RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1 से 6 तक की असमिकाओं को हल कीजिए-

प्रश्न 1.
2 ≤ 3x - 4 ≤ 5
हल:
प्रश्नानुसार 2 ≤ 3x - 4 ≤ 5
या 2 + 4 ≤ 3x – 4 + 4 ≤ 5 + 4
या 6 ≤ 3x ≤ 9
या \(\frac{6}{3} \leq \frac{3 x}{3} \leq \frac{9}{3}\)
या 2 ≤ x ≤ 3
∴ इस असमिका का हल = [2, 3]

प्रश्न 2.
6 ≤ 3 (2x - 4) < 12
हल:
प्रश्नानुसार 6 ≤ - 3 (2x - 4) < 12
या \(\frac{6}{3} \leq \frac{-3(2 x-4)}{3}<\frac{12}{3}\)
या 2 ≤ - (2x – 4) < 4
या 2 ≤ - 2 (x - 2) < 4
या \(\frac{2}{2} \leq \frac{-2(x-2)}{2}<\frac{4}{2}\)
या 1 ≤ - (x - 2) < 2
या - 1 > (x - 2) > - 2
या - 1 + 2 ≥ x - 2 + 2 ≥ −2 + 2
या 1 ≥ x > 0
अतः असमिका का हल = (0, 1]

प्रश्न 3.
3 ≤ 4 - \(\frac{7 x}{2}\) ≤ 18
हल:
प्रश्नानुसार 3 ≤ 4 - \(\frac{7 x}{2}\) ≤ 18
या -3 ≤ \(\frac{8-7 x}{2}\) ≤ 18
या -6 ≤ 8 - 7x ≤ 36
या - 6 - 8 ≤ 8 - 7x - 8 ≤ 36 - 8
या - 14 <- 7x ≤ 28
या \(\frac{-14}{7} \leq \frac{-7 x}{7} \leq \frac{28}{7}\)
या -2 ≤ x ≤ 4
या 2 ≥ x ≥ 4
या -4 ≤ x ≤ 2
∴ इस असमिका का हल = [ 4, 2]

प्रश्न 4.
- 15 < \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
हल:
प्रश्नानुसार - 15 < \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
या - 75 < 3 (x - 2) ≤ 0
या - 25 < (x - 2) ≤ 0
या - 25 + 2 ≤ x - 2 + 2 ≤ 0 + 2
या - 23 < x ≤ 2
∴ इस असमिका का हल = (-23, 2]

प्रश्न 5.
- 12 < 4 - \(\frac{3 x}{-5}\) ≤ 2
हल:
प्रश्नानुसार - 12 < 4 - \(\frac{3 x}{-5}\) ≤ 2
या - 12 < \(\frac{-20-3 x}{-5}\) ≤ 2
या 60 > 20 - 3x ≥ - 10
या 60+ 20 > - 20 - 3x + 20 ≥ - 10 + 20
या 80 > – 3x ≥ 10
या - 80 < 3x ≤ - 10
या \(\frac{-80}{3}<x \leq \frac{-10}{3}\)
∴ इसका हल = \(\left(\frac{-80}{3}, \frac{-10}{3}\right]\)

प्रश्न 6.
7 ≤ \(\frac{(3 x+11)}{2}\) ≤ 11
हल:
प्रश्नानुसार 7 ≤ \(\frac{(3 x+11)}{2}\) ≤ 11
या 14 ≤ 3x + 11 ≤ 22
या 14 - 11 ≤ 3x + 11 − 11 ≤ 22 - 11
या 3 ≤ 3x ≤ 11
या \(\frac{3}{3} \leq \frac{3 x}{3} \leq \frac{11}{3}\)
या 1 ≤ x ≤ \(\frac{11}{3}\)
इसका हल = [1, \(\frac{11}{3}\)]

प्रश्न 7 से 10 तक की असमिकाओं को हल कीजिए और उनके हल को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए-

प्रश्न 7.
5x + 1 > 24, 5x – 1 < 24
हल:
प्रश्नानुसार 5x + 1 > - 24 ........(i)
5x - 1 < 24 ...........(ii)
असमिका (i) के द्वारा 5x + 1 > - 24
या 5x + 1 - 1 > - 24 - 1
या 5x > - 25
या \(\frac{5 x}{5}>\frac{-25}{5}\)
या x > - 5 ..........(iii)

अब असमिका (ii) के अनुसार 5x - 1 < 24
या 5x - 1 + 1 < 24 + 1
या 5x < 25
या \(\frac{5 x}{5}<\frac{-25}{5}\)
या x < 5 ..............(iv)
अतः असमिकाओं के हल (-5, 5) का निरूपण संख्या रेखा पर
निम्नानुसार किया जा सकता है- (−5, 5)

प्रश्न 8.
2 (x - 1) < x + 5, 3 (x + 2) > 2
हल:
प्रश्नानुसार 2 (x - 1) < x + 5 ........(i)
तथा 3 (x + 2) > 2 - x ....(ii)
असमिका (i) के अनुसार 2 (x - 1) < x + 5
या 2x - 2 < x + 5
या 2x - 2 - x < x + 5
या x - 2 < 5
या x - 2 + 2 < 5 + 2
या x < 7 .......(iii)
असमिका (ii) के अनुसार 3 (x + 2) > 2 - x
या 3x + 6 > 2
या 3x + 6 + x > 2
या 4x + 6 > 2
या 4x + 6 - 6 > 2 - 6
या 4x > - 4
या x > - 1 ............(iv)
अतः असमिकाओं के हल ( - 1, 7) का निरूपण संख्या रेखा पर
निम्नानुसार किया जा सकता है- (−1, 7)

प्रश्न 9. 
3x - 7 > 2 (x - 6), x > 11 - 2x
हल:
प्रश्नानुसार 3x - 7 > 2 (x - 6) ........(i)
6 -  x > 11 - 2x ....(ii)
असमिका (i) के अनुसार 3x - 7 > 2 (x - 6)
या 3x - 7 > 2x – 12
या 3x - 7 - 2x > 2x - 12 - 2x
या x - 7 > - 12
या x - 7 +7 > - 12 + 7
या x > - 5 .........(iii)

असमिका (ii) के अनुसार 6 - x > 11 - 2x
या 6 - x + 2x > 11 - 2x + 2x
या 6 + x > 11
या 6 + x - 6 > 11 - 6
या x > 5 .........(iv)
इन असमिकाओं का उभयनिष्ठ हल (5, 0) है तथा इनको संख्या रेखा पर निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है (5, 0) 

प्रश्न 10.
5 (2x - 7 ) - 3 (2x + 3 ) ≤ 0, 2x + 19 ≤ 6x + 47
हल:
प्रश्नानुसार 5 (2x - 7 ) - 3 (2x + 3) ≤ 0     .........(i)
तथा 2x + 19 ≤ 6x + 47 ...........(ii)
असमिका (i) के अनुसार 5 (2x - 7 ) - 3 (2x + 3) ≤ 0
या 10x - 35 - 6x - 9 < 0
या 4x - 44 ≤ 0
या 4x - 44 + 44 ≤ 0 + 44
या 4x ≤ 44
या x < 11 .............(iii)
असमिका (ii) के अनुसार 2x + 19 < 6x + 47
या 2x + 19 - 6x < 6x + 47 - 6x
या - 4x + 19 ≤ 47
या - 4x + 19 19 ≤ 47 - 19
या - 4x < 28
या \(\frac{-4 x}{-4} \geq \frac{28}{-4}\)
या x ≥ -7  ..........(iv)
असमिकाओं के हल [-7, 11] के संख्या रेखा पर निम्नानुसार निरूपित किया जा सकता है-
[−7, 11]

प्रश्न 11.
एक विलयन को 68° F और 77° F के मध्य रखना है। सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर ज्ञात कीजिए, जहाँ सेल्सियस फारेनहाइट परिवर्तन सूत्र F = \(\frac{9}{5}\)C + 32 है।
हल:
प्रश्नानुसार 68 < F < 77
F = \(\frac{9}{5}\)C + 32 रखने पर
68 < \(\frac{9}{5}\)C + 32 < 77
'या 68 - 32 < \(\frac{9}{5}\)C + 32 - 32 < 77 - 32
या 36 < \(\frac{9}{5}\)C < 45
\(\frac{9}{5}\) से गुण करने पर
या \(\frac{5}{9}(36)<\frac{5}{9}\left(\frac{9}{5} C\right)<\frac{5}{9}\)
या 20 < C < 25
अतः सेल्सियस पैमाने पर विलयन के तापमान का परिसर 20°C तथा 25°C के बीच होगा ।

प्रश्न 12.
8% बोरिक एसिड के विलयन में 2% बोरिक एसिड का विलयन मिलाकर तनु (dilute ) किया जाता है । परिणामी मिश्रण में बोरिक एसिड 4% से अधिक तथा 6% से कम होना चाहिए। यदि हमारे पास 8% विलयन की मात्रा 640 लीटर हो तो ज्ञात कीजिए कि 2% विलयन के कितने लीटर इसमें मिलाने होंगे ?
हल:
माना कि 2% बोरिक एसिड का x लीटर विलयन मिलाया जाता है।
∴ कुल मिश्रण = (640 + x) लीटर
∴ x का 2% + 640 का 8% > (640 + x) का 4%
या \(\frac{2 x}{100}+\frac{8 \times 640}{100}>\frac{4}{100}\)(640 + x)
या 2x + 5120 > 2560 + 4x
या 5120 - 2560 > 4x - 2x
या 2x < 2560
या x < 1280 .................(i)
इसी प्रकार x का 2% + 640 का 8% < (640 + x) का 6%
या \(\frac{2 x}{100}+\frac{8 \times 640}{100}<\frac{6}{100}\)(640 + x)
या 2x + 5120 < 3840 + 6x
या 5120 - 3840 < 6x - 2x
या 4x > 1280
या x > 320 .........(ii)
अतः मिलाये जाने वाले 2% बोरिक एसिड की मात्रा 320 लीटर से अधिक तथा 1280 लीटर से कम होगी ।

प्रश्न 13.
45% अम्ल के 1125 लीटर विलयन में कितना पानी मिलाया जाए कि परिणामी मिश्रण में अम्ल 25% से अधिक परन्तु 30% से कम हो जाए?
हल:
माना कि 45% अम्ल के विलयन में x लीटर पानी मिलाया गया ।
अतः मिश्रण की कुल मात्रा
= ( 1125 + x) लीटर

(i) (1125 + x) का 25% < 1125 कां 45%
या (1125 + x) × \(\frac{25}{100}\) < 1125 < \(\frac{45}{100}\)
दोनों पक्षों में 20 से गुणा करने पर
या 20 × (1125 + x) × \(\frac{25}{100}\) < 20 × 1125 < \(\frac{45}{100}\)
या 5 (1125 + x) < 9 × 1125
या 5625 + 5x < 10125
या 5625 + 5x < 5625 < 10125 - 5625
या 5x < 4500
या x < 900

(ii) (1125 + x) का 30% > 1125 का 45%
या (1125 + x) × \(\frac{30}{100}\) > 1125 < \(\frac{45}{100}\)
दोनों पक्षों में \(\frac{20}{3}\) से गुणा करने पर
2 (1125 + x) > 3 × 1125
या 2250 + 2x > 3375
या 2250 > 3375 - 2250
या 2x > 1125
या x > \(\frac{1125}{2}\)
या x > 562.5
अर्थात् अम्ल के विलयन में मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 562.5 लीटर से अधिक किन्तु 900 लीटर से कम होनी चाहिए।

प्रश्न 14.
एक व्यक्ति के बौद्धिक - लब्धि (IQ) मापन का सूत्र निम्नलिखित है
IQ = \(\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}}\) × 100,
जहाँ MA मानसिक आयु और CA कालानुक्रमी आयु है । यदि 12 वर्ष की आयु के बच्चों के एक समूह की IQ, असमिका 80 < IQ – 140 द्वारा व्यक्त हो, तो उस समूह के बच्चों की मानसिक आयु का परिसर ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार 80 ≤ IQ ≤ 140
या 80 ≤ \(\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}}\) × 100 ≤ 140 [∵ IQ = \(\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}}\) × 100]
या 80 ≤ \(\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}}\) × 100 ≤ 140
या 80 × 12 ≤ MA × 100 ≤ 140 × 12
या \(\frac{80 \times 12}{100}\) ≤ MA ≤ 140 × 12
या 9.6 ≤ MA ≤ 16.8
∴ समूह के बच्चों की मानसिक आयु 9.6 के बराबर या इससे अधिक, परन्तु 16.8 के बराबर या इससे कम है। अतः मानसिक आयु का परिसर कम से कम 9.6 तथा अधिकतम 16.8 होना चाहिए।