RBSE Class 10 Maths Notes Chapter 4 द्विघात समीकरण

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RBSE Class 10 Maths Chapter 4 Notes द्विघात समीकरण

→ द्विघात समीकरण-ऐसा समीकरण जिसमें अज्ञात राशि (x, y, z आदि) का सबसे बड़ा घातांक 2 हो, द्विघात समीकरण अथवा वर्ग समीकरण कहलाता है। जैसे ax² + bx + c = 0 यदि b = 0 हो, तो समीकरण का रूप ax² + bx + c = 0 होगा।
यह ऐसा द्विघात समीकरण है जिसमें x (अज्ञात राशि) का एक घातीय पद नहीं है। इस प्रकार का द्विघात समीकरण जिसमें अज्ञात राशि का एक घातीय पद न हो, शुद्ध द्विघात समीकरण कहलाता है।

→ चर x में एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के प्रकार का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक | संख्याएँ हैं और a ≠ 0 है।

→ एक वास्तविक संख्या a द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल कहलाती है, यदि aα² + bα + c = 0 हो। द्विधात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक और द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक ही होते हैं।

उदाहरण के लिये-
समीकरण x² + 5x + 6 में
x = - 2 रखने पर (- 2)² + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
x = - 3 रखने पर (-3)² + 5(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0
अतः - 2 और - 3 समीकरण x² + 5x + 6 = 0 के मूल कहलायेंगे।

टिप्पणी :

• उपर्युक्त उदाहरण में - 2 और - 3 समीकरण x² + 5x + 6 = 0 के मूल हैं, शून्यक नहीं।
• शून्यकों का सम्बन्ध बहुपद से होता है जबकि मूलों का सम्बन्ध समीकरण से होता है।

→ यदि हम ax² + bx + c, a ≠ 0 के दो रैखिक गुणकों में गुणनखण्ड कर सकें, तो द्विघात समीकरण | ax2 + bx + c = 0 के मूल, प्रत्येक गुणक को शून्य के बराबर करके, प्राप्त कर सकते हैं।

→ पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से भी दिए गए द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है।

→ द्विघाती सूत्र : द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल सूत्र x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} होते हैं, यदि b² - 4ac ≥ 0 हो।

→ एक, द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0, a + 0 में

• दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि b² - 4ac > 0 हो।
• दो बराबर मूल (अर्थात् संपाती वास्तविक मूल) होते हैं, यदि b² - 4ac = 0 हो और
• कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं, यदि b² - 4ac < 0 हो।

→ यदि p(x) एक द्विघाती बहुपद है तो p(x) = 0 एक द्विघात समीकरण कहलाती है। द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है जहाँ a, b, c E R तथा a # 0 है।

→ यदि p(x) = 0 एक द्विघात समीकरण है तो बहुपद p(x) के शून्यक समीकरण p(x) = 0 के मूल होंगे।

→ यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α, β दिये गये हों और हमें द्विघात समीकरण ज्ञात करना हो तो हम निम्न सूत्र का प्रयोग करते हैं

x² - (मूलों का योग) x + मूलों का गुणनफल = 0
अर्थात् x² - (α + β) x + αβ = 0