RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 10 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए :
(i) x² - 2x - 8
हल-
प्रश्नानुसार
x² - 2x - 8 = x² + 2x - 4x - 8
= x(x + 2) - 4(x + 2)
= (x + 2) (x - 4)
x² - 2x - 8 का मान शून्य होगा यदि (x + 2) (x - 4) के मान शून्य हों।
अर्थात् x + 2 = 0 या x - 4 = 0
अर्थात् x = -2 या x = 4
अत: x² - 2x - 8 के शून्यक -2 और 4 हैं।
अब, शून्यकों का योग = (-2) + 4 = 2
= \(\frac{-(-2)}{1}\)
= \(\frac{-x \text { का गुणांक }}{x^{2} \text { का गुणांक }}\)
तथा शून्यकों का गुणन = (-2)(4) = -8
= \(\frac{-8}{1}=\frac{\text { स्थिरांक }}{x^{2} \text { का गुणांक }}\)

(ii) 4s² - 4s + 1
हल-
प्रश्नानुसार 4s² - 4s + 1 = 4s² - 2s - 2s + 1
= 2s(2s - 1) - 1 (2s - 1)
= (2s - 1) (2s - 1)
अतः, 4s² - 4s + 1 का मान शून्य होगा यदि (2s - 1) (2s - 1) का मान शून्य हो।
अर्थात् 2s - 1 = 0 या 2s - 1 = 0, यानी
s = \(\frac{1}{2}\) या s = \(\frac{1}{2}\)
अत: 4s² - 4s + 1 के शून्यक \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) हैं।

(iii) 6x² - 3 - 7x
हल-
प्रश्नानुसार 6x² - 3 - 7x = 6x² - 7x - 3
= 6x² - 9x + 2x - 3
= 3x(2x - 3) + 1(2x - 3)
= (3x + 1) (2x - 3)
अतः, 6x² - 3 - 7x का मान शून्य होगा यदि (3x + 1) (2x - 3) का मान शून्य हो।
अर्थात् 3x + 1 = 0 या 2x - 3 = 0,
यानी x = \(-\frac{1}{3}\) या x = \(\frac{3}{2}\)
अतः 6x² - 3 - 7x के शून्यक \(-\frac{1}{3}\) और \(\frac{3}{2}\) हैं।

(iv) 4u² + 8u
हल-
प्रश्नानुसार 4u² + 8u = 4u(u + 2)
अतः 4u² + 8u का मान शून्य होगा यदि 4u(u + 2) का मान शून्य है।
यानी u = 0 या u + 2 = 0, यानी u = 0 या u = -2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और -2 हैं।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2

(v) t² - 15
हल-
प्रश्नानुसार t² - 15 = (t - √15) (t + √15)
अत: t² - 15 का मान शून्य होगा जब (t - √15)(t + √15) का मान शून्य हो।
अर्थात् t - √15 = 0 या t + √15 = 0,
यानी t = +√15 या t = -√15
अतः, t² - 15 के शून्यक √15 और -√15 हैं।
अब, शून्यकों का योग = √15 + (-√15)

(vi) 3x² - x - 4
हल-
प्रश्नानुसार 3x² - x - 4 = 3x² + 3x - 4x - 4
= 3x(x + 1) - 4(x + 1)
= (x + 1) (3x - 4)
3x² - x - 4 का मान शून्य होगा जब (x + 1) (3x - 4) का मान शून्य हो।
अर्थात् x + 1 = 0 या 3x - 4 = 0,
यानी x = -1 या x = \(\frac{4}{3}\)
अतः 3x² - x - 4 के शून्यक -1 और \(\frac{4}{3}\) हैं।
अब, शून्यकों का योग = -1 + \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{-3+4}{3}\)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपदं ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं :
(i) \(\frac{1}{4}\), -1
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = \(\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\)
तथा αβ = -1 = \(\frac{-4}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 4, b = -1 तथा c = -4 हो, तो द्विघात बहुपद 4x² - x - 4 होगा।

(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = √2 = \(\frac{3 \sqrt{2}}{3}=\frac{-b}{a}\)
αβ = -1 = \(\frac{1}{3}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 3, b = -3√2 तथा c = 1 हो, तो द्विघात बहुपद 3x² - 3√2x + 1 होगा।

(iii) 0, √5
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = 0 = \(\frac{0}{1}=\frac{-b}{a}\)
तथा αβ = √5 = \(\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1, b = 0 तथा c = √5 हो, तो द्विघात बहुपद x² - 0.x + √5 या x² + √5 होगा।

(iv) 1, 1
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = 1 = \(\frac{-(-1)}{1}=\frac{-b}{a}\)
तथा αβ = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1, b = -1 तथा c = 1 हो, तो द्विघात बहुपद x² - x + 1 होगा।

(v) \(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\)
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = \(-\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\)
तथा αβ = \(\frac{1}{4}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 4, b = 1 तथा c = 1 हो, तो द्विघात बहुपद 4x² + x + 1 होगा।

(vi) 4, 1
हल-
माना कि बहुपद ax² + bx + c है तथा इसके शून्यक α और β हैं।
तब α + β = 4 = \(\frac{-b}{a}\)
तथा αβ = 1 = \(\frac{1}{1}=\frac{c}{a}\)
यदि a = 1, b = -4 तथा c = 1 हो, तो द्विघात बहुपद x² - 4x + 1 होगा।