RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Intext Questions

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Intext Questions

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 146-I)

प्रश्न 1.
एक चर वाले और दो चरों वाले व्यंजकों के पाँच-पाँच उदाहरण दीजिए।
हल:
एक चर वाले व्यंजक के पाँच उदाहरण x + 7, x - 7, 6 + y, 8 - y और 5 + 4x दो चरों वाले व्यंजकों के पाँच उदाहरण x + 5y, x - 5y, 6x + y, 8x - y और 4x + 5y

प्रश्न 2.
x, x - 4, 2x + 1, 3x - 2 को संख्या रेखा पर दर्शाइए।
हल:
व्यंजक x का निरूपणमाना संख्या रेखा पर चर x की स्थिति x है तो X, x को प्रदर्शित करता है जैसा आकृति में दिया है

व्यंजक x - 4 का निरूपण
माना स्थिति X चर x को प्रदर्शित करती है।
यहाँ हम एक बिन्दु P चाहते हैं जो x से 4 कम हो। अतः x से आरम्भ करके यह बिन्दु X की बाईं ओर 4 इकाई दूरी पर होगा, जैसा कि आकृति में दिखाया है।

2x + 1 का निरूपण

माना चर x की संख्या रेखा पर स्थिति x है। 2x की स्थिति बिन्दु A पर इस प्रकार है
OA = 2 × OX = 2x.
यहाँ, हमें 2x + 1 प्राप्त करना है अर्थात् 2x से एक अधिक। | अतः हम A से प्रारम्भ करेंगे और A के दाएँ 1 इकाई दूरी पर P होगा जो 2x + 1 को प्रदर्शित करता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।
व्यंजक 3x -2 का निरूपण

माना संख्या रेखा पर चर x की स्थिति x है। बिन्दु A, पर 3x की स्थिति इस प्रकार है-OA₂ = 3 × OX = 3x. यहाँ, हमें 3x - 2 प्राप्त करना है अर्थात् 3x से 2 कम। अतः, हम A, से प्रारम्भ करेंगे और इसके बाएँ 2 इकाई बिन्दु पर P प्राप्त करेंगे जो 3x - 2 को प्रदर्शित करता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(पृष्ठ 146-II)

प्रश्न 1.
व्यंजक x²y² - 10x²y + 5xy² - 20 के प्रत्येक पद के गुणांक को पहचानिए।
हल:
व्यंजक x²y² - 10x²y² + 5xy² - 20 में x²y² पद में xy का गुणांक 1 है।
- 10xy² पद में ry का गुणांक - 10 है।
5xy² पद में xy² का गुणांक 5 है।

(पृष्ठ 146-III)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपद, द्विपद एवं त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए -z + 5, x + y + z, y + z + 100, ab - ac, 17
हल:
दिए गए बहुपद निम्न प्रकार वर्गीकृत होंगे
एक पद : 17
द्विपद : -z + 5, ab - ac
त्रिपद : x + y + z, y + z + 100

प्रश्न 2.
बनाइए
(a) तीन ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x हों।
(b) तीन ऐसे द्विपद जिनमें x और y चर हों।
(c) तीन एकपद जिनमें और y चर हों।
(d) चार अथवा अधिक पदों वाले 2 बहुपद।
हल:
(a) तीन ऐसे द्विपद जिनमें केवल एक चर x हो वे हैं -5x + 3, 9x + 8, 6 - x
(b) तीन द्विपद जिनमें x और y चर हों वे हैं- 3x + 4y, xy - 7, 5x - y.
(c) तीन एकपद, जिनमें x और y चर हों वे हैं xy, 6x²y, -3xy²
(d) चार या अधिक पद वाले 2 बहुपद हैं
- 3x³ - x² + 7x + 3, 8 - 5x + 7x² - 3x³ - 6x⁴

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 147)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के दो समान पद लिखिए
(i) 7xy
हल:
7xy के दो समान पद हैं 5xy, - 3xy

(ii) 4mn²
हल:
4mn² के दो समान पद हैं 3mn², - 4n²m.

(iii) 2l
हल:
2l के दो समान पद हैं 3l, - 4l

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 150)

प्रश्न 1.
क्या आप ऐसी और दो परिस्थितियों के बारे में सोच सकते हैं जहाँ हमें बीजीय व्यंजकों को गुणा करना पड़ सकता है?
[नोट : चाल और समय के बारे में सोचिए। साधारण ब्याज, मूलधन और साधारण ब्याज की दर इत्यादि के बारे में सोचिए।]
हल:
(i) दूरी = चाल × समय

(ii)

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 151)

प्रश्न 1.
4x × 5y × 72 ज्ञात कीजिएसर्वप्रथम 4x × 5y ज्ञात कीजिए और फिर उसे 7-से गणा कीजिए, अथवा सर्वप्रथम 5y × 7z ज्ञात कीजिए और इसे 4x से गुणा कीजिए। क्या परिणाम एक जैसा है? आप क्या विचार करते हैं? क्या गुणा करते समय क्रम का महत्त्व है?
हल:
हम पाते हैं
4x × 5y × 7z = (4x × 5y) × 7z
= 20xy × 7 = 140xyz
और 4x × 5y ×7z = 4x × (5y × 7z)
= 4x × 35yz = 140xyz
∴ (4x × 5y) × 7z = 4x × (5y × 72) अर्थात् परिणाम
एक जैसा है। अतः एकपदी का गुणन साहचर्य है। अर्थात् हम किसी भी क्रम में गुणा करें क्रम का महत्त्व नहीं है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 153-I)

प्रश्न 1.
गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) 2x(3x + 5xy)
(ii) a²(2ab - 5c)
हल:
(i) 2x(3x +5xy) = 2x × 3x + 2x × 5xy
= 6x² + 10x²y

(ii) (2ab - 5c) = a³ × 2ab - a² × 5c
= 2a³b - 5a²c

(पृष्ठ 153-II)

प्रश्न 1.
(4p² + 5p + 7) × 3p का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:
(4p² + 5p +7) × 3p = 4p² × 3p + 5p × 3p + 7 × 3p
= 12p³ + 15p² + 21p

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 158-I)

प्रश्न 1.
सर्वसमिका (I) में b के स्थान पर-b रखिए।क्या आपको सर्वसमिका (II) प्राप्त होती है?
हल:
(a + b)² = a² + 2ab + b² में b = - b रखने पर
(a + (-b))² = a² + 2a(-b) + (-b)²
या (a - b)² = a² - 2ab + b²
अतः सर्वसमिका I में b = - b रखने पर सर्वसमिका II प्राप्त होती है।

(पृष्ठ 158-II)

प्रश्न 1.
a =2, b = 3, x = 5 के लिए सर्वसमिका (IV) का सत्यापन कीजिए।[सर्वसमिका IV : (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab]
हल:
a = 2, b = 3, x = 5 के लिए
बायाँ पक्ष = (5 + 2) (5 + 3) = (7) (8) = 56
और, दायाँ पक्ष = (5) + (2 + 3) (5) + (2) (3)
= 25 + 25 + 6 = 56
अतः, सर्वसमिका के दोनों पक्षों के मान a = 2, b = 3, x = 5 के लिए समान हैं।

प्रश्न 2.
सर्वसमिका (IV) में a = b लेने पर, आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (1) से सम्बन्धित है?
हल:
जब a = b तो सर्वसमिका (IV) होगी
(x + b) (x + b) = x² + (b + b)x + (b.b)
या (x+ b) = x² + 2bx + b² हाँ,
यह सर्वसमिका (I) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 3.
सर्वसमिका (IV) में a = -c तथा b = -c लेने पर आप क्या प्राप्त करते हैं? क्या यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है?
हल:
जब a = - c और b = -c, तो सर्वसमिका (IV) होगी
[(x+ (-c)][x + (-c)] = x + (-c-c)x + (-c) (- c)
= (x - c) (x - c) = x² + (-2c)x + c²
(x - c) = x - 2cx + cहाँ, यह सर्वसमिका (II) से सम्बन्धित है।

प्रश्न 4.
सर्वसमिका (IV) में b = -a लीजिए। आप क्या पाते हैं? क्या यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है?
हल:
जब b = - a तो सर्वसमिका (IV) होगी (x + a) [(x + (-a)], = x² + (a - a)x + (a)(-a)
या (x + a) (x - a) = x² - a² हाँ, यह सर्वसमिका (III) से सम्बन्धित है।