RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 7 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज और उसके गुण Ex 6.5

प्रश्न 1.
PQR एक त्रिभुज है जिसका P एक समकोण है। यदि PQ = 10 cm तथा PR = 24 cm तब QR ज्ञात कीजिए।
हल:
समकोण ΔPQR में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
QR² = PQ² + PR²

इसलिए, QR² = 24² + 10²
= 576 + 100
= 676 = 262
QR = 26 cm

प्रश्न 2.
ABC एक त्रिभुज है जिसका C एक समकोण है। यदि AB = 25 cm तथा AC = 7 cm तब BC ज्ञात कीजिए।
हल:
समकोण ΔABC में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर,
AB² = AC² + BC²

इसलिए, BC² = AB² - AC²
= 25² - 7²
या BC² = (25 + 7) (25 - 7)
= 32 × 18 = 16 × 2 × 18
या BC² = 16 × 36 = (4 × 6)²
या BC = 4 × 6 = 24 cm

प्रश्न 3.
दीवार के सहारे उसके पैर कुछ दूरी पर टिका. कर 15 m लम्बी एक सीढ़ी भूमि से 12 m ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँच जाती A है। दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
माना AB सीढ़ी है और B खिड़की है तो,
AB = 15 m और BC = 12 m
क्योंकि AABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है, इसलिए
AC² = AB² - BC² = 15² - 12²
= 225 - 144
= 81 = 92.
या AC = 9 m
अतः, दीवार से सीढ़ी के पैर की दूरी 9 m है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में भुजाओं के कौनसे समूह एक समकोण त्रिभुज बना सकते हैं?
(i) 2.5 cm, 6.5 cm, 6 cm
(ii) 2 cm, 2 cm, 5 cm
(iii) 1.5 cm, 2 cm, 2.5 cm
समकोण त्रिभुज होने की स्थिति में उसके समकोण को भी पहचानिए।
हल:
(i) माना a = 2.5 cm, b = 6.5 cm और c = 6 cm तो .
a² + c² = (2.5)² + 6²
= 6.25 + 36 = 42.25
और b² = (6.5)² = 42.25
इसलिए, a² + c² = b²
अतः, दी गई भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बना सकती हैं और समकोण भुजा 6.5 cm का सम्मुख कोण होगा।

(ii) माना a = 2 cm, b = 2 cm और c = 5 cm
a² + b² = 2² + 2²
= 4 + 4 = 8
c² = 5² = 25
इसलिए, a² = b² ≠ c²
अतः, दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज नहीं बना सकती हैं।

(iii) माना a = 1.5 cm, b = 2 cm और c = 2.5 cm
a² + b² = 1.5² + 2²
= 2.25 +4 = 6.25 और
c² = (2.5)² = 6.25
इसलिए, a² + b² = c²
अतः, दी गई भुजाएँ समकोण त्रिभुज बना सकती हैं और 2.5 cm की भुजा का सम्मुख कोण समकोण होगा।

प्रश्न 5.
एक पेड़ भूमि से 5 m की ऊँचाई पर टूट जाता है और उसका ऊपरी सिरा भूमि को उसके आधार से 12 m की दूरी पर छूता है। पेड़ की पूरी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ACB टूटने से पहले पेड़ है जो C बिन्दु से टूटता है और इसका ऊपरी हिस्सा A जमीन पर A' पर छूता है तो ΔA'BC एक समकोण त्रिभुज बनाता है। जिसका B समकोण है तथा A'B = 12 m, BC = 5 m .

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
(AC)² = (A'B)² + (BC)²
(A'C)² = 12² + 5²
= 144 + 25 = 169 = 13²
AC = 13
AC = A'C = 13 m [∵ AC = AC]
AB = AC + BC = (13 + 5) m
= 18 m
अतः, टूटने से पहले पेड़ की ऊँचाई 18 m थी।

प्रश्न 6.
त्रिभुज PQR में कोण Q = 25° तथा कोण R = 65° हैं। निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है?

(i) PQ² + QR² = RP²
(ii) PO² + RP² = OR²
(iii) RP² + QR² = PQ²
हल:
कोण योग गुण द्वारा,
∠P + ∠Q + ∠R= 180°
इसलिए, ∠P + 25° + 65° = 180°
या ∠P + 90° = 180°
∠P = 180° - 90° = 90°
∴ ΔPQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका P समकोण है।
∴ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,
PQ² + RP² = QR²

अतः (ii) सत्य है। उत्तर

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई 40 cm है तथा उसका एक विकर्ण 41 cm है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:

माना ABCD एक P आयत है जिसमें AB = 40 m और AC = 41 m
समकोण ΔABC में कोण B समकोण है।
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
BC² = AC² - AB
= 41² - 40² = (41 + 40) (41 - 40)
= 81 × 1 = 81 = 92
या BC = 9 m
अब, आयत का परिमाप = 2(AB + BC)
= 2(40 + 9) m
= 2 × 49 m
= 98 m

प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 30 cm हैं। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:

माना MNOP एक समचतुर्भुज है जिसमें
MO = 30 cm और NP =. 16 cm
MK यह देखा जा सकता है कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं।
∴ ΔMRN में,
MR = \(\frac{1}{2}\) MO
= \(\frac{1}{2}\) × 30 cm = 15 cm,
RN = \(\frac{1}{2}\)NP
= \(\frac{1}{2}\) × 16 cm = 8 cm,
और ∠MRN = 90°

∴ पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
MN² = MR² + RN²
= 15² + 8²
= 225 + 64 = 289 = 172
या MN = 17 cm

∴ समचतुर्भुज का परिमाप = 4 × MN
= 4 × 17 cm
= 68 cm