किमी. दूरी तय करने में लिया गया
समय = \(\frac{240}{y}\) घण्टे
कुल समय = \(\left(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}\right)\) घण्टे
पहली शर्त के अनुसार,
\(\frac{60}{x}+\frac{240}{y}\) = 4
या \(\frac{15}{x}+\frac{60}{y}\) = 1 .....(1)
स्थिति II
रेलगाड़ी द्वारा 100 किमी. दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{100}{x}\) घण्टे
बस द्वारा (300 - 100 = 200) किमी. दूरी तय करने में लिया गया समय = \(\frac{200}{y}\) घण्टे
कुल समय = \(\left(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}\right)\) घण्टे
दूसरी शर्त के अनुसार,
अतः, रेलगाड़ी की और बस की चाल क्रमश: 60 किमी./घण्टा और 80 किमी./घण्टा है।
