RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Intext Questions

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Intext Questions Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 7 Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुजों की सर्वांगसमता Intext Questions

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 149)

प्रश्न 1.
जब दो त्रिभुज, मान लीजिए ABC और POR, दिए हुए हों तो उनमें आपस में कुल छः सम्भव सुमेलन होते हैं। उनमें से दो सुमेलन ये हैं :
(i) ABC ↔ PQR और 
(ii) ABC ↔ QRP
दो त्रिभुजों के कट आउट (cutouts) का प्रयोग करके अन्य चार समेलनों को ज्ञात कीजिए। क्या ये सभी सुमेलन सर्वांगसमता दर्शाते हैं? इसके बारे में विचार कीजिए।
हल:
दो त्रिभुजों ABC और PQR में, इनके शीर्षों में निम्न छः सुमेलन होते हैं : 
(i) A ↔ P, B ↔ Q और C ↔ R को लिखते हैं :
ABC ↔ PQR 

(ii) A ↔ Q, B ↔ R और C ↔ P को लिखते
ABC ↔ QRP 

(iii) A ↔ R, B ↔ P और C ↔ Q को लिखते
ABC ↔ RPO

(iv) A ↔ P, B ↔ R और C ↔ Q को लिखते

यदि ΔABC, ΔPQR के सर्वांगसम है तो ΔABC के शीर्षों के छः सुमेलन ΔPQR के ठीक-ठीक समान होंगे। ये विशेष सुमेलन संगत भुजा और कोण सर्वांगसम होंगे।

 

(प्रयास कीजिए - पृष्ठ 152-153)

प्रश्न 1.
नीचे दी गई आकृतियों में त्रिभुजों की भुजाओं की लम्बाइयाँ दर्शाई गई हैं। SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का प्रयोग करके बताइए कि कौन-कौनसे त्रिभुज-युग्म सर्वांगसम हैं। सर्वांगसमता की स्थिति में, उत्तर को सांकेतिक रूप में लिखिए।

हल:
ΔABC और PQR में,
AB = PQ (= 1.5 cm)
BC = QR (= 2.5 cm) 
और CA = RP (= 2.2 cm) 
अतः, SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔABC ≅ ΔPQR 

हल:
ΔDEF और ΔLMN में, दिया है :
EF = ML (= 3 cm)
ED = MN (= 3.2 cm) 
और DF = NL (= 3.5 cm)
अतः, SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध से, निम्नलिखित संगत भाग हैं :
D ↔ N, E ↔ M और F ↔ L
इस प्रकार, ΔDEF ≅ ΔLMN

हल:
ΔABC और ΔPQR सर्वांगसम नहीं हैं।

हल:
ΔADB और ΔADC में,
∴ AD = AD (उभयनिष्ठ)
DB = DC (= 2.5 cm) 
और BA = CA (= 3.5 cm) 
∴ SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔADB ≅ ΔADC. 

प्रश्न 2. 
आकृति में, AB = AC और D, \(\overline{B C}\) का मध्य बिन्दु है।

(i) ΔADB और ΔADC में बराबर भागों के तीन युग्म बताइए।
हल:
ΔADB तथा AADC में,
AD = AD [उभयनिष्ठ]
AB = AC [दिया है।] 
और DB = DC [∵ D, BC का मध्य बिन्दु है]

(ii) क्या ΔADB ≅ ΔADC है? कारण दीजिए।
हल:
SSS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔADB ≅ ΔADC 

(ii) क्या ∠B = ∠C है? क्यों?
हल:
हाँ, ∠B = ∠C क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग समान होते

प्रश्न 3.
आकृति में, AC = BD और AD = BC है। निम्नलिखित कथनों में कौनसा कथन सत्य है?

(i) ΔABC ≅ ΔABD
हल:
ΔABC ≅ ΔABD नहीं लिख सकते
AB = AB [सही है]
BC = BD [सही नहीं है]
और CA = DAS [सही नहीं है] 

(ii) ΔABC ≅ ΔBAD
हल:
ΔABC ≅ ΔBAD लिख सकते हैं।
AB = AB [उभयनिष्ठ]
BC = AD [दिया है]
CA = BD [दिया है]

(सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए - पृष्ठ 153)

प्रश्न 1.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। ΔABC की एक अक्स प्रतिलिपि लीजिए और इसे भी ΔABC का नाम दीजिए।

(i) ΔABC और ΔACB में बराबर भागों के तीन युग्म बताइए।
हल:
ΔABC और ΔACB में तीन समान भाग हैं
AB = AC
AC = AB
और BC = CB

(ii) क्या ΔABC ≅ ΔACB है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
हल:
ΔABC और ΔACB में,
AB = AC
BC = CB और
AC = AB
∴ sss सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔABC ≅ ΔACB

(ii) क्या ∠B = ∠C है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
हल:
हाँ, ∠B = ∠C
[सर्वांगसम त्रिभुज ABC और ACB के संगत भाग] 

(इन्हें कीजिए - पृष्ठ 156)

प्रश्न 1.
ΔDEF की भुजाओं \(\overline{\mathrm{DE}}\) और \(\overline{\mathrm{EF}}\) के अन्तर्गत कोण कौनसा है?
हल:
ΔDEF की भुजाओं \(\overline{\mathrm{DE}}\) और \(\overline{\mathrm{EF}}\) के अन्तर्गत ∠DEF है।

प्रश्न 2.
SAS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके आप ΔPQR ≅ ΔFED स्थापित करना चाहते हैं। यह दिया गया है कि PQ = FE और RP = DF है। सर्वांगसमता को स्थापित करने के लिए अन्य किस तथ्य या सूचना की आवश्यकता होगी?
हल:
ΔPQR ≅ ΔFED को स्थापित करने के लिए अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता होगी, वह है
∠P = ∠F
ये क्रमशः दो भुजाओं PQ और RP तथा FE और DF के बीच के कोण हैं।

प्रश्न 3.
आकृति में, त्रिभुजों के युग्मों में कुछ भागों की माप अंकित की गई है। SAS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके, इनमें वे युग्म छाँटिए, जो सर्वांगसम हैं। सर्वांगसम त्रिभुजों की स्थिति में उन्हें सांकेतिक रूप में भी लिखिए।

हल:
ΔABC और ΔDEF सर्वांगसम नहीं हैं।

हल:
ΔACB और ΔRPQ में,
AC = RP (= 2.5 cm)
∠C = ∠P (= 35%) 
और CB = PQ (= 3 cm) 
∴ SAS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔACB ≅ ΔRPQ

हल:
ΔDEF और ΔPQR में,
DF = PQ (= 3.5 cm)
∠F = ∠Q (= 40°)
और FE = QQ (= 3 cm)
इसलिए, SAS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध से, निम्नलिखित संगतता से ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं :
D ↔ P, F ↔ Q और E ↔ R
इस प्रकार, ΔDEF ≅ ΔPRQ 

हल:
ΔRSP और ΔPQR में,
RS = PQ (= 3.5 cm)
∠PRS = ∠RPQ (= 30°)
और RP = PR [उभयनिष्ठ]
∴ SAS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔRSP ≅ ΔPQR 

प्रश्न 4.
आकृति में, AB और CD एक दूसरे को 0 पर समद्विभाजित करते हैं।

(i) दोनों त्रिभुजों AOC और BOD में बराबर भागों के तीन युग्मों AV को बताइए।
(ii) निम्न कथनों में से कौनसे कथन सत्य हैं? 
(a) ΔAOC ≅ ΔDOB 
(b) ΔAOC ≅ ΔBOD
हल:
(i) दो ΔAOC और ΔBOD में तीन समान जोड़े हैं :
AO = BO, CO = DO और ∠AOC = ∠BOD
(ii) (b) सत्य है।

(इन्हें कीजिए - पृष्ठ 158)

प्रश्न 1.
ΔMNP में कोणों, M और N के अन्तर्गत भुजा क्या है?
हल:
ΔMNP में कोण M तथा कोण N के अन्तर्गत भुजा MN है।

प्रश्न 2.
ASP सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके आप ΔDEF ≅ ΔMNP स्थापित करना चाहते हैं। आपको दिया गया है कि ∠D = ∠M और ∠F = ∠P। इस सर्वांगसमता को स्थापित करने के लिए और कौनसे तथ्य की आवश्यकता है? (खाका आकृति बनाकर कोशिश कीजिए।)
हल:
ΔDEF ≅ ΔMNP स्थापित करने के लिए ASA सर्वांगसम प्रतिबन्ध के लिए हमें भुजा सर्वांगसमता की आवश्यकता होगी

भुजा DF = भुजा MP

प्रश्न 3.
आकृतियों में, त्रिभुजों के कुछ भागों की माप अंकित की गई है। ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके बताइए कौनसे त्रिभुजों के युग्म सर्वांगसम हैं। सर्वांगसमता की स्थिति में, उत्तर को सांकेतिक रूप 3 में लिखिए।

हल:
ΔABC और ΔEFD में,
∠A = ∠F (= 40°)
AB = FE (= 3.5 cm)
और ∠B = ∠E (= 60°)
∴ ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध से, निम्नलिखित संगतता से ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं :
A ↔ F B ↔ E और C ↔ D
इस प्रकार, ΔABC ≅ ΔFED

हल:
दिए गए त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।

हल:
ΔPQR और ΔMNL में,
∠R = ∠L (= 60%)
QR = NL (= 6 cm)
और ∠Q = ∠N (= 30°)
∴ ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔPQR ≅ ΔMNL 

हल:
ΔABC और ΔBAD में,
∠CAB = ∠DBA (= 30°)
AB = BAS [उभयनिष्ठ] 
और ∠ABC = ∠BAD
(= 30° + 45° = 75°) 
∴ ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔABC ≅ ΔBAD

प्रश्न 4.
दो त्रिभुजों के कुछ भागों की निम्न माप दी गई है। ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके जाँचिए कि क्या ये दो त्रिभुज सर्वांगसम हैं या नहीं। सर्वांगसमता की स्थिति में उत्तर को सांकेतिक रूप में भी लिखिए। 

ΔDEF	ΔPQR
(i) ∠Q = 60°, ∠F = 80°, DF = 5 cm.	∠Q = 60°, ∠R = 80° QR= 5 cm
(ii) ∠D = 60°, ∠F = 80°, DF = 6 cm	∠Q = 60°, ∠R = 80° QP = 6 cm
(iii) ∠E = 80°, ∠F = 30°, EF = 5 cm	∠P = 80°,  PQ = 5 cm, ∠R = 30°

हल:
(i) ΔDFE और ΔQRP में,
∠D = ∠Q (= 60°) 
DF = QR (= 5 cm) 
और ∠F = ∠R (= 80°)

∴ ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔDFE ≅ ΔQRP 

(ii) क्योंकि समान कोणों के बीच की भुजाएँ DF और QR समान नहीं हैं, इसलिए दिए गए त्रिभुज समान नहीं हैं, इसलिए,

त्रिभुजें सर्वांगसम नहीं हैं। 

(iii) ΔDEF और ΔQPR में,
∠E = ∠P (= 80°)
और ∠F = ∠R (= 30°)

परन्तु EF भुजा PR के बराबर नहीं है (यह भुजा PQ के बराबर है)। इसलिए, दोनों त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।

प्रश्न 5.
आकृति में, किरण- AZ, ∠DAB तथा ∠DCB को समद्विभाजित करती है।
(i) त्रिभुजों BAC और DAC में बराबर भागों के तीन युग्म बताइए।
(ii) क्या ΔBAC ≅ ΔDAC है? कारण दीजिए।
(ii) क्या AB = AD है? अपने उत्तर का उचित कारण दीजिए।
(iv) क्या CD = CB है? कारण दीजिए।

हल:
(i) ΔBAC तथा ΔDAC में तीन समान युग्म हैं
∠BAC = ∠DAC, AC = AC और ∠BCA = ∠DCA

(ii) हाँ, ASA सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔBAC ≅ ΔDAC

(iii) हाँ, AB = AD [∵ सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग समान होते हैं]

(iv) हाँ, CD = CB [∵ सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग समान होते हैं] 

(इन्हें कीजिए - पृष्ठ 160)

प्रश्न 1.
आकृतियों में, त्रिभुजों के कुछ भागों की माप दी गई है। RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध का उपयोग करके बताइए कि कौन-कौनसे त्रिभुज युग्म सर्वांगसम हैं? सर्वांगसम त्रिभुजों की स्थिति में, उन्हें सांकेतिक रूप में लिखिए।

हल:
यहाँ ΔPQR की भुजा PQ तथा ΔDEF की भुजा DE बराबर नहीं है, अतः
ΔPQR और ΔDEF सर्वांगसम नहीं हैं। 

हल:
ΔCAB तथा ΔDBA में,
∠C = ∠D (= 90°) 
AB = BA (= 3.5 cm)
और CA = DB (= 2 cm)
RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔCAB ≅ ΔDBA 

हल:
ΔABC और ΔADC में,
∠B = ∠D (= 90°)
कर्ण AC = कर्ण AC [उभयनिष्ठ] और
AB = AD (= 3.6 cm)
∴ RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔABC ≅ ΔADC

हल:
ΔPSQ और ΔPSR में,
∠PSQ = ∠PSR (= 90°)
कर्ण PQ = कर्ण PR (= 3 cm)
और PS = PS [उभयनिष्ठ]
∴ RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔPSQ ≅ ΔPSR 

प्रश्न 2.
RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध से ΔABC ≅ ΔRPQ स्थापित करना है। यदि यह दिया गया हो कि ∠B = ∠P = 90° और AB = RP है तो अन्य किस और सूचना की आवश्यकता है?
हल:
RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा ΔABC ≅ ΔRPQ स्थापित करने के लिए हमें कर्ण AC = कर्ण RQ को समान करने की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 3.
आकृति में, BD और CE, ΔABC के शीर्ष लम्ब हैं और BD = CE.
(i) ΔCBD और ΔBCE में, बराबर भागों के तीन युग्म बताइए।
(ii) क्या ΔCBD ≅ ΔBCE है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
(iii) क्या ∠DCB = ∠EBC है? क्यों या क्यों नहीं?

हल:
(i) ACBD और ABCE में तीन समान भागों के युग्म हैं 
CB = BC, 
∠CDB = ∠BEC
और BD = CE 

(ii) RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔCBD ≅ ΔBCE

(iii) हाँ, ∠DCB = ∠EBC (∵ सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग समान होते हैं।) 

प्रश्न 4. 
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC और AD इसका एक शीर्षलम्ब है।
(i) ΔADB ≅ ΔADC में, बराबर भागों के तीन युग्म बताइए।
(ii) क्या ΔADB ≅ ΔADC है? क्यों अथवा क्यों नहीं?
(iii) क्या ∠B = ∠C है? क्यों या क्यों नहीं? 
(iv) क्या BD = CD है? क्यों अथवा क्यों नहीं?

हल:
(i) ΔADB और ΔADC में बराबर भागों के तीन युग्म हैं
AD = AD, 
∠ADB = ∠ADC 
और AB = AC

(ii) RHS सर्वांगसमता प्रतिबन्ध द्वारा
ΔADB ≅ ΔADC

(iii) हाँ, ∠B = ∠C (∵ सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत - भाग बराबर होते हैं।)

(iv) हाँ, BD = CD (∵ सर्वांगसमता त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं।)