RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 7 क्रमचय और संचयं Ex 7.3

प्रश्न 1.
1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितनी 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं, यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है ?
हल:
3 अंकीय संख्या में तीन स्थान क्रमशः इकाई, दहाई व सैकड़ा के होते हैं। यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया हो तो इकाई के स्थान पर 9 प्रकार से, दहाई के स्थान को 8 प्रकार से तथा सैकड़े के स्थान को 7 प्रकार से भरा जा सकता है । अतः कुल तीन अंकीय संख्याएँ
= ⁹P₃ = \(\frac{9 !}{(9-3) !}=\frac{9 !}{6 !}=\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}\)
= 9 × 8 × 7
= 504

प्रश्न 2.
किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती हैं ?
हल:
0 से 9 तक कुल 10 अंक होते हैं। 10 में से 4 अंक लेकर बनी संख्याओं की संख्या = ¹⁰P₄
= 10 × 9 × 8 × 7
= 5040
इनमें वे संख्याएँ भी सम्मिलित हैं जिनमें हजार के स्थान पर 0 है । 0. को हजार के स्थान पर रखने पर तथा शेष स्थानों पर कोई तीन
अंक रखने पर कुल संख्याएँ = ⁹P₃
= 9 × 8 × 7 = 504
अतः चार अंकीय संख्याएँ = 5040 - 504
= 4536

प्रश्न 3.
अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है ?
हल:
दिए गए अंकों में से 2, 4, 6 में से किसी एक अंक को इकाई के स्थान पर रखने से सम संख्या बनती है। अतः इकाई का स्थान तीन प्रकार से भरा जा सकता है। इसी प्रकार दहाई के स्थान को 5 प्रकार से तथा सैकड़े के स्थान को 4 प्रकार से भरा जा सकता है। अतः 3 अंकीय सम संख्याओं के कुल प्रकार
= 3 × 5 × 4
= 60

प्रश्न 4.
अंक 1, 2, 3, 4, 5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है ? इनमें से कितनी सम संख्याएँ होंगी?
हल:
प्रश्नानुसार 5 अंक दिए गए हैं। इनमें से 4 अंक लेकर बनने वाली संख्याएँ = ⁵P₄
= 5 × 4 × 3 × 2 = 120
इकाई के स्थान पर 2 या 4 रखने पर ही सम संख्या बनेगी । अतः इकाई का स्थान 2 प्रकार से, दहाई का स्थान 4 प्रकार से, सैकड़े का स्थान 3 प्रकार से तथा हजार का स्थान 2 प्रकार से भरा जा सकता है। अतः चार अंकीय सम संख्याएँ = 2 × 4 × 3 × 2 = 48

प्रश्न 5.
8 व्यक्तियों की समिति में, हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं, यह मानते हुए कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है ?
हल:
कुल व्यक्तियों की संख्या = 8
अतः 8 व्यक्तियों में से एक साथ 2 व्यक्ति अर्थात् एक अध्यक्ष तथा एक उपाध्यक्ष चुने जाने के कुल प्रकार = ⁸P₂
= 8 × 7
= 56

प्रश्न 6.
यदि ^n-1P₃ : ⁿP₄ = 1 : 9 तो n ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 7.
r ज्ञात कीजिए, यदि
(i) ⁵P_r = 2⁶P_r-1
(ii) ⁵P_r = ⁶P_r-1
हल:
(i) प्रश्नानुसार
⁵P_r = 2 ⁶P_r-1

या (7 - r) (6 - r) = 12
या 42 - 13r + p² = 12
या r² - 13r + 30 = 0
या (r - 10) (r - 3) = 0
r = 10 या 3
अत: r = 3 क्योंकि r = 10 अर्थहीन है ।

(ii) प्रश्नानुसार
⁵P_r = ⁶P_r-1

या (7 - r) (6 - r) = 6
या r² - 13r + 36 = 0
या (r - 9) (r - 4) = 0
r = - 9 या 4
r = 4 क्योंकि r ≠ 9 क्योंकि यह 5 से बड़ा है।

प्रश्न 8.
EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्द बन सकते हैं?
हल:
EQUATION शब्द में 8 भिन्न-भिन्न प्रकार के अक्षर हैं । अतः एक बार में 8 क्रमचय लेने पर
⁸P₈ = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

प्रश्न 9.
MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है, यदि
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है ?
हल:
(i) MONDAY शब्द में कुल 6 अक्षर हैं। 6 अक्षरों में से एक समय में 4 अक्षर लेकर बने शब्दों की संख्या
= ⁶P₄ = 6 × 5 × 4 × 3 = 360
शब्द अर्थपूर्ण या अर्थहीन हो सकते हैं।

(ii) एक समय में सभी अक्षरों को लेकर बनने वाले शब्दों की संख्या
= 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 720

(iii) प्रथम स्थान पर स्वर अर्थात् A या O रखना है । यह दो प्रकार से हो सकता है। शेष 5 स्थान 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 प्रकार से भरे जा सकते हैं । अतः उन शब्दों की संख्या जो स्वर से प्रारम्भ होते हैं
= 2 × 120 = 240

प्रश्न 10.
MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं ?
हल:
शब्द MISSISSIPPI में 11 अक्षर हैं जिसमें M-एक, I-चार, S - चार तथा P-दो हैं । इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या
= \(\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}\)
अब माना कि चार-I एक साथ हैं | अब M-एक, I-चार एक साथ अर्थात् 41- एक, S - चार तथा P-दो हो जाते हैं । इस प्रकार अब कुल अक्षरों की संख्या 8 हो गई। इन अक्षरों से बने शब्दों की
संख्या = \(\frac{8 !}{4 ! 2 !}\)
अतः उन शब्दों की संख्या जब 41 एक साथ नहीं हैं-

प्रश्न 11.
PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, यदि
(i) चयनित शब्द का प्रारम्भ P से तथा अन्त S से होता है ।
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं।
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों ।
हल:
PERMUTATIONS शब्द में अक्षर हैं जिनमें T-दो हैं, 12 शेष सभी अक्षर भिन्न हैं ।
(i) यहाँ P तथा S का स्थान स्थिर अर्थात् P प्रारम्भ में तथा S अन्त में है । अतः शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या =
\(\frac{10 !}{2 !}\)

(ii) यदि सभी स्वर एक साथ अर्थात् (EUAIO) PRMTTNS जिनमें 2T हैं । अत: ऐसे शब्दों की संख्या
जब स्वर एक साथ हैं = \(\frac{8 !}{2 !}\) × 5!
= \(\frac{40320 \times 120}{2}\) = 2419200

(iii) चयनित शब्द में P तथा S के बीच चार अक्षर होने चाहिए। यदि हम मान लें कि इस शब्द के 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1, 2, 3, 12 रख दिया है। इस प्रकार P को स्थान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 पर रखा जा सकता है तो S को स्थान 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 पर रखा जा सकता है।
या P और S को 7 स्थानों पर तथा इसी प्रकार S व P को भी 7 स्थानों पर रखा जा सकता है। अत: P और S या S व P को 7 + 7 = 14 स्थानों पर रखा जा सकता है । शेष 10 अक्षरों को \(\frac{10 !}{2 !}\) प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच में 4 अक्षर हों
= \(\frac{10 !}{2 !}\) × 14
= 10! × 7
= 25401600