RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter  9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter  9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.1

प्रश्न 1 से 6 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक के प्रथम पाँच पद लिखिए, जिनका वाँ पद दिया गया है-

प्रश्न 1.
a_n = n (n + 2)
हल:
a_n = n (n + 2)
प्रथम पद = n = 1 रखने पर a₁ = 1(1 + 2) = 3
द्वितीय पद = n = 2 रखने पर a₂ = 2(2 + 2) = 8
तृतीय पद = n = 3 रखने पर a₃ = 3(3 + 2) = 15
चतुर्थ पद = n = 4 रखने पर a₄ = 4(4 + 2) = 24
पंचम पद = n = 5 रखने पर a₂ = 5(5 + 2) = 35
∴ प्रथम पाँच पद = 3, 8, 15, 24 व 35 हैं।

प्रश्न 2.
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
हल:
a_n = \(\frac{n}{n+1}\)
प्रथम पद = n = 1 रखने पर a₁ = \(\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)
द्वितीय पद = n = 2 रखने पर a₂ = \(\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\)
तृतीय पद = n = 3 रखने पर a₃ = \(\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}\)
चतुर्थ पद = n = 4 रखने पर a₄ = \(\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}\)
पंचम पद = n = 5 रखने पर a₅ = \(\frac{5}{5+1}=\frac{5}{6}\)
अत: प्रथम पाँच पद = \(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}\) व \(\frac{5}{6}\) हैं ।

प्रश्न 3.
a_n = 2ⁿ
हल:
a_n = 2ⁿ
प्रथम पद = n = 1 रखने पर a₁ = 2¹ = 2
द्वितीय पद = n = 2 रखने पर a₂ = 2² = 4
तृतीय पद = n = रखने पर a₃ = 2³ = 8
चतुर्थ पद = n = 4 रखने पर a₄ = 2⁴ = 16
पंचम पद = n = 5 रखने पर a₅ = 2⁵ = 32
अत: प्रथम पाँच पद = 2, 4, 8, 16 व 32 हैं।

प्रश्न 4.
a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\)
हल:
a_n = \(\frac{2 n-3}{6}\)

अतः प्रथम पाँच पद = -\(\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}\) व \(\frac{7}{6}\) हैं।

प्रश्न 5.
a_n = (-1)^n-1 5ⁿ⁺¹
हल:
a_n = (-1)^n-1 5ⁿ⁺¹
प्रथम पद = n = 1 रखने पर a₁ = (-1)^1-1. 5¹⁺¹ = 1.5²
= 25
द्वितीय पद = n = 2 रखने पर a₂ = (-1)^2-1. 5²⁺¹
= (-1)¹. 5³ = -125
तृतीय पद = n = 3 रखने पर a₃ = (-1)^3-1. 5³⁺¹
= (-1)². 5⁴ = 625
चतुर्थ पद = n = 4 रखने पर a₄ = (-1)^4-1.5⁴⁺¹
= (-1)³. 5⁵ = -3125
पंचम पद = n = 5 रखने पर a₅ = (-1)^5-1. 5⁵⁺¹
= (-1)⁴. 5⁶ = 15625
अतः प्रथम पाँच पद = 25, 125, 625, -3125 व 15625 हैं।

प्रश्न 6.
a_n = n\(\frac{n^2+5}{4}\)
हल:
a_n = n\(\left(\frac{n^2+5}{4}\right)\)

अतः प्रथम पाँच पद = \(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{21}{2}\), 21 व \(\frac{75}{2}\) हैं।

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 10 तक के अनुक्रमों में प्रत्येक का वांछित पद ज्ञात कीजिए, जिनका nवाँ पद दिया गया है

प्रश्न 7.
a_n = 4n - 3; a₁₇, a₂₄
हल:
: a_n = 4n - 3
a₁₇ के लिए n = 17 रखने पर a₁₇ = 4.17 - 3
= 68 - 3 = 65
a₂₄ के लिए n = 24 रखने पर a₂₄ = 4 . 24 - 3
= 96 - 3 = 93
अतः a₁₇ = 65 तथा a₂₄ = 93

प्रश्न 8.
a_n = \(\frac{n^2}{2^n}\) ; n₇
हल:
a_n = \(\frac{n^2}{2^n}\) ; n₇
a₇ के लिए n = 7 रखने पर a₇ = \(\frac{7^2}{2^7}=\frac{49}{128}\)
अतः a₇ = \(\frac{49}{128}\)

प्रश्न 9.
a_n = (-1)^n-1 n³; a₉
हल:
∵ a_n = (−1)^n-1 n³
a₉ के लिए n = 9 रखने पर
a₉ = (-1)^9-1.(9)₃
a₉ = (-1)⁹. 9 × 9 × 9 = 729
अतः a₉ = 729

प्रश्न 10.
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\); a₂₀
हल:
a_n = \(\frac{n(n-2)}{n+3}\); a₂₀
a₂₀ के लिए n = 20 रखने पर a₂₀ = \(\frac{20(20-2)}{20+3}\)
= \(\frac{20 \times 18}{23}=\frac{360}{23}\)
अतः a₂₀ = \(\frac{360}{23}\)

प्रश्न 11 से 13 तक प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 11.
a₁ = 3, a_n = 3a_n-1 + 2 सभी n > 1 के लिए
हल:
a₁ = 3
a_n = 3a_n-1 + 2∀n > 1
n = 2 के लिए a₂ = 3a_2-1 + 2 = 3a₁ + 2
= 3.3 + 2 = 9 + 2 = 11
n = 3 के लिए a₃ = 3a_3-1 + 2 = 3a₂ + 2
= 3.11 + 2 = 33 + 2 = 35
n = 4 के लिए a₄ = 3a_4-1 + 2 = 3a₂ + 2
= 3.35 + 2 = 105 + 2 = 107
n = 5 के लिए a₅ = 3a_5-1 + 2 = 3a₄ + 2
= 3.107 + 2 = 321 + 2 = 323
अतः पाँच पद श्रेणी 3, 11, 35, 107, 323 हैं तथा
= 3 +11 + 35 + 107 + 323 + ..........

प्रश्न 12.
a₁ = −1, a_n = \(\frac{a_{n-1}}{n}\), जहाँ n ≥ 2
हल:
a₁ = −1

प्रश्न 13.
a₁ = a₂ = 2, a_n = a_n-1 - 1, जहाँ n > 2
हल:
∵ a₁ = a₂ = 2
तथा a_n = a_n-1 - 1, जहाँ n > 2
n = 3 के लिए a₃ = a_3-1 - 1 = a₂ - 1 = 2 - 1 = 1
n = 4 के लिए a₄ = a_4-1 - 1 = a₃ - 1 = 1 - 1 = 0
n = 5 के लिए a₅ = a_5-1 - 1 = a₄ - 1 = 0 - 1 = -1
अतः प्रथम पाँच पद 2, 2, 1, 0 व - 1 हैं तथा श्रेणी = 2 + 2 + 1 + 0 + (−1) + ...........

प्रश्न 14.
Fibonacci अनुक्रम निम्नलिखित रूप में परिभाषित है-
1 = a₁ = a₂ तथा a_n = a_n-1 + a_n-2, n > 2 \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) ज्ञात कीजिए, जबकि n = 1, 2, 3, 4, 5
हल:
∵ a₁ = a₂ = 1
तथा a_n = a_n-1 + a_n-2, n > 2
n = 3 के लिए a ₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2
n = 4 के लिए a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3
n = 5 के लिए a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5
n = 6 के लिए a₁ = a₅ + a₄ = 5 + 3 = 8