RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 3 चतुर्भुजों को समझना Ex 3.3

प्रश्न 1.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या प्रयोग किए गए गुण द्वारा पूरा कीजिए

(i) AD = .......
(ii) ∠DCB = .........
(iii) OC = .......
(iv) m∠DAB + m∠CDA = ........
हल:
(i) AD = BC ∵ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
(ii) ∠DCB = ∠DAB ∵ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबरं होते हैं।
(iii) OC = OA ∵ हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(iv) m∠DAB + m∠CDA = 180° ∵ \(\overline{\mathrm{AB}} \| \overline{\mathrm{DC}}\) और DA एक तिर्यक रेखा है। अतः ∠DAB तथा ∠CDA दोनों एक ही तिर्यक रेखा के अन्तःसम्मुख कोण हैं।

प्रश्न 2.
निम्न समान्तर चतुर्भुजों में अज्ञात x, y, z के मानों को ज्ञात कीजिए-
(i)

हल:
हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का योग 180° होता है, अतः
x + 100° = 180°
या x = 180° - 100° = 80°
x + y = 180°
या y = 180° - x = 180° - 80° = 100°
y + 2 = 180°
या z = 180° - y = 180° - 100° = 80°
अतः x = 80°, y = 100° तथा z = 80° उत्तर

(ii)

हल:
प्रश्नानुसार ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, इसलिए AB || DC तथा AD || BC अब, AB || DC तथा प्रतिच्छेदक BC उनको प्रतिच्छेदित करता है।
∴ z = y [∵ एकान्तर कोण बराबर होते हैं। तथा AD || BC और प्रतिच्छेदक AB इनको प्रतिच्छेदित करता है।
∴ z = x [∵ संगत कोण बराबर होते हैं।]
अर्थात् . x = y = z
हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोणों का - योग 180° होता है। अतः
y + 50° = 180° ⇒ y = 180° - 50° = 130°
इस प्रकार x = y = z = 130° 

(iii)

हल:
चित्र से यह स्पष्ट है कि x = 90°
[∵ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।]
अतः त्रिभुज DOC में
∠DOC + ∠OCD + ∠CDO = 180°
[त्रिभुज के कोणों के योग का गुण]
या x + 30° + y = 180°
या 90° + 30° + y = 180°
या y = 180° - 120° = 60°
समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB || DC तथा प्रतिच्छेदक BD उनको प्रतिच्छेदित करता है।
∴ z = y [∵ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।]
या z = 60° [∵ y = 60°]
अतः x = 90°, y = 60° तथा z = 60°

(iv)

हल:
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के किन्हीं दो आसन्न कोणों का योग 180° होता है इसलिए,
∠A + ∠B = 180° या x + 80° = 180°
या x = 180° - 80° = 100°
∠A + ∠D = 180° या x + y = 180°
या y = 180° - x = 180° - 100° = 80°
∠D + ∠C = 180°
या y + ∠C = 180°
या ∠C = 180° - y = 180° - 80° = 100°
आगे ∠C + z = 180° [रैखिक युग्म]
या z = 180° - ∠C = 180° - 100° = 80°
अतः x = 100°, y = 80°, z = 80° 

(v)

हल:
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं अतः
y = 112°
∆ACD में कोणों के योग गुण के द्वारा
या x + y + 40° = 180°
या x + 112° + 40° = 180°
या x + 152° = 180°
x = 180° - 152° = 28°
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AB || DC और प्रतिच्छेदक AC इनको प्रतिच्छेदित करता है।
∴ z = x (∵ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।)
या z = 28°
अतः, x = 28°, y = 112° तथा z = 28°

प्रश्न 3.
क्या एक चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज हो सकता है? यदि
(i) ∠D + ∠B = 180°?
(ii) AB = DC = 8 cm, AD = 4; cm और BC = 4.4 cm?
(iii) ∠A = 70° और ∠C = 65°?
हल:
(i) यदि एक चतुर्भुज ABCD में ∠D + ∠B = 180° है। तब यह आवश्यक नहीं है कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज हो।
(ii) क्योंकि AD ≠ BC, यानी सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD समान्तर चतुर्भुज नहीं होगा।
(iii) क्योंकि ∠A ≠ ∠C, यानी सम्मुख कोण बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD समान्तर चतुर्भुज नहीं होगा।

प्रश्न 4.
एक चतुर्भुज की कच्ची (Rough) आकृति खींचिए जो समान्तर चतुर्भुज न हो, परन्तु जिसके दो सम्मुख कोणों की माप बराबर हो।
उत्तर:

चित्रानुसार एक चतुर्भुज ABCD की कच्ची आकृति जो समान्तर चतुर्भुज नहीं है, खींची गई है। इसके बराबर माप के दो सम्मुख कोण इस प्रकार हैं कि ∠A = ∠C । यह आकृति में पतंग जैसी है।

प्रश्न 5.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों का अनुपात 3:2 है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समान्तर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण A और B क्रमशः 3x और 2x हैं| हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।
∴ ∠A + ∠B = 180°
या 3x + 2x = 180°
या 5x = 180°
या x = \(\frac{180^{\circ}}{5}\) = 36°

∴ ∠A = 3 × 36° = 108°
और ∠B = 2 × 36° = 72°
चूँकि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख B कोण बराबर होते हैं। इसलिए ∠C = ∠A = 108° और ∠D = ∠B = 72°
अतः ∠A = 108°, ∠B = 72°, ∠C = 108° और ∠D = 72°

प्रश्न 6.
किसी समान्तर चतुर्भुज के दो आसन्न कोणों की माप बराबर है। समान्तर चतुर्भुज के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि समान्तर चतुर्भुज PQRS के दो आसन्न कोण P और Q में से प्रत्येक का माप x है। हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के आसन्न कोण संपूरक होते हैं।
अतः ∠P + ∠Q = 180°
या x + x = 180°
या 2x = 180°
या x = 90°
∴ ∠P = 90° और ∠Q = 90°
हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं अतः ∠R = ∠P = 90° और ∠S = ∠Q = 90°
अतः ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है। x, y और z कोणों की माप ज्ञात कीजिए। ज्ञात करने में प्रयोग किए गए गुणों को बताइए।

हल:
चूँकि HOPE एक समान्तर चतुर्भुज है अतः HE || OP और HO || EP
अब, HE || OP और तिर्यक रेखा HO इनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠EHO = ∠POX [∵ संगत कोण के बराबर होते हैं।]
या 40° + z = 70°
या z = 70° - 40° = 30°
पुनः HE || OP और तिर्यक रेखा HP इनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠OPH = ∠EHP
[∵ एकान्तर कोण बराबर होते हैं।]
या y = 40°
चूँकि समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अतः ∠HEP = ∠HOP
या x = 180° - ∠POX
= 180° - 70° = 110°
अतः x = 110°, y = 40° और 2 = 30°

प्रशन 8.
निम्न आकृतियाँ GUNS और RUNS समान्तर चतुर्भुज है।x और y ज्ञात कीजिए। (लम्बाई cm में है)
(i)

हल:
प्रश्नानुसार GUNS एक समान्तर चतुर्भुज है।
अतः इसकी सम्मुख भुजाएँ बराबर होंगी।
अर्थात्, GS = UN और GU = SN
या 3x = 18, अर्थात् x = 6
और 3y - 1 = 26
या 3y = 26 + 1 = 27
या y = 9
अतः x = 6 cm और y = 9 cm

(ii)

हल:
समान्तर चतुर्भुज में उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं अतः
OR = ON अर्थात् 16 = x + y ....... (1) तथा
OU = OS अर्थात् y + 7 = 20 ........ (2)
(2) से, y= 20 - 7 = 13 cm
समीकरण (1) में y = 13 रखने पर
6 = x + 13
या x = 16 - 13 = 3 cm
अतः x = 3 cm और y = 13 cm

प्रश्न 9.

दी गई आकृति में RISK तथा CLUE दोनों समान्तर चतुर्भुज हैं। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
समान्तर चतुर्भुज RISK में,
∠RIS = ∠RKS = 120°
[∵ सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
या ∠OIC = 180° - ∠RIS [रैखिक युग्म]
या ∠OIC = 180° - 120° = 60°
समान्तर चतुर्भुज CLUE में, CE || LU और एक तिर्यक रेखा CL इनको प्रतिच्छेदित करती है।
अतः ∠ICO = ∠CLU
[∵ संगत कोण बराबर होते हैं।]
या ∠ICO = 70°
∆OIC में कोण योग गुण द्वारा,
∠IOC + ∠OIC + ∠IOC = 180°
या ∠IOC + 60° +70° = 180°
या ∠IOC = 180° - 60° - 70° = 50°
अर्थात् x = ∠IOC = 50°

प्रश्न 10.
बताइए कैसे यह आकृति एक समलम्ब है। इसकी कौन सी दो भुजाएँ समांतर हैं? (आकृति के अनुसार)

हल:
क्योंकि ∠KLM + ∠NML = 180°
अर्थात्, क्रमागत अंतःकोण सम्पूरक होते हैं। अतः KL || MN और इसलिए KLMN एक समलंब है।

प्रश्न 11.
आकृति में m∠C ज्ञात कीजिए यदि \(\overline{\mathbf{A B}} \| \overline{\mathbf{D C}}\) हैं|

हल:
चूंकि AB || DC और BC इनको प्रतिच्छेदित करती है।
अतः ∠B + ∠C = 180°
[∵ अंत:कोणों का योग 180° होता है।]
या 120° + ∠C = 180°
या ∠C = 180° - 120° = 60°
m∠C = 60°

प्रश्न 12.
आकृति में ∠P तथा ∠S की माप ज्ञात कीजिए यदि \(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\) है। (यदि आप m∠R, ज्ञात करते हैं, तो क्या m∠P को ज्ञात करने की एक से अधिक विधि हैं?)

हल:
चूंकि \(\overline{\mathrm{SP}} \| \overline{\mathrm{RQ}}\) है तथा PQ एक तिर्यक रेखा है जो इनको क्रमशः P तथा Q पर काटती है।
∴ ∠P + Q = 180°
[∵ अंत:कोणों का योग 180° होता है।]
या ∠P + 130° = 180°
या ∠P = 180° - 130° = 50° उत्तर
पुनः SP || RQ है तथा SR एक तिर्यक रेखा है जो इनको क्रमशः S और R पर काटती है।
∴ ∠S + R = 180° [∵ अंत:कोणों का योग 180° होता है|]
या ∠S + 90° = 180°
∠S = 180° - 90° = 90°
हाँ, हम m∠P दूसरे तरीके से निम्न प्रकार ज्ञात कर सकते हैं|
m∠P + m∠Q + m∠R + m∠S = 360° (कोण योग गुण)
या m∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
या m∠P = 360° - 310°
= 50°