RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 11 क्षेत्रमिति Intext Questions

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 11 क्षेत्रमिति Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 11 क्षेत्रमिति Intext Questions

(पाठगत प्रश्न - पृष्ठ 177-178)

प्रश्न 1.
यह एक आयताकार बगीचे की आकृति है 3 जिसकी लम्बाई 30 मीटर और चौड़ाई 20 मीटर है (आकृति देखिए।
(i) इस बगीचे को चारों ओर से घेरने वाली बाड़ की लम्बाई क्या है?
(ii) कितनी भूमि बगीचे द्वारा व्याप्त है।
(iii) बगीचे के परिमाप के साथ-साथ अन्दर की तरफ एक मीटर चौड़ा रास्ता है जिस पर सीमेंट लगवाना है। यदि 4 वर्गमीटर (m²) क्षेत्रफल पर सीमेंट लगवाने के लिए एक बोरी सीमेंट चाहिए तो इस पूरे रास्ते पर सीमेंट लगवाने के लिए कितनी सीमेंट की बोरियों की आवश्यकता है?
(iv) जैसा कि आरेख (आकृति देखिए) में दर्शाया गया है। इस बगीचे में फूलों की दो आयताकार क्यारियाँ हैं, जिनमें से प्रत्येक का आकार 1.5 m × 2 m है और शेष बगीचे के ऊपर घास है। घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) बगीचे को चारों ओर से घेरने वाली बाड़ की लम्बाई
= बगीचे का परिमाप
= 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 (30+ 20) m
= 2 × 50 m = 100 m

(ii) बगीचे द्वारा व्याप्त भूमि = बगीचे का क्षेत्रफल
= लम्बाई × चौड़ाई
= (30 × 20) m²
= 600 m²

(iii) यहाँ, PQ की लम्बाई = 30 m, चौड़ाई = OR = 20 m
∴ PQRS का क्षेत्रफल = (30 × 20) m² = 600 ²
लम्बाई AB = (30 m - 2 m)= 28 m
चौड़ाई BC = (20 m - 2 m)= 18 m
∴ ABCD का क्षेत्रफल = (28 × 18) m = 504 m²

अब, सीमेंट लगवाने वाले रास्ते का क्षेत्रफल
= PQRS का क्षेत्रफल - ABCD का क्षेत्रफल = (600 - 504) m
= 96 m²

सीमेंट की बोरियों की संख्या की गणना

= \(\frac{96 m^{2}}{4 m^{2}}\) = 24 : अतः 24 बोरी सीमेंट चाहिए।

(iv) 1.5 m × 2 m आकार वाले 2 आयताकार फूल लगी क्यारियों का क्षेत्रफल
= (2 × 1.5 × 2) m²
= 2 × 3 m² = 6 m²
घास द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल - 2 फूल लगी क्यारियों का क्षेत्रफल
= (504 - 6) m²
= 498 m²
∴ घास लगे भाग का क्षेत्रफले = 498 m.

(पृष्ठ 178)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मिलान कीजिए

क्या आप उपर्युक्त आकारों में से प्रत्येक के परिमाप का सूत्र लिख सकते हैं?
हल:

उपर्युक्त दी गई आकृतियों में से प्रत्येक के परिमाप के लिए व्यंजक (सूत्र) निम्नलिखित हैं
आयत : 2(a+b)
वर्ग: 4a
त्रिभुज : तीनों भुजाओं का योग
समान्तर चतुर्भुज : 2 × आसन्न भुजाओं का योग
वृत्त . : 2πb

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 179)

प्रश्न 1.
(a) निम्नलिखित आकृतियों का उनके क्षेत्रफलों से मिलान कीजिए

हल:
आकृतियों का उनके क्षेत्रफलों से मिलान निम्न प्रकार है

(b) प्रत्येक आकार का परिमाप लिखिए।
हल:
संगत आकार का परिमाप
(i) 2(14 + a) cm, जहाँ a cm आसन्न भुजा की लम्बाई है।
(ii) (\(\frac{22}{7}\) × 4 + 14)cm = 36 cm
(iii) (14 + 11 + 9) cm = 34 cm
(iv) 2 (14 + 7) cm = 42 cm
(v) (4 × 7) cm = 28 cm

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 180)

प्रश्न 1.
नजमा की बहन के पास भी एक समलम्ब के आकार का प्लॉट है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। इसे तीन भागों में बाँटिए। दर्शाइए कि समलम्ब =WXYZ का क्षेत्रफल = h\(\frac{(a+b)}{2}\)

हल:
माना कि बिन्दु Z तथा बिन्दु Y से WX पर डाले गए लम्ब के पाद क्रमशः L तथा M हैं।
तब, WXYZ समलम्ब का क्षेत्रफल = समकोण AWLZ का क्षेत्रफल + आयत LMYZ का क्षेत्रफल + समकोण ΔMXY का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\)(WL × ZL)+ LM × MY × \(\frac{1}{2}\)(MX × YM)
= \(\frac{1}{2}\)(WL × h) + LM × h + \(\frac{1}{2}\)(MX × h)
[∵ ZL = MY = h]
= \(\frac{1}{2}\)h × (WL + 2LM + MX)
= \(\frac{1}{2}\)h × (WL + LM + MX + LM)
= \(\frac{1}{2}\)h × (WX + ZY)
[∵ WL + LM + MX = WX और LM = ZY]
= \(\frac{1}{2}\)h × (a + b) = h\(\frac{(a+b)}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm, d =4cm, तो इसके प्रत्येक भाग का मान अलग-अलग ज्ञात कीजिए और WXYZ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इनका योग कीजिए। h, a तथा b का मान व्यंजक \(\frac{(a+b)}{2}\) में रखते हुए इसका सत्यापन कीजिए।
हल:
स्पष्टतः, h = 10 cm, c = 6 cm, b = 12 cm तथा d =4cm लेने पर a = c + b + d = (6 + 12 + 4) cm = 22 cm समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल
= ΔWLZ का क्षेत्रफल + आयत LMYZ का क्षेत्रफल + ΔMXY का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × c × h + b × h + \(\frac{1}{2}\) × d × h
= (\(\frac{1}{2}\) × 6 × 10 + 12 × 10 + \(\frac{1}{2}\) × 4 × 10)cm²
= (30 + 120 + 20) cm²
= 170 cm
और सूत्र के अनुसार

समलम्ब WXYZ का क्षेत्रफल
= \(\frac{h(a+b)}{2}\)
= \(\frac{10 \times(22+12)}{2}\)cm
= 5 × 34 cm²
= 170 cm²
अतः, क्षेत्रफल सत्यापित होता है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 181)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समलम्बों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल:
(i) क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)(9 + 7) × 3cm²
= \(\frac{1}{2}\) × 16 × 3cm²
= 8 × 3 cm²
= 24 cm²

(ii) क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\)(10 + 5) × 6cm²
= \(\frac{1}{2}\) × 15 × 6cm²
= 15 × 3 cm²
= 45 cm²

(इन्हें कीजिए - पृष्ठ 181)

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए क्या विभिन्न परिमापों वाले निम्नलिखित समलम्ब क्षेत्रफल में समान हैं : (आकृति के अनुसार).

हल:
पहले समलम्ब का परिमाप = 5 + 10 + 4 + 14 = 33 इकाई
दूसरे समलम्ब का परिमाप = 8 + 4 + 8 + 8 = 28 इकाई
तीसरे समलम्ब का परिमाप = 6 + 6 + 10 + 7 = 29 इकाई

पहले समलम्ब का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × (10 + 14) × 4 = 48 वर्ग इकाई

दूसरे समलम्ब का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × (4+ 8) x× 8 = 48 वर्ग इकाई

तीसरे समलम्ब का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × (6 + 10) × 6 = 48 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
क्या हम कह सकते हैं कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं? क्या ये आकृतियाँ सर्वांगसम हैं?
हल:
हम नहीं कह सकते कि समान क्षेत्रफल वाली आकृतियाँ सर्वांगसम भी होती हैं। ये आकृतियाँ सर्वांगसम नहीं हैं। एक वर्गाकार शीट पर कम से कम तीन ऐसे समलम्ब खींचिए जिनके परिमाप समान हो परन्तु क्षेत्रफल विभिन्न हों।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 182)

प्रश्न 1
हम जानते हैं कि 2 0समान्तर चतुर्भुज भी एक चतुर्भुज है। आइए, इसे भी हम दो त्रिभुजों में है विभक्त करते हैं और इन दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। इस प्रकार समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात करते हैं। क्या यह सूत्र आपको पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है? (आकृति देखिए)

हल:
समान्तर चतुर्भुज PORS का क्षेत्रफल
= ΔPQS का क्षेत्रफल + ΔQRS का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × b × h + \(\frac{1}{2}\) × b × h
= \(\frac{1}{2}\) × (b + b) × h
= \(\frac{1}{2}\) × 2b × h = bh
हम समलम्ब के क्षेत्रफल का सूत्र जानते हैं। आइए इसका प्रयोग करते हैं।
समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) × (समान्तर भुजाओं का योग) × इन भुजाओं के बीच की दूरी
= \(\frac{1}{2}\) × (b + b) × h = \(\frac{1}{2}\) × 2b × h = bh हाँ,
यह सूत्र हमें पूर्व में ज्ञात सूत्र से मेल खाता है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 183)

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज का विकर्ण खींचकर इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जाता है। क्या समलम्ब को भी दो सर्वांगसम त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है?
हल:
एक समलम्ब को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में नहीं बाँटा जा सकता है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 183)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित चतुर्भुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (आकृति देखिए)

हल:
(i) चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ।
= क्षेत्रफल (ΔABC) + क्षेत्रफल (ΔACD)
= (\(\frac{1}{2}\) × 6 × 3 + \(\frac{1}{2}\) × 6 × 5)cm
= (3 × 3 + 3 × 5) cm²
= (9 + 15) cm² = 24 cm²

(ii) चतुर्भुज EFGH का क्षेत्रफल = समचतुर्भुज EFGH का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × EG × FH
= (\(\frac{1}{2}\) × 7 × 6)cm²
= 21cm²

(iii) चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
= 2 × ΔPSR का क्षेत्रफल
= 2 × \(\frac{1}{2}\) × PR × SN
= (8 × 2) cm²
= 16cm

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 184)

प्रश्न 1.
(i) निम्नलिखित बहुभुजों (आकृति देखिए) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन्हें विभिन्न भागों (त्रिभुजों एवं समलम्बों) में विभाजित कीजिए।

हल:
बहुभुज EFGHI को जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, अलग-अलग भागों में बाँटा जाता है। बहुभुज EFGHI का क्षेत्रफल
= क्षेत्रफल (ΔEFI) + क्षेत्रफल (ΔFLG) + क्षेत्रफल (समलम्ब LKHG) + क्षेत्रफलं (ΔHKI)
= \(\frac{1}{2}\) × FI × EM + \(\frac{1}{2}\) × FL × GL + \(\frac{1}{2}\)(KH + LG) × LK + \(\frac{1}{2}\) × KI × KH

बहुभुज MNOPQR को जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, अलग-अलग भागों में N B बाँटा जाता है।

बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल (MBN) + क्षेत्रफल (समलम्ब MBDR) + क्षेत्रफल (ΔRDQ) + क्षेत्रफल (ΔFCQ) + क्षेत्रफल (समलम्ब CPOA) + क्षेत्रफल (ΔOAN)
= \(\frac{1}{2}\) × BN × MB + \(\frac{1}{2}\) ×(DR+MB) × BD + \(\frac{1}{2}\) × QD × RD + \(\frac{1}{2}\) × CQ × PC + \(\frac{1}{2}\) × (CP + AO) × AC + \(\frac{1}{2}\) × NA × OA

(ii) बहुभुज ABCDE को विभिन्न भागों में बाँटा गया है जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। यदि AD = AE = 8 cm, AH = 6 cm, AG = 4 cm, AF = 3 cm और BF = 2 cm, CH = 3cm, EG = 2.5 cm तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
बहुभुज ABCDE का क्षेत्रफल = ΔAFB का क्षेत्रफल + समलम्ब FBCH का क्षेत्रफल + ΔCHD का क्षेत्रफल + ADE का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × AF × BF + \(\frac{1}{2}\) × (BF + CH) × FH + \(\frac{1}{2}\) × HD × CH + \(\frac{1}{2}\) × AD × GE
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × 2cm² + \(\frac{1}{2}\) × (2 + 3) × 3cm² + \(\frac{1}{2}\) × 2 × 3cm² + \(\frac{1}{2}\) × 8 × 2.5cm² [∵ FH = AH - AF= (6 - 3) cm = 3 cm और HD = AD - AH= (8 - 6) cm = 2 cm]
= (3 + \(\frac{15}{2} + 3 + 10)\)cm² = \(\left(\frac{6+15+6+20}{2}\right)\)cm²
= \(\frac{47}{2}\)cm² = 23\(\frac{1}{2}\)cm²

(iii) यदि MP = 9cm, MD = 7 cm, MC = 6 cm, MB = 4 cm, MA = 2 cm तो बहुभुज MNOPQR (आकृति देखिए) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। NA, OC, QD एवं RB विकर्ण MP पर खींचे गए लम्ब हैं।

हल:
बहुभुज MNOPQR का क्षेत्रफल = ΔMAN का क्षेत्रफल + समलम्ब ΔNOC का क्षेत्रफल + ΔOCP का क्षेत्रफल + ΔMBR का क्षेत्रफल + समलम्ब RBDQ का क्षेत्रफल + ΔQDP का क्षेत्रफल
= \(\frac{1}{2}\) × MA × AN + \(\frac{1}{2}\) × (AN + CO) × AC + \(\frac{1}{2}\) × CP × CO + \(\frac{1}{2}\) × MB × RB + \(\frac{1}{2}\) × (RB+QD) + \(\frac{1}{2}\) × BD + \(\frac{1}{2}\) × DP × QD
= \(\frac{1}{2}\) × 2 × 2.5cm² + \(\frac{1}{2}\) × (2.5 + 3) × 4cm² +1 × 3 × 3 cm² + \(\frac{1}{2}\) × 4 × 2.5 cm² + \(\frac{1}{2}\) × (2.5 + 2) × 3 cm² + \(\frac{1}{2}\) × 2 × 2 cm²
[∵ AC = MC - MA = (6 - 2) =4 cm, CP = MP- MC = (9 - 6) cm = 3 cm, BD = MD - MB = (7 - 4)= 3 cm और DP = MP - MD = (9 - 7) cm = 2 cm]
= (2.5 + 11 + 4.5 + 5 + 6.75 + 2) cm²
= 31.75 cm²

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 188)

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में दर्शाए गए ठोस को बेलन कहना क्यों गलत है?

हल:
क्योंकि बेलन की वृत्ताकार सर्वांगसम फलकें होती हैं जो एकदूसरे के समान्तर होती हैं । इसलिए दिए गए ठोस को बेलन कहना गलत है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 189)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति देखिए) का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल:
(i) दिया गया हैलम्बाई (l) = 6cm, चौड़ाई (b) =4cm तथा ऊँचाई (h) =2 cm
∴ घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2(6 × 4 + 4 × 2 + 2 × 6)
= 2 (24 + 8 + 12)
= 2 × 44
= 88 cm²

(ii) दिया गया हैलम्बाई (l) = 4 cm, चौड़ाई (b) = 4 cm तथा ऊँचाई (h) = 10 cm
∴ घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (lb + bh + hl)
= 2 (4 × 4 + 4 × 10 + 10 × 4)
= 2 (16 + 40 + 40)
= 192 cm²

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 190)

प्रश्न 1.
क्या हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल?
हल:
हाँ, हम कह सकते हैं कि घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल।

प्रश्न 2.
यदि हम किसी घनाभ [आकृति (i)) की ऊँचाई और आधार की लम्बाई को परस्पर बदलकर एक दूसरा घनाभ [आकृति (ii)] प्राप्त कर लें तो क्या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाएगा?

हल:
घनाभ (i) का पार्श्व क्षेत्रफल
= 2(l + b) h
और घनाभ (ii) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2 (h + b) × l
स्पष्ट रूप से, ये परिणाम भिन्न हैं। अतः, घनाभ की स्थिति को बदलने से इसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल बदल जाता है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 191)

प्रश्न 1.
घन A का पृष्ठीय क्षेत्रफल और घन B का पाव पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
घन (A) का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
= 6(10)² cm²
= 600 cm²

घन (B) का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (l + l) × l
= 2(8 + 8) × 8 cm²
= 2 × 16 × 8 cm²
= 256 cm²

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 191)

प्रश्न 1.
(i) b भुजा वाले दो घनों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है (आकृति)। इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है? क्या यह 12b² है? क्या ऐसे तीन घनों को मिलाकर बनाए गए घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 18b² है? क्यों?

(ii) न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल का घनाभ निर्मित करने के लिए समान भुजा वाले 12 घनों को किस प्रकार व्यवस्थित करेंगे?
(iii) किसी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर पेंट करने के पश्चात् उस घन को समान विमाओं वाले 64 घनों में काटा जाता है (आकृति)। इनमें से कितने घनों का कोई भी फलक पेंट नहीं हुआ है? कितने घनों का 1 फलक पेंट हुआ है? कितने घनों के 2 फलक पेंट हुए हैं? कितने घनों के तीन फलक पेंट हुए हैं?

हल:
(i) यदि दो घन को मिलाने से हमें एक घनाभ मिलता है जिसकी
लम्बाई, L = b + b = 2b इकाई
चौड़ाई, B = b इकाई
ऊँचाई, H = b इकाई
∴ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (LB + BH + LH)
= 2(2b × b + b × b + 2b × b) वर्ग इकाई
= 2(2b² + b² + 2b²) वर्ग इकाई = 10b² वर्ग इकाई
इसलिए, यह 12b² नहीं है।
यदि तीन घन को क्रम में मिलाया जाये, तब इस प्रकार प्राप्त घनाभ की विमाएँ निम्न होंगी
L = लम्बाई = 3b, B = चौड़ाई = b और H = ऊँचाई = b
∴ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(LB + BH + LH)
= 2(3b × b + b × b + 3b × b) वर्ग इकाई
= 2(3b² + b + 3b²) वर्ग इकाई
= 14b² वर्ग इकाई
इसलिए, यह = 18b² नहीं है।

(ii) बराबर भुजाओं के 12 घनों को मिलाने से निम्न घनाभ प्राप्त होता होता है
(a)

इस स्थिति में : l = 12b, b = b तथा h = b
∴ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(12b × b + b × b + 12b × b)
= 2(12b² + b² + 12b²) = 50b²

(b)

इस स्थिति में: 1 = 6b, b = b तथा h = 2b
∴ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(6b × b + b × 2b + 6b × 2b)
= 2(6b² + 2b² + 12b²) = 40b²

(c)

इस स्थिति में : l = 4b, b = b तथा h = 3b
∴ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(4b × b + b × 3b + 4b × 3b)
= 2(4b² + 3b² + 12b²) = 38b²
अतः, सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए घनों को, जैसा कि (c) में दर्शाया गया है, व्यवस्थित किया जा सकता है।

(iii) उन घनों की संख्या जिनकी एक भी फलक पेंट नहीं की हुई है = 16
उन घनों की संख्या जिनकी एक फलक पेंट की हुई है = 24
उन घनों की संख्या जिनकी दो फलक पेंट की हुई हैं = 16
उन घनों की संख्या जिनकी तीन फलकें पेंट की हुई हैं = 8

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 193)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बेलनों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

हल:
(i) यहाँ, r = 14 cm और h = 8 cm कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2πrh + 2πr²
= (2 × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 8 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × 14 × 14)cm²
= (704 + 1232) cm² = 1936 cm²

(ii) यहाँ, r = 7 m= 1 m तथा h = 2 m
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr²
= (2 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 2 + 2 × \(\frac{22}{7}\) × 1 × 1)m²
= \(\left(\frac{88}{7}+\frac{44}{7}\right)\)m² = \(\frac{132}{7}\)m²
= 18\(\frac{6}{7}\)m²

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 193)

प्रश्न 1.
नोट कीजिए कि किसी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय (वक्र पृष्ठीय)क्षेत्रफल, आधार की परिधि- बेलन की ऊँचाई के समान होता है। क्या हम घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप x घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं?
हल:

हम जानते हैं कि घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l + b) × h
= आधार का परिमाप × ऊँचाई इस प्रकार, हम एक घनाभ के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को आधार का परिमाप × घनाभ की ऊँचाई के रूप में लिख सकते हैं।

(पृष्ठ 196)

प्रश्न 1.
समान आकार ( प्रत्येक घन की लम्बाई समान) वाले 36 घन लीजिए, एक घनाभ बनाने के लिए उन्हें व्यवस्थित कीजिए। आप इन्हें अनेक रूपों में व्यवस्थित कर सकते हैं। निम्नलिखित सारणी पर विचार कीजिए

आप क्या देखते हैं?
हल:
रिक्त स्थानों की पूर्ति करने पर सारणी निम्न प्रकार होगी

हम देखते हैं कि इन घनाभों को बनाने के लिए हमने 36 घनों का प्रयोग किया है। इसलिए प्रत्येक स्थिति में इसका आयतन 36 घन इकाई है। स्पष्ट रूप से, यह लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई के बराबर है।

(पृष्ठ 197-I - प्रयास कीजिए)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनाभों (आकृति) का आयतन ज्ञात कीजिए

हल:
(i) घनाभ का आयतन = (8 × 3 × 2) cm³
= 48 cm³
(ii) घनाभ का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
= (24 × \(\frac{3}{100}\))m³ = 0.72 m³

(पृष्ठ 197-II)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित घनों का आयतन ज्ञात कीजिए
(a) 4cm भुजा वाला
हल:
घन का आयतन = (भुजा)³
= (4)³ cm³ = 64 cm³

(b) 1.5 m भुजा वाला
हल:
घन का आयतन = (भुजा)³
= (1.5) m³ = 3.375 m³

(इन्हें कीजिए - पृष्ठ 197)

प्रश्न 1.
समान आकार वाले 64 घनों को जितने रूपों में आप व्यवस्थित कर सकते हैं उतने रूपों में व्यवस्थित करते हुए घनाभ बनाइए। प्रत्येक रूप का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। क्या समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है?
हल:
कुछ व्यवस्थित रूप इस प्रकार हैं

एवं इस प्रकार प्रत्येक घनाभ का आयतन भी 64 घन इकाई है
इसलिए, हम यह नहीं कह सकते कि समान आयतन वाली ठोस आकृतियों का पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होता है।

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 197-198)

प्रश्न 1.
एक कम्पनी बिस्कुट बेचती है। बिस्कुटों को पैक करने के लिए घनाभाकार डिब्बों का उपयोग किया जा रहा है। डिब्बा A → 3 cm × 8 cm × 20 cm, डिब्बा B → 4 cm × 12 cm × 10 cm. डिब्बे का कौन-सा आकार कम्पनी के लिए आर्थिक दृष्टि से लाभदायक रहेगा? क्यों? क्या आप ऐसे किसी और आकार (विमाएँ) के डिब्बे का सुझाव दे सकते हैं जिसका आयतन इनके समान हो परन्तु इनकी तुलना में आर्थिक दृष्टि से अधिक लाभदायक हो?
हल:
डिब्बा A :
आयतन = (3 × 8 × 20) cm³ = 480 cm³
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(3 × 8 + 8 × 20 + 20 × 3) cm²
= 2(24 + 160 + 60) cm²
= 2 × 244 cm² = 488 cm²

डिब्बा B: आयतन = (4 × 12 × 10) cm²
= 480 cm²

पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(4 × 12+ 12 × 10 + 10 × 4) cm
= 2(48 + 120+ 40) cm
= 2 × 208 cm = 416 cm

स्पष्ट है कि B प्रकार के डिब्बे का आयतन
= A प्रकार के डिब्बे का आयतन

परन्तु, B प्रकार के डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल A प्रकार के डिब्बे के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कम है।
∴ डिब्बा B में कम सामग्री लगेगी। इसलिए डिब्बा B आर्थिक रूप से अधिक लाभदायक है। एक अन्य प्रकार का डिब्बा जिसका आकार 8 cm × 6 cm × 10 cm है अर्थात् आयतन 480 cm² है।
इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(48 + 60 + 80) cm²
= 2 (188) cm²
= 376 cm²
स्पष्ट है कि इस डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल डिब्बा B से भी कम है। इसलिए यह दिए गए दोनों प्रकार के डिब्बों से आर्थिक रूप से अधिक लाभदायक है।

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 198)

प्रश्न 1.
नीचे दिए बेलनों का आयतन ज्ञात कीजिए

हल:
(i) बेलन का आयतन = πr²h
जहाँ r = 7 cm, h = 10 cm
= (\(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 × 10)cm³
= 1540 cm³

(ii) बेलन का आयतन = (आधार का क्षेत्रफल) x ऊँचाई
= (250 × 2) m³ = 500 m³