RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 14 गुणनखंडन Ex 14.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 14 गुणनखंडन Ex 14.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 14 गुणनखंडन Ex 14.1

प्रश्न 1.
दिए हुए पदों में सार्व गुणनखंड ज्ञात कीजिए
(i) 12x, 36
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 12 और 36 हैं। 12 और 36 का सर्वोच्च सार्व गुणनखंड 12 है। लेकिन दिए एकपदों 12 और 36 में सार्व यथार्थ रूप से प्रकट नहीं होता
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 12

(ii) 2y, 22xy
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 2 और 22 हैं। 2 और 22 का सर्वोच्च सार्व गुणनखंड 2 है। दिए हुए एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन y है। दोनों एकपदों में y का निम्नतम मान = 1 निम्नतम मान के साथ सार्व यथार्थ का एकपद = y अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 2y

(iii) 14pq, 28p²q²
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 14 और 28 हैं। 14 और 28 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 14 है।
दिए हुए एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन p और व हैं।
दोनों एकपदों में p और 4 का निम्नतम मान = 1
निम्नतम मान के साथ सार्व यथार्थ का एकपद = pq
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 14pq

(iv) 2x, 3x²,4
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 2, 3 और 4 हैं।
2, 3 और 4 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 1 है।
तीनों एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन नहीं है।
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 1

(v) 6abc, 24ab², 12a²b
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 6, 24 और 12 हैं।
6, 24 और 12 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 6 है।
तीनों एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन a और b हैं।
तीनों एकपदों में a का निम्नतम मान = 1 है।
तीनों एकपदों में b का निम्नतम मान = 1 है।
निम्नतम मान के साथ सार्व यथार्थ का एकपद = ab
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 6ab

(vi) 16x³, - 4x², 32x
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 16, 4 और 32 हैं।
16, 4 और 32 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 4 है।
तीनों एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन x है।
तीनों एकपदों में x का निम्नतम मान = 1
निम्नतम मान के साथ सार्व यथार्थ का एकपद = x
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 4x

(vii) 10pq, 20qr, 30rp
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 10, 20 और 30 हैं।
10, 20 और 30 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 10 है।
तीनों एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन नहीं है।
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = 10

(viii) 3x²y³, 10x³y², 6x²y²z
हल:
दिए हुए एकपदों में संख्यात्मक गुणांक 3, 10 और 6
3, 10 और 6 का सर्वोच्च सार्व गुणनखण्ड 1 है।
तीनों एकपदों में सार्व यथार्थ प्रकटन x और y हैं।
तीनों एकपदों में x का निम्नतम मान = 2.
तीनों एकपदों में y का निम्नतम मान = 2
निम्नतम मान के साथ सार्व यथार्थ का एकपद = x²y²
अतः सर्वोच्च सार्व गुणनखंड = x²y²

प्रश्न 2.
निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखंड कीजिए
(i) 7x - 42
हल:
प्रश्नानुसार 7x = 7 × x
और 42 = 2 × 3 × 7
दोनों पदों में 7 सार्व गुणनखंड के रूप में है
∴ 7x - 42 = (7 × x) - 2 × 3 × 7
= 7 × (x - 2 × 3) = 7(x - 6)

(ii) 6p - 12q
हल:
प्रश्नानुसार . 6p = 2 × 3 × p
और 12q = 2 × 2 × 3 × q
दोनों पदों में 2 और 3 सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ 6p - 12q = (2 × 3 × p) - (2 × 2 × 3 × q)
= 2 × 3 × (p - 2 × q)
= 6(p - 24)

(iii) 7a² + 14a
हल:
प्रश्नानुसार 7a² = 7 × a × a
और 14a = 2 × 7 × a
दोनों पदों में 7 और a सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ 7a² + 14a = (7 × a × a) + (2 × 7 × a)
= 7 × a × (a + 2)
= 7a(a + 2)

(iv) - 16z + 20z³
हल:
प्रश्नानुसार 16z = 2 × 2 × 2 × 2 × z
और 20z³ = 2 × 2 × 5 × z × z × z.
दोनों पदों में 2, 2 और 2 सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ - 16z + 20z³ = (- 2 × 2 × 2 × 2 × z) + (2 × 2 × 5 × z × z × z)
= 2 × 2 × z(- 2 × 2 + 5 × z × z)
= 4z(- 4 + 5z²)

(v) 20l²m + 30alm
हल:
प्रश्नानुसार 20l²m = 2 × 2 × 5 × l × l × m
और 30alm = 3 × 2 × 5 × a × l × m
दोनों पदों में 2, 5, 1 और m सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ 20l² m + 30alm = (2 × 2 × 5 × l × l × m) + (3 × 2 × 5 × a × l × m)
= 2 × 5 × l × m × (2 × l + 3 × a)
= 10lm(2l + 3a)

(vi) 5x²y - 15xy²
हल:
प्रश्नानुसार 5x²y = 5 × x × x × y
और 15xy² = 3 × 5 × x × y × y
दोनों पदों में 5, x और y सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ 5x²y - 15xy² = (5 × x × x × y) - (3 × 5 × x × y)
= 5 × x × y × (x - 3 × y)
= 5xy(x - 3y)

(vii) 10a² - 15b² + 20c².
हल:
प्रश्नानुसार 10a² = 2 × 5 × a × a,
15b² = 3 × 5 × b × b
और 20c² = 2 × 2 × 5 × c × c
तीनों पदों में 5 सार्व गुणनखंड के रूप में है।
∴ 10a² - 15b2² + 20c² = (2 × 5 × a × a) - (3 × 5 × b × b × b) + (2 × 2 × 5 × c × c)
= 5 × (2 × a × a - 3 × b × b + 4 × c × c)
= 5(2a² - 3b² + 4c²)

(viii) - 4a² + 4ab - 4ca
हल:
प्रश्नानुसार 4a² = 2 × 2 × a × a
4ab = 2 × 2 × a × b
और 4ca = 2 × 2 × c × a
तीनों पदों में 2, 2 और a सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ - 4a² + 4ab - 4ca = - (2 × 2 × a × a) + (2 × 2 × a × b) - (2 × 2 × c × a)
= 2 × 2 × a × (- a + b - c)
= 4a(- a + b - c)

(ix) x²yz + xy²z + xyz²
हल:
प्रश्नानुसार x²yz = x × x × y × z
xy²z = x × y × y × z
और xyz² = x × y × z × z.
तीनों पदों में ×, y और z सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ x²yz + xy²z +xyz² = (x × x × y × z) + (x × y × y × z) + (x × y × z × z)
= x × y × z × (x + y + z)
= xyz (× + y + z)

(x) ax²y + bxy² + cxyz
(तीनों पदों को मिलाने पर)
हल:
प्रश्नानुसार
ax²y = a × x × x × y
b×y² = b × x × y × y
और cxyz = c × x × y × z
तीनों पदों में x और y सार्व गुणनखंड के रूप में हैं।
∴ ax²y + bxy² + cxyz = (a × x × x × y) + (b × x × y × y) + (c × x × y × z)
= x × y × (a × x + b × y + c × z)
= xy (ax + by + cz)

प्रश्न 3.
गुणनखंड कीजिए
(i) x² + xy + 8x + 8y
हल:
x² + xy + 8x + 8y
= (x² + xy) + (8x + 8y)
= x(x + y) + 8(x + y)
= (x + y) (x+ 8)

(ii) 15xy - 6x + 5y - 2
हल:
15xy - 6x + 5y - 2 = (15xy - 6x) + (5y - 2)
= 3x(5y - 2) + 1(5y - 2)
= (5y - 2) (3x + 1)

(iii) ax + bx - ay - by
हल:
ax + bx - ay - by
= (ax + bx) - (ay + by)
[पदों का समूहन करने पर]
= (a + b)x - (a + b)y
= (a + b)(x - y)

(iv) 15pq + 15 + 9q + 25p
हल:
15pq + 15 + 9q + 25p
= 15pq+ 9q+ 25p + 15
[पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= 3q(5p + 3)+ 5(5p + 3)
= (5p + 3) (3q + 5)

(v) z - 7 + 7xy - xyz.
हल:
z - 7 + 7xy - xyz = z - 7 - xyz + 7xy
[पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर]
= 1(z - 7) - (z - 7).
= (z - 7) (1 - xy)