RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.3

प्रश्न 1 से 15 तक निम्नलिखित असमिका निकाय को आलेखीय विधि से हल कीजिए - (graphically) :

प्रश्न 1.
x ≤ 3, y ≥ 2
हल:
x ≥ 3 ....(i)
तथा y ≥ 2 ....(ii)
सबसे पहले रेखा x समान्तर होगी तथा मूल बिन्दु से 3 इकाई की दूरी पर रहेगी । (0, 0) बिन्दु असमिका x ≥ 3 को सन्तुष्ट नहीं करता है क्योंकि 0 ≥ 3 जो कि असत्य है । अत: x = 3 के दायीं ओर वाला क्षेत्र x > 3 को प्रदर्शित करेगा । पुन: रेखा y ≥ 2 का ग्राफ खींचा। यह रेखा y = 2 x-अक्ष के समान्तर एक ऐसी रेखा होगी

जो 2 इकाई की दूरी पर रहेगी। बिन्दु (0,0) असमिका y ≥ 2 को सन्तुष्ट नहीं करते हैं क्योंकि 0 ≥ 2 जो कि असत्य है । अतः मूल बिन्दु असमिका y ≥ 2 के क्षेत्र में नहीं है । अत: द्विछायांकित क्षेत्र जो उपर्युक्त दोनों छायांकित क्षेत्रों में उभयनिष्ठ है वही दी गई असमिका (i) व (ii) का वांछित हल है।
अत: अभीष्ट असमिका निकाय का हल चित्रानुसार छायांकित भाग होगा ।

प्रश्न 2. 
3x + 2y < 12, 
x ≥ 1, y ≥ 2
हल:
3x + 2y ≤ 12
x ≥ 1
तथा y ≥ 2
सबसे पहले रेखा 3x + 2y = 12 का ग्राफ खींचा। यह रेखा बिन्दु (4, 0) तथा (0, 6) से होकर जाती है । असमिका
3x + 2y ≤ 12 में x = 0 व y = 0 रखने पर 3.0 + 2.0 ≤ 12 या 0 ≤ 12

जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में आता है। असमिका 3x + 2y ≤ 12 के हल में वे सभी बिन्दु हैं जो इस रेखा से नीचे हैं।
पुनः रेखा x = 1 का ग्राफ बिन्दु (1, 0) तथा (1, 2) से होकर जाता है। x 1 में x = 0 रखने पर 0 ≥ 1 जो कि असत्य है । अतः मूल बिन्दु इसके क्षेत्र में नहीं आता है । अतः x ≥ 1 का हल वे सभी बिन्दु होंगे जो x = 1 के दायीं ओर हैं। पुन: रेखा y = 2 का ग्राफ बिन्दु (0, 2) तथा (3, 2) से होकर जाता है | y ≥ 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2
जो कि सत्य नहीं है। अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका y ≥ 2 के क्षेत्र में नहीं है। y ≥ 2 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y = 2 के ऊपर वाले क्षेत्र में हैं। अतः तीनों असमिकाओं का हल इनके उभयनिष्ठ क्षेत्र ही हैं ।

प्रश्न 3.
2x + y ≥ 6, 3x + 4y ≤ 12
हल:
2x + y ≥ 6 ..........(i)
3x + 4y ≤ 12 ..........(ii)

सरल रेखा 2x + y = 6 का ग्राफ बिन्दु (3,0) व (0, 6) से होकर जाता है। 2x + y ≥ 6 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2.0 + 0 ≥ 6
या 0 ≥ 6
जो कि सत्य नहीं है। अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका 2x + y ≥ 6 के क्षेत्र में नहीं है । असमिका 2x + y ≥ 6 का हल वे सभी बिन्दु हैं जो 2x + y = 6 से ऊपर हैं।
पुनः सरल रेखा 3x + 4y = 12 का ग्राफ बिन्दु (4, 0) और (0, 3) से होकर जाता है । असमिका 3x + 4y ≤ 12 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
या 3.0 +4.0 ≤ 12
0 ≤ 12
जो कि सत्य है। अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका 3x + 4y ≤ 12 के क्षेत्र में है। अत: 3x + 4y ≤ 12 का हल वे सभी बिन्दु हैं जो रेखा के नीचे स्थित हैं । इस प्रकार दोनों असमिकाओं का हल वह उभयनिष्ठ क्षेत्र है जो 2x + y = 6 के ऊपर तथा 3x + 4y = 12 के नीचे है ।

प्रश्न 4.
x + y ≥ 4, 2x - y > 0
हल:
x + y ≥ 4 .........(i)
2x - y > 0 ............(ii)
सरल रेखा x + y = 4 का ग्राफ बिन्दु ( 4, 0) और (0, 4) से होकर जाता है । अब असमिका x + y ≥ 4 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
या 0 + 0 ≥ 4
0 ≥ 4
जो असत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में

नहीं है। अतः x + y ≥ 4 का हल वे सब बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0, 0) नहीं है तथा रेखा पर स्थित बिन्दु इसके हल क्षेत्र में नहीं हैं । पुन: रेखा 2x - y = 0 का ग्राफ बिन्दु (0, 0) और (1, 2) से
होकर जाता है।
अब 2x - y > 0 में x = 1 तथा y = 0 रखने पर
2.1 - 0 > 0
या 2 > 0 जो सत्य है । ∴ बिन्दु (1, 0) असमिका 2x - y > 0 के क्षेत्र में है । अत: 2x - y > 0 का हल क्षेत्र वह है जिसमें बिन्दु (1, 0) स्थित है तथा रेखा पर 2x - y = 0 स्थित बिन्दु इसकी असमिका के हल क्षेत्र में नहीं होंगे।
इस प्रकार x + y ≥ 4 और 2x - y ≥ 0 का हल वह उभयनिष्ठ क्षेत्र होगा जो रेखा का उभयनिष्ठ क्षेत्र है ।

प्रश्न 5.
2x - y > 1, x - 2y < - 1
हल:
2x - y > 1 .............(i)
x - 2y < - 1 ............(ii)

रेखा 2x – y = 1 का ग्राफ बिन्दु (\(\frac{1}{2}\), 0) तथा (0, - 1) से होकर

अब असमिका 2x – y > 1 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2.0 - 0 > 1
या 0 > 1
जो कि असत्य है । अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका 2x - y > 1 के क्षेत्र में नहीं है । अतः 2x - y > 1 का हल वे सब बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0, 0) नहीं है तथा रेखा पर स्थित बिन्दु इसके हल क्षेत्र में नहीं है ।
पुनः रेखा x - 2y = -1 का ग्राफ बिन्दु (-1, 0) तथा (0, \(\frac{1}{2}\)) से होकर जाता है। अब असमिका x - 2y < - 1 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 - 2.0 < -1
या 0 < -1
जो असत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) असमिका x – 2y < - 1 के क्षेत्र में नहीं है ।
स्पष्ट है कि असमिका x - 2y > 1 तथा x - 2y < - 1 का हल इन दोनों ग्राफों का उभयनिष्ठ भाग होगा ।

प्रश्न 6.
x + y ≤ 6, x + y ≤ 4
हल:
x + y ≤ 6 ...........(i)
तथा x + y ≥ 4 ........(ii)

रेखा x + y ≤ 6 का वक्र बिन्दु (6,0) तथा (0, 6) से होकर जाता है। अब असमिका x + y ≤ 6 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 + 0 ≤ 6
या 0 ≤ 6
जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका x + y ≤ 6 के क्षेत्र में है ।
पुनः रेखा x + y ≥ 4 का ग्राफ बिन्दु (4, 0) तथा (0, 4) से होकर जाता है। अब असमिका x + y ≥ 4 में x = 0 तथा y= 0 रखने पर
0 + 0 ≥ 4 
या 0 ≥ 4
जो कि असत्य है। अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका x + y ≥ 4 के क्षेत्र में नहीं है ।
स्पष्ट है कि असमिकाओं x + y ≤ 6 और x + y ≥ 4 का हल इन दोनों के ग्राफ पर उभयनिष्ठ भाग होगा ।

प्रश्न 7.
2x + y ≥ 8, x + 2y ≥ 10
हल:
2x + y ≥ 8 .......(i)
x + 2y ≥ 10 .......(ii)

रेखा 2x + y = 8 का ग्राफ बिन्दु ( 4, 0) तथा (0, 8) से होकर जाता है।
अब असमिका 2x + y ≥ 8 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2.0 + 0 ≥ 8
या 0 ≥ 8
जो कि असत्य है ।∴ मूल बिन्दु (0, 0) असमिका 2x + y ≥ 8 के क्षेत्र में है । अतः 2x + y ≥ 8 का हल वे सब बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0, 0) स्थित नहीं है।
पुनः रेखा x + 2y = 10 का ग्राफ बिन्दु (100) तथा (0, 5) से होकर जाता है । अब असमिका x + 2y ≥ 10 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 + 2.0 ≥ 10
या 0 ≥ 10
जो कि असत्य है अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका x + 2y ≥ 10 के क्षेत्र में नहीं है । अर्थात् असमिका x + 2y ≥ 10 का हल वे सभी बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0, 0) स्थित नहीं है । स्पष्ट है कि दी गई असमिकाओं का हल इन दोनों रेखाओं का उभयनिष्ठ भाग होगा ।

प्रश्न 8.
x + y ≤ 9, y > x, x ≥ 0
हल:
x + y ≤ 9 ..........(i)
y > x ..........(ii)
x ≥ 0 ...........(iii)
रेखा x + y = 9 का ग्राफ बिन्दु ( 9, 0) तथा (0, 9) से होकर जाता है। अब असमिका x + y ≤ 9 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर 0 + 0 ≤ 9
या 0 ≤ 9
जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु (0, 0) असमिका x + y ≤ 9 के क्षेत्र में है। अतः अंसमिका का हल रेखा के उस ओर का क्षेत्र है जिस क्षेत्र में (0, 0) स्थित है।

पुनः सरल रेखा y = x का ग्राफ बिन्दु (0, 0) तथा (3, 3) से होकर जाता है । अब असमिका y > x में x = 0 तथा y = 3 रखने
पर 3 > 0
जो कि सत्य है । अत: बिन्दु (3,0) इस असमिका के क्षेत्र में है । असमिका का हल रेखा y = x के उस ओर का क्षेत्र है जिसमें (3,0) स्थित है ।
पुनः सरल रेखा x = 0, y-अक्ष को निरूपित करती है । असमिका x ≤ 0 में x = 3, y = 0 रखने पर 3 ≥ 0 जो कि सत्य है। अतः असमिका के हल के सभी बिन्दु x = 0 के दायीं ओर हैं ।
इस प्रकार स्पष्ट है कि असमिकाओं का हल तीनों का उभयनिष्ठ क्षेत्र है ।

प्रश्न 9.
5x + 4y ≤ 20, x ≥ 1, y ≥ 2
हल:
5x + 4y ≤ 20 ..........(i)
x ≥ 1 ..........(ii)
y ≥ 2 ..........(iii)
सरल रेखा 5x + 4y = 20 का ग्राफ बिन्दु (4,0) तथा (0, 5) से होकर जाता है । अब असमिका 5x + 4y ≤ 20 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
5.0+ 4.0 ≤ 20
या 0 ≤ 20
जो कि सत्य है। : मूल बिन्दु (0, 0) असमिका के क्षेत्र में है । अतः असमिका का हल रेखा से नीचे वाले बिन्दु हैं । पुनः रेखा x= 1 का ग्राफ बिन्दु (1, 0) तथा (1, 2) से होकर जाता है ।∴ असमिका x > 1 में x = 0 रखने पर

0 ≥ 1
जो कि असत्य है । अतः असमिका का हल वे सभी बिन्दु हैं जो बिन्दु x = 1. के दायीं ओर होते हैं 
पुनः रेखा y = 2 का ग्राफ बिन्दु (0, 2) तथा (4, 2) से होकर जाता है। अब असमिका y > 2 में y = 0 रखने पर 0 ≥ 2 जो कि असत्य है ।
अतः मूल बिन्दु असमिका के क्षेत्र में नहीं है । अतः असमिका का हल वे सभी बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0, 0) स्थित हैं ।
इस प्रकार दी गई असमिकाओं का हल इनका उभयनिष्ठ क्षेत्र है ।

प्रश्न 10.
3x + 4y ≤ 60, x + 3y ≤ 30, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
3x + 4y ≤ 60 ..........(i)
x + 3y ≤ 30 ..........(ii)
x ≥ 0 .............(iii)
y ≥ 0 ............(iv)

सरल रेखा 3x + 4y = 60 का वक्र या ग्राफ बिन्दु (20, 0) तथा (0, 15) से होकर जाता है । अब असमिका 3x + 4y ≤ 60 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
3.0 + 4.0 ≤ 60
या 0 ≤ 60
जो कि सत्य है । : मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में पड़ता है। इस असमिका का हल वे सभी बिन्दु हैं जो इस ग्राफ के या रेखा के नीचे हैं ।
पुनः सरल रेखा x + 3y = 30 का ग्राफ बिन्दु (30, 0) तथा (0, 10) से होकर जाता है । अब असमिका x + 3y < 30 में = 0 रखने पर x = 0 तथा y
0 + 3.0 ≤ 30
या 0 ≤ 30
जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में आता है। इसका हल वे सभी बिन्दु हैं जो इस ग्राफ के नीचे हैं ।
सरल रेखा x = 0, y-अक्ष को निरूपित करता है । अतः x ≥ 0 का हल वे सभी बिन्दु हैं जो y-अक्ष के दायीं ओर हैं ।
तथा सरल रेखा y = 0, x- अक्ष को निरूपित करती है तथा इसका हल वे सभी बिन्दु हैं जो x - अक्ष के ऊपर हैं।
इस प्रकार दी गई असमिकाओं का हल उस उभयनिष्ठ क्षेत्र के बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में आते हैं ।

प्रश्न 11.
2x + y ≥ 4, x + y ≤ 3, 2x - 3y ≤ 6
हल:
2x + y ≥ 4 ..........(i)
x + y ≤ 3 ..........(ii)
2x - 3y ≤ 6 ........(iii)
सरल रेखा 2x + y ≥ 4 का ग्राफ बिन्दु (2, 0) तथा (0, 4) से होकर जाता है । अब असमिका 2x + y ≥ 4 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2.0 + 0 ≥ 4
या 0 ≥ 4

जो कि असत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका 2x + y ≥ 4 के क्षेत्र में नहीं है । अतः इस असमिका का हल वे सभी बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में स्थित हैं जिसमें (0, 0) स्थित नहीं है ।
पुनः सरल रेखा x + y = 3 का ग्राफ बिन्दु (3, 0) तथा (0, 3) से होकर जाता है । अब असमिका x + y ≤ 3 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 + 0 ≤ 3
0 ≤ 3
जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु इस असमिका x + y ≤ 3 के क्षेत्र में है । इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जिस क्षेत्र में (0,0) स्थित है।
पुनः सरल रेखा 2x - 3y = 6 का ग्राफ बिन्दु (3, 0) तथा (0, -2) से होकर जाता है। अब असमिका 2x - 3y ≤ 6 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2.0 - 3.0 ≤ 6
0 ≤ 6 
जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका 2x - 3y ≤ 6 के क्षेत्र में है । अतः इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं. जिस क्षेत्र में (0, 0) स्थित है।
इस प्रकार दी हुई असमिकाओं का हल तीनों असमिकाओं के उभयनिष्ठ क्षेत्र के बिन्दु होंगे।

प्रश्न 12.
x - 2y ≤ 3, 3x + 4y ≥ 12, x ≤ 0, y ≥ 1.
हल:
x - 2y ≤ 3 ........(i)
3x + 4y ≥ 12 .........(ii)
x ≥ 0 ..........(iii)
y ≥ 1 .......(iv)

सरल रेखा x - 2y = 3 का ग्राफ बिन्दु (3, 0) तथा (0, −1) से होकर जाता है । अब असमिका x - 2y ≤ 3 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
या 0 - 2.0 ≤ 3
0 ≤ 3
जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु असमिका x - 2y ≤ 3 के क्षेत्र में है । इस असमिका का हल ग्राफ रेखा के ऊपर वाले सब बिन्दु होंगे ।
पुनः रेखा 3x + 4y = 12 का ग्राफ बिन्दु ( 4, 0) तथा (0, 3) से होकर जाता है । अब असमिका 3x + 4y ≥ 12 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
3.0 + 4.0 ≥ 12
0 ≥ 12
जो असत्य है।
मूल बिन्दु इस असमिका 3x + 4y ≥ 12 के क्षेत्र में नहीं है । इस असमिका का हल वे सब बिन्दु होंगे जो इसकी ग्राफ रेखा के ऊपर होंगे ।
पुनः रेखा x = 0, y - अक्ष को प्रदर्शित करती है । असमिका x ≥ 0 का हल वे सब बिन्दु हैं जो y-अक्ष के दायीं ओर हैं। रेखा y = 1 का ग्राफ x-अक्ष के समान्तर रेखा होगी, जो इससे 1 इकाई की दूरी पर होगी । y = 0 रखने पर 0 ≥ 1 जो कि असत्य है। अतः इसका हल वे सब बिन्दु होंगे जो रेखा y = 1 पर होंगे। इस प्रकार दी गई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो इनके उभयनिष्ठ क्षेत्र में आते हैं ।

प्रश्न 13.
4x + 3y ≤ 60, y ≥ 2x, x ≤ 3, x ≤ 0, y ≥ 0
हल:
4x + 3y ≤ 60 .........(i)
y ≥ 2x ............(ii)
x ≥ 3 ............(iii)
x ≥ 0 .........(iv)
y ≥ 0 ........(v)
सरल रेखा 4x + 3y = 60 का ग्राफ बिन्दु (15, 0) तथा (0, 20) से होकर जाता है । अब असमिका 4x + 3y ≤ 60 में x = 10, y = 0 रखने पर
या 4.0 + 3.0 ≤ 60
0 ≤ 60
जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में है । इस असमिका का हल वे बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में स्थित हैं जिसमें (0, 0) स्थित है ।
पुन: y ≥ 2x या y - 2x ≥ 0 अर्थात् रेखा y - 2x = 0 का ग्राफ बिन्दु (0, 0) तथा (5, 10) से होकर जाता है । अब असमिका y - 2x ≥ 0 में x = 5 तथा y = 0 रखने पर
0 - 10 ≥ 0
या - 10 ≥ 0

जो कि असत्य हैं अतः बिन्दु (5, 0) इस असमिका के क्षेत्र में नहीं आता है। इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में स्थित हैं जिसमें ( 5, 0) स्थित नहीं है । 
पुनः रेखा x = 3 बिन्दु (3,0) अर्थात् यह रेखा y- अक्ष के समान्तर है जो इससे 3 इकाई की दूरी पर रहती है । 
इसमें x = 0 रखने पर 0 ≥ 3 जो कि असत्य है । अतः मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में नहीं है । अतः इस असमिका x ≥ 3 का हल वे बिन्दु हैं जो इसकी ग्राफ रेखा के दायीं ओर हैं। पुनः असमिका x ≥ 0 का ग्राफ उस क्षेत्र को प्रदर्शित करता है जो y-अक्ष के दायीं ओर है तथा असमिका y ≥ 0 का ग्राफ उस क्षेत्र को प्रदर्शित करता है जो x-अक्ष के ऊपर है ।
इस प्रकार दी गई असमिकाओं का हल वे सब बिन्दु हैं जो इन सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र है ।

प्रश्न 14.
3x + 2y ≤ 150, x + 4y ≤ 80, x ≤ 15, y ≤ 0, x ≥ 0
हल:
3x + 2y ≥ 150 ..........(i)
x + 4y ≤ 80 ............(ii)
x ≤ 15 ............(iii)
y ≥ 0 ..........(iv)
सरल रेखा 3x + 2y = 150 का ग्राफ बिन्दु (500) तथा (0, 75) से होकर जाता है । असमिका 3x + 2y ≤ 150 में x = 0 तथा y 0 रखने पर
3.0 + 2.0 ≤ 150
या 0 ≤ 150

जो कि सत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में नहीं है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में हैं जिसमें (0, 0) स्थित है ।
पुनः सरल रेखा x + 4y = 80 का ग्राफ बिन्दु ( 80, 0) तथा (0, 20) से होकर जाता है । अब असमिका x + 4y ≤ 80 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 +4.0 ≤ 80
या 0 ≤ 80
जो कि सत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में है। इसका हल वे सब बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में स्थित हैं जिसमें (0,0) स्थित है।
पुनः रेखा x = 15 का ग्राफ y-अक्ष के समान्तर होगा जो इससे 15 इकाई की दूरी पर हो । असमिका में x कि सत्य है। अतः इसका हल वे बिन्दु या इसके बायीं ओर स्थित हैं ।
पुनः असमिका y ≥ 0 का हल वे समस्त बिन्दु हैं जो x - अक्ष पर या उसके ऊपर के बिन्दु हैं ।
इस प्रकार दी गई असमिकाओं का हल वे बिन्दु होंगे जो इनके सभी के उभयनिष्ठ क्षेत्र में होंगे।

प्रश्न 15. 
x + 2y ≤ 10, x + y ≥ 1, x - y ≤ 0, x ≤ 0, y ≥ 0
हल:
x + 2y ≤ 10 ....(i)
x + y ≤ 1 ....(ii)
x - y ≤ 0 .....(iii)
x ≥ 0 .....(iv)
y ≥ 0 ......(v)
सरल रेखा x + 2y = 10 का ग्राफ बिन्दु (10, 0) तथा (0, 5) से होकर जाता है ।
अब असमिका x + 2y ≤ 10 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0+ 2.0 ≤ 10
0 ≤ 10

जो कि सत्य है। ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इस असमिका के क्षेत्र में है। इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो ग्राफ रेखा पर या उससे नीचे हैं ।
पुनः सरल रेखा x + y = 1 का ग्राफ बिन्दु (1, 0) तथा (0, 1) से होकर जाता है । अब असमिका में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 + 0  ≥ 1
या 0 ≥ 1
जो कि असत्य है । ∴ मूल बिन्दु (0, 0) इसके क्षेत्र में नहीं है ।
इस असमिका का हल वे सब बिन्दु हैं जो उस क्षेत्र में स्थित हैं जिसमें (0,0) स्थित नहीं है ।
पुनः सरल रेखा x - y = 0 का ग्राफ बिन्दु (0, 0) तथा (1, 1) से होकर जाता है । अब असमिका x - y ≤ 0 का क्षेत्र ज्ञात करने के लिए एक ऐसा बिन्दु जैसे (2, 0) लेते हैं जो इस पर नहीं है ।
∴ 2 ≤ 0 जो असत्य है ।
इसी प्रकार असमिका x ≥ 0 का क्षेत्र y-अक्ष के दायीं ओर का क्षेत्र होगा तथा y ≥ 0 का क्षेत्र x-अक्ष के ऊपर वाला क्षेत्र होगा । इस प्रकार प्रश्न में दी गई असमिकाओं का क्षेत्र वह होगा जो इन सभी असमिकाओं का उभयनिष्ठ क्षेत्र होगा ।