RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

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RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइये और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए-
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिये लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य 50 रु. है, जबकि 7 पेंसिलों और 5 कलमों का कुल मूल्य 46 रु. है। एक पेंसिल का मूल्य और एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल-
(i) माना कि
प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = x
और प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = y
प्रतियोगिता में भाग लेने वाले कल विद्यार्थी = 10
∴ x + y = 10
या x + y - 10 = 0
प्रश्नानुसार y = x + 4
या x = y - 4
अब रैखिक समीकरणों x + y = 10
और x - y + 4 = 0 का आलेख खींचने पर
x + y = 10
x = 10 - y .......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 - 0 = 10
y = 7 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 - 7 = 3
y = 10 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 10 - 10 = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q1(i)

बिन्दुओं A(10, 0), B (3, 7), C (0, 10) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।
x - y + 4 = 0
या x = y - 4 ......(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 0 - 4 = -4
y = 7 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 7 - 4 = 3
y = 4 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 4 - 4 = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q1(i).1

बिन्दुओं D(-4, 0), B(3, 7), E(0, 4) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x - y + 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु B(3, 7) पर मिलते
∴ बिन्दु B(3, 7) आलेखीय स्थिति है। अतः प्रतियोगिता में लड़कों की संख्या = 3
प्रतियोगिता में लड़कियों की संख्या = 7

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

(ii) माना कि 1 पेंसिल का मूल्य = x रु.
और 1 कलम का मूल्य = y रु.
पहली शर्त के अनुसार,
5x + 7y = 50
दूसरी शर्त के अनुसार,
7x + 5y = 46
रैखिक समीकरण युग्म है :
5x + 7y = 50
7x + 5y = 46
अब इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर
5x + 7y = 50
या 5x = 50 - 7y
या x = \(\frac{50-7 y}{5}\) ......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{50-7 \times 0}{5}=\frac{50}{5}\) = 10
x = 10
y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{50-7 \times 5}{5}=\frac{50-35}{5}\) = 3
y = 10 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{50-7 \times 10}{5} = \frac{50-70}{5}=\frac{-20}{5}\) = -4

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q1(ii)

बिन्दुओं A(10, 0), B(3, 5), C(-4, 10) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 5x + 7y = 50 का आलेख प्राप्त होता है।
अब दूसरे समीकरण से
7x + 5y = 46
या 7x = 46 - 5y
या x = \(\frac{46-5 y}{7}\) ....(2)
y = 12 रखने पर,
x = \(\frac{46-5 \times 12}{7} = \frac{46-60}{7}=\frac{-14}{7}\) = -2
y = 5 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{46-5 \times 5}{7}=\frac{46-25}{7}\) = 3
y = -2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = \(\frac{46-5 \times(-2)}{7} = \frac{46+10}{7}\) = 8

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q1(ii).1

बिन्दुओं E(-2, 12), B(3, 5), F(8, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 7x + 5y = 46 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दोनों रैखिक समीकरण बिन्दु B(3, 5) पर मिलते हैं।
∴ बिन्दु B (3, 5) आलेखीय स्थिति है।
अतः, एक पेंसिल का मूल्य = 3 रु.
एक कलम का मूल्य = 5 रु.

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q1(ii).2
प्रश्न 2.
अनुपाता \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समान्तर हैं अथवा संपाती हैं :
(i) 5x - 4y + 8 = 0
7x + 6y - 9 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
5x - 4y + 8 = 0
और 7x + 6y - 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
यहाँ a1 = 5, b1 = -4, c1 = 8
a2 = 7, b2 = 6, c2 = -9

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q2(i)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण युग्म एक बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है।

(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण युग्म है :
9x + 3y + 12 = 0
और 18x + 6y + 24 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
यहाँ a1 = 9, b1 = 3, c1 = 12
a2 = 18, b2 = 6, c2 = 24

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q2(ii)

अतः, दी गई समीकरण-युग्म संपाती है।

(iii) 6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
6x - 3y + 10 = 0
और 2x - y + 9 = 0
उक्त समीकरणों की तुलना a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
यहाँ a1 = 6, b1 = -3, c1 = 10
a2 = 2, b2 = -1, c2 = 9

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q2(iii)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म एक-दूसरे के समान्तर है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 3.
अनुपाता \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत :
(i) 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
3x + 2y = 5
और 2x - 3y = 7
या 3x + 2y - 5 = 0
और 2x - 3y - 7 = 0
यहाँ a1 = 3, b1 = 2, c1 = -5
a2 = 2, b2 = -3, c2 = -7

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q3(i)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(ii) 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
2x - 3y = 8
और 4x - 6y = 9
या 2x - 3y - 8 = 0
4x - 6y - 9 = 0
यहाँ a1 = 2, b1 = -3, c1 = -8
a2 = 4, b2 = - 6, c2 = -9

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q3(ii)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

(iii) \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7; 9x - 10y = 14
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
\(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y = 7
और 9x - 10y = 14
या \(\frac{3}{2}\)x + \(\frac{5}{3}\)y - 7 = 0
और 9x - 10y - 14 = 0
यहाँ a1 = \(\frac{3}{2}\), b1 = \(\frac{5}{3}\), c1 = -7
a2 = 9, b2 = -10, c2 = -14

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q3(iii)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(iv) 5x - 3y = 11; -10x + 6y = -22
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
5x - 3y = 11
और -10x + 6y = - 22
या 5x - 3y - 11 = 0
और -10x + 6y + 22 = 0
यहाँ a1 = 5, b1 = -3, c1 = - 11
a2 = -10, b2 = 6, c2 = 22

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q3(iv)

अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।

(v) \(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
\(\frac{4}{3}\)x + 2y = 8
और 2x + 3y = 12
या \(\frac{4}{3}\)x + 2y - 8 = 0
और 2x + 3y - 12 = 0
यहाँ a1 = \(\frac{4}{3}\), b1 = 2, c1 = -8
a2 = 2, b2 = 3, c2 = -12

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q3(v)

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएं सम्पाती होंगी।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है। उत्तर

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौनसे युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
x + y = 5
और 2x + 2y = 10
या x + y - 5 = 0
2x + 2y - 10 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
यहाँ a1 = 1, b1 = 1, c1 = -5
a2 = 2, b2 = 2, c2 = -10

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(i)

∴ समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती होंगी।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।
∴ दी गई रैखिक समीकरण युग्म का आलेख खींचने पर
x + y = 5
x = 5 - y ......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 0 = 5
y = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 3 = 2
y = 5 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 5 = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(i).1

बिन्दुओं A(5, 0), B(2, 3), C(0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 5 का आलेख प्राप्त होता है।
पुनः 2x + 2y = 10
या 2(x + y) = 10
या x + y = 5
या x = 5 - y ........(2)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 0 = 5
y = 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 2 = 3
y = 5 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर
x = 5 - 5 = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(i).2

बिन्दुओं A(5, 0), D(3, 2), C(0, 5) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + 2y = 10 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से स्पष्ट है कि दी गई रैखिक समीकरण युग्म संपाती रेखाएँ हैं या इनके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

(ii) x - y = 8, 3x - 3y = 16
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
x - y = 8
और 3x - 3y = 16
या x - y - 8 = 0
और 3x - 3y - 16 = 0
उक्त समीकरण युग्म की तुलना समीकरण युग्म a1x + b1y + c1 = 0 तथा a2x + b2y + c2 = 0 से करने पर
यहाँ a1 = 1, b1 = -1, c1 = -8
a2 = 3, b2 = -3, c2 = -16

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(ii)

दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होगा।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म असंगत है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

(iii) 2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0
हल-
दी गई रैखिक समीकरण-युग्म है :
2x + y - 6 = 0
और 4x - 2y - 4 = 0
यहाँ a1 = 2, b1 = 1, c1 = -6
a2 = 4, b2 = -2, c2 = -4

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(iii)

दिये गये समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा।
∴ दी गई रैखिक समीकरण-युग्म संगत है।
इन रैखिक समीकरणों का आलेख खींचने पर
2x + y - 6 = 0
2x = 6 - y
या x = \(\frac{6-y}{2}\) .......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{6-0}{2}=\frac{6}{2}\) = 3
y = 2 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{6-2}{2} = \frac{4}{2}\) = 2
y = -2 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{6-(-2)}{2}=\frac{6+2}{2}\) = 4

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(iii).1

बिन्दुओं A(3, 0), B(2, 2), C(4, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 2x + y - 6 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
पुनः 4x - 2y - 4 = 0
या 2[2x - y - 2] = 0
या 2x - y - 2 = 0
या 2x = y + 2
या x = \(\frac{y+2}{2}\) ........(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{0+2}{2}=\frac{2}{2}\) = 1
y = 2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{2+2}{2}=\frac{4}{2}\) = 2
y = -2 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}\) = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(iii).2

बिन्दुओं D(1, 0), B (2, 2), E(0, -2) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण 4x - 2y - 4 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि दी गई समीकरण-युग्म बिन्दु B(2, 2) पर मिलती है।
अतः, दी गई रैखिक समीकरण-युग्म अद्वितीय है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(iii).3
(iv) 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0
हल-
दी गई रैखिक किरण-युग्म है :
2x - 2y - 2 = 0
और 4x - 4y - 5 = 0
यहाँ a1 = 2, b1 = -2, c1 = -2
a2 = 4, b2 = -4, c2 = -5

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q4(iv)

∴ दिये गये समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः, दी गई समीकरण युग्म असंगत है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किबाग की लम्बाई = x m
बाग की चौड़ाई = y m
∴ बाग का परिमाप = 2[x + y] m
बाग के परिमाप का आधा = (x + y) m
प्रश्न की पहली शर्त के अनुसार,
x = y + 4
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
x + y = 36
∴ रैखिक समीकरण-युग्म है :
x = y + 4
और x + y = 36
x = y + 4 ......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 0 + 4 = 4
y = -4 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = -4 + 4 = 0
y = 16 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 16 + 4 = 20

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q5

बिन्दुओं A(4, 0), B(0, -4), C(20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x = y + 4 का आलेख प्राप्त होता है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q5.1

पुनः x + y = 36
x = 36 - y ......(2)
y = 12 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 - 12 = 24
y = 24 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 - 24 = 12
y = 16 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 36 - 16 = 20

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q5.2

बिन्दुओं D(24, 12), E(12, 24), C(20, 16) को आलेखित करने और उनको मिलाते हुए रेखा खींचने पर हमें समीकरण x + y = 36 का आलेख प्राप्त होता है।
आलेख से यह स्पष्ट है कि रैखिक समीकरणों का युग्म बिन्दु C(20, 16) पर मिलता है।
∴ C(20, 16) अर्थात् x = 20 और y = 10 रैखिक समीकरण युग्म का हल है।
अतः, बाग की लम्बाई = 20m
बाग की चौड़ाई = 16 m

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y - 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों
(ii) समान्तर रेखाएँ हों
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
हल-
दिया गया रैखिक समीकरण 2x + 3y - 8 = 0
इस समीकरण की व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 से तुलना करने पर,
a1 = 2, b1 = 3, c1 = -8
(i) जब समीकरण युग्म, प्रतिच्छेद करती हुई रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त
\(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
\(\frac{2}{a_{2}} \neq \frac{3}{b_{2}}\)
अर्थात् a2 का मान 2 अथवा 0 नहीं होना चाहिए और b2 का मान 3 अथवा 0 नहीं होना चाहिए।
जहाँ a2 ≠ 2 अथवा b2 ≠ 3 और a2 ≠ 0, b2 ≠ 0 है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 3x + 2y - 7 = 0 प्रकार की होगी।

(ii) जब समीकरण युग्म समान्तर रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\(\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}} \neq \frac{-8}{c_{2}}\)
\(\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}\)
\(\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{2}{3}\)
अर्थात् a2 और b2 का मान 2 : 3 में होना चाहिए।
माना a2 = 2k तथा b2 = 3k, जहाँ k एक स्थिरांक है।
\(\frac{3}{b_{2}} \neq \frac{-8}{c_{2}}\)
\(\frac{3}{3 k} \neq \frac{-8}{c_{2}}\)
⇒ c2 ≠ -8k
अतः अभीष्ट रैखिक समीकरण
2kx + 3ky - mk = 0, m ≠ -8
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 2x + 3y - 12 = 0 प्रकार की होगी।

(iii) जब समीकरण युग्म सम्पाती रेखाएँ निरूपित करता है तो शर्त-
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
\(\frac{2}{a_{2}}=\frac{3}{b_{2}}=\frac{-8}{c_{2}}=\frac{1}{k}\)
⇒ a2 = 2k, b2 = 3k और c2 = -8k
अतः अभीष्ट समीकरण 2kx + 3ky - 8k = 0, जहाँ k एक आनुपातिक स्थिरांक है।
अतः सम्भावित रैखिक समीकरण 4x + 6y - 16 = 0 प्रकार की होगी।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 7.
समीकरणों x - y + 1 = 0 और 3x + 2y - 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल-
रैखिक समीकरण-युग्म लेने पर
x - y + 1 = 0
और 3x + 2y - 12 = 0
या x - y + 1 = 0
या x = y - 1 ......(1)
y = 0 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 0 - 1 = -1
y = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 3 - 1 = 2
y = 1 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = 1 - 1 = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q7

बिन्दुओं A(-1, 0), B(2, 3), C(0, 1) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण x - y + 1 = 0 का आलेख प्राप्त होता है।

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q7.1

3x + 2y - 12 = 0
या 3x = 12 - 2y
या x = \(\frac{12-2 y}{3}\) .......(2)
y = 0 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{12-2 \times 0}{3}=\frac{12}{3}\) = 4
y = 3 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{12-2 \times 3}{3}=\frac{12-6}{3}\) = 2
y = 6 को (2) में प्रतिस्थापित करने पर,
x = \(\frac{12-2 \times 6}{3} = \frac{12-12}{3}\) = 0

RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Q7.2

बिन्दुओं D(4, 0), B(2, 3), E(0, 6) को आलेखित करने और उनको मिलाकर रेखा खींचने पर हमें समीकरण 3x + 2y - 12 = 0 आलेख प्राप्त होता है।
रैखिक समीकरणों के युग्म और x-अक्ष द्वारा बनाए गए त्रिभुज के शीर्षों को आलेख में छायांकित किया गया है।
∆ABD इस प्रकार बना त्रिभुज है।
∆ABD के शीर्षों के निर्देशांक हैं : A(-1, 0), B(2, 3) और D(4,0)

Raju
Last Updated on May 10, 2022, 5:10 p.m.
Published May 9, 2022