RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 6 वर्ग और वर्गमूल Ex 6.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का वर्गमूल, भाग विधि से ज्ञात कीजिए
(i) 2304
(ii) 4489
(iii) 3481
(iv) 529
(v) 3249
(vi) 1369
(vii) 5776
(viii) 7921
(ix) 576
(x) 1024
(xi) 3136
(xii) 900
हल:
भाग विधि द्वारा संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात करना|

(i) 2304

∴ √2304 = 48 उत्तर

(ii) 4489

∴ √4489 = 67 उत्तर

(iii) 3481

∴ √3481 = 59 उत्तर

(iv) 529

∴ √529 = 23 उत्तर

(v) 3249

∴ √3249 = 57 उत्तर

(vi) 1369

∴ √1369 = 37 उत्तर

(vii) 5776

∴ √5776 = 76 उत्तर

(viii) 7921

∴ √7921 = 89

(ix) 576

∴ √576 = 24 उत्तर

(x) 1024

∴ √1024 = 32 उत्तर

(xi) 3136

∴ √3136 = 56 उत्तर

(xii) 900

∴ √900 = 30 उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक के वर्गमूल में अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए (बिना गणना के)
(i) 64
(ii) 144
(iii) 4489
(iv) 27225
(v) 390625
हल:
हम जानते हैं कि यदि एक पूर्ण वर्ग n अंकों का है तो इसके वर्गमूल में \(\frac{n}{2}\), अंक होंगे, यदि n सम है और \(\frac{(n+1)}{2}\) अंक होंगे, यदि ॥ विषम है।

(i) दी गई संख्या 64 है इसमें 2 अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
∴ √64 में अंकों की संख्या \(\left(\frac{2}{1}\right)\), अर्थात् 1 उत्तर

(ii) दी गई संख्या 144 है । इसमें 3 अंक हैं । अर्थात् अंकों की संख्या विषम है।
∴ √44 में \(\left(\frac{3+1}{2}\right)\) अर्थात् 2 अंक होंगे।

(iii) दी गई संख्या 4489 है। इसमें 4 अंक हैं। अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
∴ √4489 में \(\left(\frac{4}{2}\right)\), अर्थात् 2 अंक होंगे। उत्तर

(iv) दी गई संख्या 27225 है। इसमें 5 अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या विषम है।
∴ √27225 में \(\left(\frac{5+1}{2}\right)\), अर्थात् 3 अंक होंगे। उत्तर

(v) दी गई संख्या 390625 है। इसमें 6 अंक हैं अर्थात् अंकों की संख्या सम है।
∴ √390625 में \(\left(\frac{6}{2}\right)\), अर्थात् 3 अंक होंगे। उत्तर

प्रश्न 3.
निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के वर्गमूल ज्ञात कीजिए
(i) 2.56
हल:
2.56

∴ √2.56 = 1.6

(ii) 7.29
हल:
7.29

∴ √7.29 = 2.7

(iii) 51.84
हल:
51.84

∴ √51.84 = 7.2

(iv) 42.25
हल:
42.25

∴ √42.25 = 6.5

(v) 31.36
हल:
31.36

∴ √31.36 = 5.6 उत्तर

प्रश्न 4.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में न्यूनतम संख्या क्या घटाई जाए कि पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए। इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए
(i) 402
हल:
सर्वप्रथम 402 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे

यह स्पष्ट है कि 402, (20)² से अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से 2 घटाया जाएगा। उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 402 - 2 = 400
√400 = 20 उत्तर

(ii) 1989
हल:
सर्वप्रथम 1989 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

यह स्पष्ट है कि 1989, (44)² से 53 अधिक है । अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से 53 घटाएंगे। उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 1989 - 53 = 1936
√1936 = 44 उत्तर

(iii) 3250
हल:
सर्वप्रथम 3250 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

यह स्पष्ट है कि 3250, (57)² से 1 अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से 1 घटाएँगे।
∴ वांछित पूर्ण संख्या = 3250 - 1 = 3249
√3249 = 57 उत्तर

(iv) 825
हल:
सर्वप्रथम 825 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे

यह स्पष्ट है कि 825, (28)² से 41 अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए दी गई संख्या में से 41 घटाएंगे। उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 825 - 41 = 784
√784 = 28 उत्तर

(v) 4000
हल:
सर्वप्रथम 4000 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

यह स्पष्ट है कि 4000 (63)² से 31 अधिक है। अतः पूर्ण वर्ग संख्या में से 31 घटाया जाएगा। उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 4000 - 31 = 3969
√3969 = 63 उत्तर

प्रश्न 5.
निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक में कम-सेकम कितना जोड़ा जाए कि एक पूर्ण वर्ग संख्या प्राप्त हो जाए।इस प्रकार प्राप्त पूर्ण वर्ग संख्याओं का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए-.
(i) 525
(ii) 1750
(iii) 252
(iv) 1825
(v) 6412
हल:
(i) सर्वप्रथम 525 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

हम देखते हैं कि
(22)² < 525 < (23)²
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या
= (23)² - 525
= 529 - 525 = 4 उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या
= 525 +4
= 529
स्पष्ट है √529 = 23

(ii) सर्वप्रथम 1750 का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे

हम देखते हैं कि (41)² < 1750 < (42)²
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या = (42)² - 1750
= 1764 - 1750
= 14 उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = (1750 + 14)
= 1764
स्पष्ट है √1764 = 42 उत्तर

(iii) सर्वप्रथम 252 का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-

हम देखते हैं कि (15)² < 252 < (16)²
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या = (16)² - 252
= 256 - 252
= 4 उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 252 + 4 = 256
स्पष्ट है, √256 = 16 उत्तर

(iv) सर्वप्रथम 1825 का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे

हम देखते हैं कि (42)² < 1825 < (43)²
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या = (43)² - 1825
= 1849 - 1825
= 24 उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 1825 + 24 = 1849
स्पष्ट है √1849 = 43 उत्तर

(v) सर्वप्रथम 6412 का वर्गमूल प्राप्त करने का प्रयास करेंगे-

हम देखते हैं कि (80)² < 6412 < (81)²
जोड़ी जाने वाली वांछित संख्या = (81)² – 6412
= 6561 - 6412
= 149 उत्तर
∴ वांछित पूर्ण वर्ग संख्या = 6412 + 149 = 6561
स्पष्ट है √6561 = 81 उत्तर

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 441 m² है।
हल:
क्षेत्रफल = (भुजा)²
= 441m²
∴ भुजा = √441 m
= 21 m उत्तर

प्रश्न 7.
किसी समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°
(a) यदि AB = 6 cm, BC = 8 cm है तो AC ज्ञात कीजिए।
(b) यदि AC = 13 cm, BC = 5 cm है तो AB ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) समकोण ∆ ABC में,
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
AC² = AB² + BC²
अतः AC² = 6² + 8²
= 36 + 64 = 100
∴ AC = √100 cm = 10 cm उत्तर

(b) समकोण A ABC में पाइथागोरस , प्रमेय द्वारा
AC² = AB² + BC²
या 13² = AB² + 5²
या 169 = AB² + 25
या AB² = 169 -25 = 144
∴ AB = √144 cm = 12 cm उत्तर

प्रश्न 8.
एक माली के पास 1000 पौधे हैं। इन पौधों को वह इस प्रकार लगाना चाहता है कि पंक्तियों की संख्या और कॉलम की संख्या समान रहे। इसके लिए कम से कम पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसकी उसे आवश्यकता हो।
हल:
सर्वप्रथम 1000 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

हम देखते हैं कि (31)² < 1000< (32)²
अतः माली को कम से कम (32)² - 1000 = 1024 - 1000 = 24 पौधों की आवश्यकता है जिससे पंक्तियों की संख्या कॉलमों की संख्या के बराबर हो जाएगी। उत्तर

प्रश्न 9.
एक विद्यालय में 500 विद्यार्थी हैं। पी.टी. के अभ्यास के लिए इन्हें इस तरह से खड़ा किया गया कि पंक्तियों की संख्या कॉलम की संख्या के समान रहे। इस व्यवस्था को बनाने में कितने विद्यार्थियों को बाहर जाना होगा?
हल:
सर्वप्रथम 500 का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करेंगे-

यह स्पष्ट है कि 500, (22)² = 484 से 16 अधिक है।
∴ 16 छात्रों को बाहर जाना होगा।