RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 7 Maths Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 7 Maths Solutions Chapter 13 घातांक और घात Ex 13.2

प्रश्न 1.
घातांकों के नियमों का प्रयोग करते हुए, सरल कीजिए और उत्तर को घातांकीय रूप में लिखिए :
(i) 3² × 3⁴ × 3⁸
हल:
3² × 3⁴ × 3⁸ = 3²⁺⁴⁺⁸ = 3¹⁴

(ii) 6¹⁵ ÷ 6¹⁰
हल:
6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6^15-10 = 6⁵

(ii) a³ × a²
हल:
a³ × a² = a³⁺² = a⁵

(iv) 7^x × 7²
हल:
7^x × 7² = 7^x+2

(v) (5²)³ + 5³
हल:
(5²)³ + 5³ = 5^2×3 ÷ 5³ = 5⁶ ÷ 5³
= 5^6-3 = 5³

(vi) 2² × 5⁵
हल:
2² × 5⁵ = (2 × 5)⁵ = (10)⁵

(vii) a⁴ × b⁴
हल:
a⁴ × b⁴ = (ab)⁴

(viii) (3⁴)³
हल:
(3⁴)³ = 3^4×3 = 3¹²

(ix) (2²⁰ × 2¹⁵) × 2³
हल:
(2²⁰ × 2¹⁵) × 2³ = (2^20-15) × 2³
= 2⁵ × 2³ = 2⁵⁺³ = 2⁸

(x) 8^t ÷ 8²
हल:
8^t ÷ 8² = 8^t-2

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को सरल करके घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) \(\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 4}{3 \times 32}\)
हल:

(ii) [(5²)³ × 5⁴] ÷ 5⁷
हल:
[(5²)³ × 5⁴] ÷ 5⁷ = (5^2×3 × 5⁴) ÷ 5⁷
= (5⁶ × 5⁴) ÷ 5⁷
= 5⁶⁺⁴ + 5⁷
= 5¹⁰ -5⁷
= 5^10-7 = 5³

(iii) 25⁴ + 5³
हल:
25⁴ + 5³ = (5²)⁴ = 5³ = 5^2×4 ÷ 5³
= 5⁸ ÷ 5³ = 5^8-3 = 5⁵

(iv) \(\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{21 \times 11^{3}}\)
हल:

(v) \(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}\)
हल:
\(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}=\frac{3^{7}}{3^{4+3}}=\frac{3^{7}}{3^{7}}\)
= 3^7-7 = 3⁰ या 1

(vi) 2° + 3° + 4°
हल:
2° + 3° + 4° = 1 + 1 + 1 = 3

(vii) 2° × 3° × 4°
हल:
1 × 1 × 1 = 1

(viii) (3° + 2°) × 5°
हल:
= (1 × 1) × 1
= 2 × 1 = 2

(ix) \(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}\)
हल:
\(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}=\frac{2^{8} \times a^{5}}{\left(2^{2}\right)^{3} \times a^{3}}=\frac{2^{8} \times a^{5}}{2^{6} \times a^{3}}\)
= 2^8-6 × a^5-3
= 2² × a² = (2a)²

(x) \(\frac{a^{5}}{a^{3}}\) × a⁸
हल:
\(\frac{a^{5}}{a^{3}}\) × a⁸ = (a^5-3) × a⁸ = a² × a⁸
= a²⁺⁸ = a¹⁰

(xi) \(\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}\)
हल:
\(\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}\) = 4^5-5 × a^8-5 × b^3-2
= 4⁰ × a³ × b¹
= 1 × a³ × b = a³b

(xii) (2³ × 2)³
हल:
(2³ × 2)³ = (2³⁺¹)² = (2⁴)² = 2⁸

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य तथा अपने उत्तर का कारण भी दीजिए :
(i) 10 × 10¹¹ = 100¹¹
हल:
L.H.S. = 10 × 10¹¹
= 10¹⁺¹¹ = 10¹²
और R.H.S. = 100¹¹ = (10²)¹¹
= 10^2×11 = 10²²
इस प्रकार, L.H.S. ≠ R.H.S.
अतः कथन असत्य है।

(ii) 2³ > 5²
हल:
23 = 2 x 2 x 2 = 8 और
52 = 5 x 5 = 25
इस प्रकार, . 23 + 52
अतः कथन असत्य है।

(iii) 2³ × 3² = 6⁵
हल:
L.H.S. = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
R.H.S. = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776
∴ L.H.S. = R.H.S.
अतः कथन असत्य है।

(iv) 3⁰ = (1000)⁰
हल:
सत्य है, क्योंकि 30 = 1 और (1000)° = 1
इसलिए, L.H.S. = R.H.S.
अतः कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से प्रत्येक को केवल अभाज्य गुणनखण्डों की घातों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 108 × 192
हल:
108 × 192

∴ 108 × 192 = (2 × 2 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3)
= 2² × 3³ × 2⁶ × 3¹
= 2²⁺⁶ × 3³⁺¹
= 2⁸ × 3⁴

(ii) 270
हल:

∴ 270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2 × 3³ × 5

(iii) 729 × 64
हल:

∴ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁶
और 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁶
इसलिए, 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶

(iv) 768
हल:

∴ 768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 2⁸ × 3

प्रश्न 5.
सरल कीजिए :
(i) \(\frac{\left(2^{5}\right)^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}\)
हल:
\(\frac{\left(2^{5}\right)^{2} \times 7^{3}}{8^{3} \times 7}=\frac{2^{10} \times 7^{3}}{\left(2^{3}\right)^{3} \times 7}=\frac{2^{10} \times 7^{3}}{2^{9} \times 7}\)
= 2^10-9 × 7^3-1 = 2¹ × 7²
= 2 × 49 = 98

(ii) \(\frac{25 \times 5^{2} \times t^{8}}{10^{3} \times t^{4}}\)
हल:

(iii) \(\frac{25 \times 5^{2} \times t^{8}}{10^{3} \times t^{4}}\)
हल: