RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 13 सीधा और प्रतिलोम समानुपात Ex 13.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौन प्रतिलोम अनुपात में
(i) किसी कार्य पर लगे व्यक्तियों की संख्या और उस कार्य को पूरा करने में लगा समय।
हल:
हम जानते हैं कि किसी कार्य पर लगे अधिक व्यक्तियों की संख्या से उस कार्य को पूरा करने में कम समय लगता है। अतः, यह प्रतिलोम अनुपात की स्थिति

(ii) एक समान चाल से किसी यात्रा में लिया गया समय और तय दूरी।
हल:
स्पष्ट है, एक समान चाल से किसी यात्रा में जितना अधिक समय लिया जाता है, उतनी अधिक दूरी तय होती है। अतः, यह प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।

(iii) खेती की गई भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल।
हल:
स्पष्ट है, जितनी अधिक भूमि में खेती की जाएगी, उतनी ही अधिक फसल काटी जाएगी। अतः, यह प्रत्यक्ष अनुपात की स्थिति है।

(iv) एक निश्चित यात्रा में लिया गया समय और वाहन की चाल।
हल:
हम जानते हैं कि जितनी अधिक वाहन की गति होगी, किसी निश्चित दूरी को तय करने में उतना ही कम समय लगेगा। अतः, यह प्रतिलोम अनुपात की स्थिति है।

(v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।
हल:
स्पष्ट है, जितनी अधिक जनसंख्या होगी, देश में प्रति व्यक्ति के लिए भूमि का क्षेत्रफल उतना ही कम होगा। अतः, यह प्रतिलोम अनुपात की स्थिति है।

प्रश्न 2.
एक टेलीविजन गेम शो (game show) में 1,00,000 रुपए की पुरस्कार राशि विजेताओं में समान रूप से वितरित की जानी है। निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या एक व्यक्तिगत विजेता को दी जाने वाली पुरस्कार की धनराशि विजेताओं की संख्या के अनुक्रमानुपाती है या व्युत्क्रमानुपाती है।

हल:
स्पष्ट है, विजेताओं की संख्या जितनी अधिक होगी, प्रत्येक विजेता को उतनी ही कम पुरस्कार राशि मिलेगी। अतः यह व्युत्क्रमानुपाती स्थिति है।
∴ 4 × x = 1 × 100000
x = \(\frac{100000}{4}\) = 25000
इस प्रकार, 4 के लिए यह 25,000 होगी।

5 × y = 1 × 100000
या y = \(\frac{100000}{5}\) = 20000
इस प्रकार, 5 के लिए यह 20000 होगी।

8 × z = 1 × 100000
z = \(\frac{100000}{8}\) = 12500
इस प्रकार, 8 के लिए यह 12500 होगी।

10 × r = 1 × 100000
या r = \(\frac{100000}{10}\) = 10000
= 10
इस प्रकार, 10 के लिए यह 10000 होगी।

20 × p = 1 × 100000
या p = \(\frac{100000}{20}\) = 5000
इस प्रकार, 20 के लिए यह 5000 होगी।

प्रश्न 3.
रहमान तीलियों या डंडियों का प्रयोग करते हुए, एक पहिया बना रहा है। वह समान तीलियाँ इस प्रकार लगाना चाहता है कि किन्हीं भी क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच के कोण बराबर हैं।

निम्नलिखित सारणी को पूरा करके, उसकी सहायता कीजिए-

(i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है?
(ii) 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण परिकलित कीजिए।
(iii) यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी?
हल:
स्पष्ट है, तीलियों की संख्या जितनी अधिक होगी, क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण उतना ही छोटा होगा।
यहाँ हम देखते हैं
4 × 90° = 6 × 60° (= 360°)
अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
8 × x = 4 × 90°
x = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{8}\) = 45°
इस प्रकार, 8 के लिए यह 45° होगा। उत्तर
10 × y = 4 × 90°
y = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{10}\) = 36°
इस प्रकार, 10 के लिए 36° होगा।
12 × z =4 × 90°
z = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{12}\) = 30°
इस प्रकार, 12 के लिए 30° होगा।

(i) हाँ, तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है।
(ii) माना 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण x° है।
∴ 15 × x = 4 × 90°
x = 4 × 90° = 24°
इस प्रकार, वांछित कोण 24° है।

(iii) माना कि आवश्यक तीलियों की संख्या x होगी, यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है।
x × 40° = 4 × 90°
या x = \(\frac{4 \times 90^{\circ}}{40}\) = 9°
इस प्रकार, वांछित तीलियों की संख्या 9 है।

प्रश्न 4.
यदि किसी डिब्बे की मिठाई को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 5 मिठाइयाँ मिलती हैं। यदि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाए, तो प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी?
हल:
चूँकि बच्चों की संख्या 4 कम हो गई है। अतः, उनकी संख्या 24 - 4 = 20 हो गई है। माना कि बच्चों की संख्या 20 होने पर प्रत्येक को x मिठाइयाँ मिलती हैं।
अतः हमें निम्नलिखित सारणी प्राप्त होगी

चूँकि कम बच्चों को अधिक मिठाई मिलेगी। अतः, यह
प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
∴ 24 × 5 = 20 × x
x = \(\frac{24 \times 5}{20}\) = 6
अतः, प्रत्येक बच्चे को 6 मिठाइयाँ मिलेंगी।

प्रश्न 5.
एक किसान की पशशाला में 20 पशुओं के लिए 6 दिन का पर्याप्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में 10 पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?
हल:
माना कि अब भोजन x दिन तक के लिए पर्याप्त रहेगा।

स्पष्ट है, पशुओं की संख्या जितनी अधिक होगी, भोजन उतने ही कम दिनों के लिए पर्याप्त होगा। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
∴ 20 × 6 = 30 × x
या x = \(\frac{20 \times 6}{30}\) = 4
अतः, अब भोजन 4 दिनों के लिए पर्याप्त होगा।

प्रश्न 6.
एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कार्य 3 व्यक्ति 4 दिन में कर सकते हैं। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्तियों को इस काम पर लगाता है, तो यह कार्य कितने दिन में पूरा हो जाएगा?
हल:
माना कि 4 व्यक्ति पुनः तार लगाने का कार्य x दिन में करते हैं

दिनों की संख्या 4 व्यक्तियों की संख्या 3 4 स्पष्ट है, अधिक व्यक्तियों क संख्या के लिए दिनों की संख्या घट जाएगी। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात की स्थिति है।
∴ 4 × 3 = x × 4
या x = \(\frac{4 \times 3}{4}\) = 3
अतः, कार्य 3 दिन में ही पूरा हो जाएगा।

प्रश्न 7.
बोतलों के एक बैच (batch) को 25 बॉक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बॉक्स में 12 बोतलें हैं। यदि इस बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलें हों, तो कितने बॉक्स भरे जाएंगे?

हल:
माना x बॉक्स की आवश्यकता होगी, यदि प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलें रखी. जाएँ। तब,

स्पष्ट है, जितनी अधिक बोतलें भरेंगी, उतने ही कम बॉक्स आवश्यक होंगे। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
∴ 25 × 12 = x × 20
या x = \(\frac{25 \times 12}{20}\) = 15
अतः प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलें भरने पर 15 बॉक्स भरे जाएंगे।

प्रश्न 8.
एक फैक्ट्री को कुछ वस्तुएँ 63 दिन में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?
हल:
माना कि निश्चित वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए x मशीनों की आवश्यकता होगी। तब,

स्पष्ट है, निश्चित वस्तुओं को कम दिनों में बनाने के लिए अधिक मशीनों की आवश्यकता होगी । अतः यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है। |
∴ 42 × 63 = x × 54
या x = \(\frac{42 \times 63}{54}\) = 49
अतः, 49 मशीनों की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 9.
एक कार एक स्थान तक पहुँचने में 60 km/h की चाल से चलकर 2 घंटे का समय लेती है। 80 km/h की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा?
हल:
80 km/h की चाल से कार को गन्तव्य तक पहुँचने में मान लीजिए x घंटे लगेंगे। तब

स्पष्ट है, अधिक गति होगी तो, समय कम लगेगा। अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
60 × 2 = 80 × x
या x = \(\frac{60 \times 2}{80}=\frac{3}{2}\)
अतः, कार को 1\(\frac{1}{2}\) घंटे लगेंगे।

प्रश्न 10.
दो व्यक्ति एक घर में नई खिड़कियाँ 3 दिन में लगा सकते हैं।
(i) कार्य प्रारम्भ होने से पहले, एक व्यक्ति बीमार पड़ जाता है। अब यह कार्य कितने दिन में पूरा हो पाएगा?
(ii) एक ही दिन में खिड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?
हल:
(i) माना कि खिड़कियाँ लगाने में x दिन लगेंगे। तब

स्पष्ट है, जितने कम व्यक्ति होंगे, खिड़कियाँ लगाने में उतने ही अधिक दिन लगेंगे।
अतः, यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
∴ 2 × 3 = 1 × x
अतः, दिए गए काम को एक व्यक्ति 6 दिन में पूरा करेगा।

(ii) माना x व्यक्ति खिड़कियों को 1 दिन में लगाएंगे। तब

स्पष्ट है, दिनों की संख्या कम करने के लिए, खिड़कियाँ यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
∴ 2 × 3 = x × 1
या x = 6
अतः, दिए गए काम को 6 व्यक्ति 1 दिन में खत्म कर देंगे।

प्रश्न 11.
किसी स्कूल में, 45 मिनट अवधि के 8 कालांश होते हैं। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कार्य समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवधि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा?
हल:
माना कि प्रत्येक कालांश x मिनट का होगा यदि स्कूल में एक दिन में 9 कालांश हों। तब

स्पष्ट है, जितने अधिक कालांश होंगे, कालांशों की अवधि उतनी ही कम होगी।
अतः यह प्रतिलोम समानुपात का उदाहरण है।
∴ 8 × 45 = 9 × x
x = \(\frac{8 \times 45}{9}\) = 40
अतः, कालांश की अवधि 40 मिनट होगी।