RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.4

प्रश्न 1 से 7 तक प्रत्येक श्रेढी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए ।

प्रश्न 1.
1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ..................
हल:
माना कि दी गई श्रेढ़ियों का nवाँ पद T_n है । अत:
T_n = [1, 2, 3, ....nवाँ पद] . [2, 3, 4, ....n पद]
= [1 + (n - 1 ) 1] [2 + (n - 1) . 1]
= n (n + 1)
T_n = n² + n

ΣT_n = S_n = Σn² + Σn

प्रश्न 2.
1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5+.....
हल:
माना कि दी गई श्रेढियों के nवें पद को T से प्रदर्शित किया जाता है।
T_n = [1, 2, 3.... का nवाँ पद ] . [2, 3, 4,... का वाँ पद] . [3, 4, 5.... का वाँ पद]
= [1 + (n - 1) 1] . [2 + (n - 1). 1]
= n (n + 1). (n + 2) [3 + (n − 1). 1]
= n (n² + 3n + 2)
= n³ + 3n² + 2n.
∴ ΣT_n = S_n = Σn³ + 3Σn² + 2Σn

प्रश्न 3.
3 × 1² + 5 × 2² + 7 × 3² + ...........
हल:
माना कि दी गई श्रेढ़ियों के nवें पद को T_n से प्रदर्शित किया जाता है।
T_n = [3, 5, 7,.......... का nवाँ पद] . [1, 2, 3, ......... का nवाँ पद]²
= [3 + (n - 1)2].[1 + (n - 1). 1]²
= n² (2n + 1)
= 2n³ + n²
ΣT_n = 2Σn³ + Σn²

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}\) + ..............
हल:
माना कि दी गई श्रेढियों के वें पद को T_n से प्रदर्शित किया जाता है।

माना कि \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{\mathrm{A}}{n}+\frac{\mathrm{B}}{n+1}\) ..........(i)
दोनों पक्षों में n (n+1) का गुणा करने पर
⇒ 1 = A (n + 1) + Bn ..........(ii)
समीकरण (ii) में n = 0 रखने पर
1 = A (0 + 1) ⇒ A = 1
समीकरण (ii) में n = -1 रखने पर
1 = B (- 1) ⇒ B = -1
समीकरण (i) में A तथा B के मान रखने पर

प्रश्न 5.
5² + 6² + 7² + ....... + 20²
हल:
माना कि दी गई श्रेढी का वाँ पद T_n है अतः
T_n = (5, 6, 7..... का वाँ पद)²
= [5 + (n - 1) 1]²
= (n + 4)² = n² + 8n + 16
∴ ΣT_n = S_n = Σn² + 8Σn + 16Σ1
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) + 8 × \(\frac{n(n+1)}{2}\) + 16n
= \(\frac{n}{6}\)[(n + 1)(2n + 1) + 24(n + 1) + 96]
= \(\frac{n}{6}\)[2n² + n + 2n + 1 + 24n + 24 + 96]
= \(\frac{n}{6}\)(2n² + 27n + 121)
माना T_n = 20, a = 5, d = 1
⇒ 20 = 5 + (n - 1)1
⇒ 20 = 5 + n - 1
⇒ 20 - 4 = n
n = 16 रखने पर
S₁₆ = \(\frac{16}{6}\) [2 × (16)² + 27 × 16 + 121]
= \(\frac{8}{3}\)(512 + 432 + 121)
= \(\frac{8}{3}\) × 1065
= 8 × 355 = 2840

प्रश्न 6.
3 × 8 + 6 × 11 + 9 × 14 + ......
हल:
माना कि दी गई श्रेढियों का nवाँ पद T_n
T_n = [3, 6, 9... का nवाँ पद]. [8, 11, 14.... का ņवाँ पद ]
= [3 + (n - 1) 3]. [8 + (n - 1) 3]
= [3 + 3n - 3]. [8+ 3n - 3]
= 3n. (3n+ 5) = 9n² + 15n
∴ ΣT_n = S_n = 9 Σn² + 15 Σn
= 9 × \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) + 15 \(\frac{n(n+1)}{2}\)
= \(\frac{3}{2}\). n(n + 1)[2n + 1 + 5]
= \(\frac{3}{2}\) . n(n + 1)(2n + 6)
= 3n(n + 1)(n + 3)

प्रश्न 7.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ..........
हल:
माना कि दी गई श्रेणी का nवाँ पद T_n है अतः
T_n = 1² + 2² + 3² + ............. + n² = Σn²

प्रश्न 8 से 10 तक प्रत्येक श्रेढी के पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nवाँ पद दिया है।

प्रश्न 8.
n (n + 1) (n + 4).
हल:
प्रश्नानुसार T_n = n (n + 1) (n + 4)
= n (n² + 5n + 4)
T_n = n³ + 5n² + 4n
दिए हुए पदों का योग
ΣT_n = S_n = Σn³ + 5Σn² + 4Σn

प्रश्न 9.
n² + 2ⁿ
हल:
प्रश्नानुसार T_n = n² + 2ⁿ
n = 1, 2, 3, ......... n रखने पर
T₁ = (1)² + 2¹
T₂ = (2)² + 2²
T₃ = (3)² + 2³
.....................
T_n = n² + 2ⁿ
इन पदों का ऊर्ध्वाधर योग करने पर
S_n = (1² + 2² + 3² + ........... + n²) + (2¹ + 2 ² + 2³ + ......... + 2ⁿ]
= Σn² + \(\frac{2\left(2^n-1\right)}{2-1}\)
= \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\) + 2(2ⁿ - 1)

प्रश्न 10.
(2n - 1)²
हल:
प्रश्नानुसार T_n = (2n - 1)²
T_n = 4n² - 4n + 1
ΣΤ_n = S_n = 4Σn² - 4Σn + n