RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 9.3

प्रश्न 1.
गुणोत्तर श्रेढी \(\frac{5}{2}\), \(\frac{5}{4}\), \(\frac{5}{8}\), ....................... का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
उस गुणोत्तर श्रेढी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्वअनुपात 2 है।
हल:
माना कि गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a प्रश्नानुसार सार्वअनुपात (r) = 2 तथा T₈ = 192
⇒ प्रश्नानुसार a.r^{8 - 1} = 192
या a .(2)⁷ = 192
या a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
T₁₂ = a.r¹¹ = \(\frac{3}{2}\) . (2)¹¹
∴ = 3. 2¹⁰ = 3 × 1024 = 3072

प्रश्न 3.
किसी गुणोत्तर श्रेढी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11वाँ पद क्रमशः p, q तथा s हैं तो दिखाइए कि q² = ps.
हल:
प्रश्नानुसार T₅ = ar⁴ = p
T₈ = ar⁷ = p
T₁₁; = ar¹⁰ = p
∴ L.H.S. = q² = (ar⁷)² = a²r¹⁴
तथा R.H.S. = ps = (ar⁴) (ar¹⁰)
= a²r¹⁴
अतः q² = ps
∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 4.
किसी गुणोत्तर श्रेढी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद -3 है तो 7वाँ पद ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है ।
प्रश्नानुसार T₄ = (T²)² तथा a = -3
⇒ ar³ = (ar)²
⇒ (- 3) r³ = (- 3)² r²
या r = -3
अतः T₇ = ar⁶ = (-3)(-3)⁶
= (-3)⁷ = - 2187

प्रश्न 5.
अनुक्रम का कौन सा पद-
(a) 2, 2√2, 4, ...........................; 128 है ?
हल:
यहाँ a = 2, r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2_तथा T_n = 128
⇒ प्रश्नानुसार ar^{n - 1} = 128

या n - 1 = 12
या n = 13
अर्थात् 128, दिए अनुक्रम का 13वाँ पद है।

(b) √3, 3, 3√3, .........................; 729 है
हल:
यहाँ
a = √3, r = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3, तथा T_n = 729
⇒ प्रश्नानुसार ar^{n - 1} = 129
⇒ √3, (√3)^{n - 1} = 729
⇒ (√3)^{n - 1} = (9)³
⇒ 3^{\(\frac{n}{2}\)} = (3²)³ = 3⁶
अतः \(\frac{n}{2}\) = 6 ∴ n = 12
अर्थात् 729, दिए अनुक्रम का 12वाँ पद है।

(c) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \ldots \ldots \ldots \ldots ; \frac{1}{19683}\) है ?
हल:

प्रश्न 6.
x के किस मान के लिए संख्याएँ -\(\frac{2}{7}\), x, -\(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेढी में हैं?
हल:
प्रश्नानुसार -\(\frac{2}{7}\), x तथा -\(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेढी में हैं। हम जानते हैं कि यदि कोई तीन संख्याएँ a, b, c गुणोत्तर श्रेढी में हैं तो b² = ac
अतः x² = \(\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)\)
x² = 1
∴ x = ± 1

प्रश्न 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेढी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 7.
0.15, 0.015, 0.0015, ................... 20 पदों तक
हल:

प्रश्न 8.
√7,√21, 3√7, .......n पदों तक
हल:

प्रश्न 9.
1, - a, a², - a³, ............. n पदों तक (यहाँ a ≠ - 1)
हल:
दी गई श्रेढी = 1, - a, a², - a³, ...............
यहाँ प्रथम पद (a) = 1, सार्वअनुपात (r) = \(\frac{-a}{1}\) = - a

प्रश्न 10.
x³, x⁵, x⁷, .............. n पदों तक (यहाँ x ≠ ± 1 )
हल:
दी गई श्रेढी = x³, x⁵, x⁷, ..............
यहाँ प्रथम पद (a) = x³, सार्वअनुपात (r) = \(\frac{x^5}{x^3}\) = x²

प्रश्न 11.
मान ज्ञात कीजिए- \(\sum_{k=1}^{11}\)(2 + 3^k)
हल:
\(\sum_{k=1}^{11}\)(2 + 3^k) = (2 + 3¹) + (2 + 3²) + (2 + 3³) + ............ + (2 + 3¹¹)
= 2 × 11 + (3¹ + 3² + 3³ + ................. + 3¹¹)

प्रश्न 12.
एक गुणोत्तर श्रेढी के तीन पदों का योगफल \(\frac{39}{10}\) है तथा 10 उनका गुणनफल 1 है। सार्वअनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि गुणोत्तर श्रेढी के तीन पद \(\frac{a}{r}\), a तथा ar हैं ।
इनका योगफल = \(\frac{a}{r}\) + a + ar = \(\frac{39}{10}\) ................. (i)
तथा गुणनफल = \(\frac{a}{r}\) × a × ar = a³ = 1
⇒ a = 1 .................... (ii)
समीकरण (i) में a = 1 रखने पर
\(\frac{1}{r}\) + 1 + r = \(\frac{39}{10}\)
दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर
10 + 10r + 10r² = 39r
या 10r² - 29r + 10 = 0
या 10r² - 25r - 4r + 10 = 0
या 5r(2r - 5) - 2(2r - 5) = 0
या (2r - 5) (5r - 2) = 0

प्रश्न 13.
गुणोत्तर श्रेढी 3, 3², 3³, ......... ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
हल:
माना कि दी गई गुणोत्तर श्रेढी 3, 3², 3³, ................... के n पदों का योग 120 हो जाता है।

या 3ⁿ - 1= 80
या 3ⁿ = 81 = 3⁴
अर्थात् n = 4

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेढी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले तीन पदों का योगफल 128 है तो गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद, सार्वअनुपात तथा पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात है। अतः प्रश्नानुसार S₃ = 16

प्रश्न 15.
एक गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है तो S₇ ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ a = 729, T, = 64, S7 = ?
माना कि गुणोत्तर श्रेढी का सार्वअनुपात = r
∴ T₇ = 64 ⇒ ar⁶ = 64
या 729r⁶ = 64

प्रश्न 16.
एक गुणोत्तर श्रेढी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल - 4 है तथा 5वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात r है । प्रश्नानुसार S₂ = - 4 तथा T₅ = 4T₃
⇒ \(\frac{a\left(1-r^2\right)}{1-r}\) = - 4
या a(1 + r) = - 4
∵ T₅ = 4T₃
⇒ ar⁴ = 4ar²
⇒ r² = 4
∴ r = ± 2
समीकरण (i) में का मान (ii) से रखने पर यदि r = 2 हो
a(1 + r) = - 4
या a(1 + 2) = - 4
∴ a = \(\frac{-4}{3}\)
अतः श्रेणी = \(-\frac{4}{3},-\frac{8}{3}, \frac{-16}{3}\), .........................
समीकरण (i) में का मान (ii) से रखने पर यदि = -2 हो
a(1 + r) = - 4.
a(1 - 2) = - 4
या a(- 1) = - 4 ∴ a = 4
अतः श्रेणी = 4, - 8, 16, - 32, 64 .......................

प्रश्न 17.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेढी का 4 था, 10 वाँ तथा 16 वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेढी में हैं।
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का पहला पद a तथा सार्वअनुपात r है। ∴ 4था पद = ar³ = x
10 वाँ पद = ar⁹ = y
16 वाँ पद = ar¹⁵ = z
यदि x, y तथा z गुणोत्तर श्रेढी में हैं तो y² = xz
अर्थात् y² = (ar⁹)² = a² r¹⁸
तथा xz = (ar³) (ar¹⁵) = a² . r¹⁸
⇒ x, y तथा z गुणोत्तर श्रेढी में हैं।

प्रश्न 18.
अनुक्रम 8, 88, 888, 8888 ......................... के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
S_n = 8 + 88 + 888 + 8888 + ..................... n पदों तक
S_n = 8[1 + 11 + 111 + 1111 + ..................... n पदों तक]

प्रश्न 19.
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 तथा 128, 32, 8, 2, \(\frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम अनुक्रम = 2, 4, 8,16, 32
तथा द्वितीय अनुक्रम = 128, 32, 8, 2, \(\frac{1}{2}\)
इनका गुणनफल = 2 × 128, 4 × 32, 8 × 8, 16 × 2, 32 × \(\frac{1}{2}\)
= 256, 128, 64, 32, 16
यह़ाँ प्रथम पद (a) = 256, सार्वअन्तर (r) = \(\frac{128}{256}\)
= \(\frac{1}{2}\), n = 5

प्रश्न 20.
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar², ......... ar^{n - 1} तथा A, AR, AR², ......... AR^{n - 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढी होती है तथा सार्वअनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम अनुक्रम = a, ar, ar², ................. ar^{n - 1}
तथा द्वितीय अनुक्रम = A, AR, AR², ................. AR^{n - 1}
इनका गुणनफल = aA, aArR, aAr²R², ............... aAr^{n - 1}R^{n - 1}

अर्थात् गुणनफल से प्राप्त अनुक्रम में प्रत्येक पद में सार्वअनुपात समान प्राप्त हो रहा है। अतः गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेढी होती है।

प्रश्न 21.
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेढी में हों, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो ।
हल:
माना कि चार पद जो गुणोत्तर श्रेढी में हैं क्रमश: a ar ar² तथा ar³ हैं। प्रश्नानुसार
T₃ - T₁ = 9 तथा T₂ - T₄ = 18
या ar² - a = 9 तथा ar- ar³ = 18
या a(r² - 1) = 9 .......... (i)
तथा ar(1 - r²) = 18 .......... (ii)
समीकरण (i) में (ii) का भाग देने पर

r का मान समीकरण (i) में रखने पर
a(r² - 1) = 9
या a[(-2)² - 1] = 9
या a (4 - 1) = 9
या 3a = 9 ∴ a = 3
अतः वे संख्याएँ होंगी-
a = 3
ar = 3. (-2) = - 6
ar² = 3. (- 2)² = 12.
ar³ = 3 . (- 2)³ = - 24
अतः अभीष्ट पद 3, - 6, 12 एवं 24 हैं।

प्रश्न 22.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेढी का pवाँ, वाँ तथा वाँ पद क्रमशः a, b तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि a^{q - r} b^{r - p} c^{p - q} = 1
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद A तथा सार्वअनुपात
R है अतः प्रश्नानुसार
pवाँ पद = AR^P-1 = a
qवाँ पद = AR^q-1 = b
तथा वाँ पद = AR^r-1 = c
अतः a^{q - r} . b^{r - p} . c^{p - q}
= (AR^{P - 1})^{q - r} (AR^{q - 1})^{r - P} (AR^r-1)^P-q
= A^{q - r + r - p + p - q} . R^{pq - pr - q + r + qr - pqr + p + pr - qr - p + q}
= A°. R° = 1 . 1 = 1

प्रश्न 23.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम तथा nवाँ पद क्रमशः a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P² = (ab)ⁿ
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का सार्वअनुपात है।
∴ प्रथम पद = a, nवाँ पद = ar^{n - 1} = b (दिया गया है)
तथा P = n पदों का गुणनफल
= a. ar. ar² . ar³ . ................... ar^{n - 1}
= aⁿ. r^{1 + 2 + 3 + ...................... (n - 1)}
= aⁿ . r^{\(\frac{n(n-1)}{2}\)}
∴ P² = a²ⁿ . r^{n(n - 1)} ..................... (i)
(ab)ⁿ = (a . ar^{n - 1})ⁿ = (a², r^n-1)ⁿ
= a²ⁿ . r^{n(n - 1)} ..................... (ii)
अत: समीकरण (i) व (ii) से
p² = (ab)ⁿ.

प्रश्न 24.
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेढी के प्रथम पदों के योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n) वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात \(\frac{1}{r^n}\) है।
हल:
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअनुपात है तो वह श्रेढी
a, ar, ar², .......................

प्रश्न 25.
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेढी में हैं तो दिखाइए कि (a² + b² + c²) (b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)².
हल:
माना कि दी गई गुणोत्तर श्रेढी a, b, c तथा d का सार्वअनुपात r है। तब
a = a, b = ar, c = ar² तथा d = ar³
∴ प्रश्नानुसार
L.H.S. = (a² + b² + c²) (b² + c² + d²)
= (a² + a²r² + a²r⁴) (a²r² + a²r⁴ + a²r⁶)
= a² (1 + r² + r⁴) . a²r²(1 + r² + r⁴)
= a² . a²r² (1 + r² + r⁴) (1 + r² + r⁴)
= a⁴r² (1 + r² + r⁴)²
तथा R.H.S. = (ab + bc + cd)²
= [a. ar + (ar)(ar²) + (ar²)(ar³)]²
= (a²r + a²r³ + a²r⁵)²
= a⁴r² (1 + r² + r⁴)²
अतः (a² + b² + c²) (b² + c²+ d²) = (ab + bc + cd) ²

प्रश्न 26.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेढी बन जाए ।
हल:
माना कि G₁ तथा G₂ ऐसी दो संख्याएँ हैं जिनको 3 तथा 81 के बीच रखने से प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेढी बनता है अर्थात् 3, G₁, G₂, 81
यदि सार्वअनुपात r हो तो
81 = ar^{4 - 1} ∵ कुल पद 4 हैं और अन्तिम पद 81 है|
⇒ 81 = 3 . r³
⇒ r³ = 27 = (3)³
⇒ r = 3
∴ G₁ = ar = 3 × 3 = 9
तथा G₂ = ar² = 3 × (3)² = 3 × 9 = 27

प्रश्न 27.
n का मान ज्ञात कीजिए ताकि \(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\), a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
हल:

प्रश्न 28.
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2√2 ) : (3 - 2√2) के अनुपात में हैं।
हल:
माना कि दो संख्याएँ a तथा b हैं अतः प्रश्नानुसार दोनों संख्याओं का योग 6 × इनका गुणोत्तर माध्य
a + b = 6 √ab
यां a + b + 2√ab = 8√ab
या (√a + √b)² = 8√ab ............... (i)
या (√a + √b)² - 4√ab = 4√ab
∴ a + b - 2√ab = 4√ab
या (√a - √b)² = 4√ab
समीकरण (i) में (ii) का भाग देने पर

प्रश्न 29.
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समान्तर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ A ± \(\sqrt{(A+G)(A-G)}\) हैं।
हल:
माना कि दो संख्याएँ a तथा b हैं।

प्रश्न 30.
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घण्टे पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारम्भ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा वें घंटों बाद क्या होगी ?
हल:
माना कि प्रारम्भ में बैक्टीरिया की संख्या (a) = 30
प्रश्नानुसार इनकी संख्या प्रत्येक घण्टे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है अर्थात् सार्वअनुपात (r) = 2
अतः दूसरे घण्टे के बाद बैक्टीरिया की संख्या = ar²
= 30 × (2)²
= 120
चौथे घण्टे के बाद बैक्टीरिया की संख्या = ar⁴
= 30 × (2)⁴
= 480
तथा n घण्टे के बाद बैक्टीरिया की संख्या
= arⁿ
= 30 × 2ⁿ

प्रश्न 31.
500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी ? ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि A मिश्रधन, P मूलधन, 1% प्रतिवर्ष ब्याज की दर तथा n वर्ष का समय हो तो
A = P[1 + \(\frac{r}{100}\)]ⁿ
यहाँ P = 500, r = 10% तथा n = 10 वर्ष
A = 500 × 1 + [1 + \(\frac{10}{100}\)]¹⁰
= 500 × (1.1)¹⁰
अतः 10 वर्ष की धनराशि = 500 × (1.1)¹⁰ रुपए 

प्रश्न 32.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समान्तर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि द्विघात समीकरण है-
(x - α) (x - β) = 0
या x² - (α + β)x + αβ = 0
माना कि मूल x = α व β हैं।
∴ समान्तर माध्य = \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) = 8 तथा गुणोत्तर माध्य
= √αβ = 5 (दिया गया है)
या α + β = 16 तथा αβ = 25
अतः द्विघात समीकरण ⇒ x² - (α + β) x + αβ = 0
⇒ x² - 16x + 25 = 0