RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 6 रैखिक असमिकाएँ Ex 6.2

निम्नलिखित असमिकाओं को आलेखन - विधि से द्विविमीय तल में निरूपित कीजिए-

प्रश्न 1.
x + y < 5
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण x + y = 5 का ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में y = 0 तथा x = 0 रखने पर X- अक्ष पर बिन्दु (5, 0) प्राप्त होता है तथा y - अक्ष पर बिन्दु (0, 5)। इस प्रकार इस समीकरण का ग्राफ आकृति में प्रदर्शित है।
अब असमिका x + y < 5 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर 0 + 0 < 5 जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु x + y < 5 के क्षेत्र में है। इस रेखा पर अन्य कोई बिन्दु असमिका को

सन्तुष्ट नहीं करता है । अतः छायांकित क्षेत्र x + y < 5 को निरूपित करता है । यही इस असमिका का हल है।

प्रश्न 2.
2x + y ≤ 6
हल:
सबसे पहले समीकरण 2x + y = 6 का ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर y - अक्ष पर (0, 6) तथा x-अक्ष पर (3, 0) बिन्दु प्राप्त होते हैं । इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है। 

अब असमिका में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
2x + y > 6
2 (0) + 0 ≥ 6
या 0 ≥ 6 जो कि असत्य है । अतः मूल बिन्दु असमिका 2x + y ≥ 6 के क्षेत्र में नहीं है। स्पष्ट है कि इस रेखा का कोई भी बिन्दु इस असमिका को सन्तुष्ट करता है ।
अतः अभीष्ट असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु के विपरीत, सरल रेखा 2x + y = 6 पर स्थित बिन्दुओं सहित होगा ।

प्रश्न 3.
3x + 4y ≤ 12
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण 3x + 4y = 12 का ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर y-अक्ष पर (0, 3) तथा x-अक्ष पर (1, 0) बिन्दु प्राप्त होते हैं। इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है । अब असमिका 3x + 4y ≤ 12 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर

3x + 4y ≤ 12
3.0 +4.0 ≤ 12
0 ≤ 12 जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु असमिका 3x + 4y ≤ 12 के क्षेत्र में आता है ।
अत: दी हुई असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की तरफ सरल रेखा 12 पर स्थित बिन्दुओं सहित होगा ।

प्रश्न 4.
y + 8 ≥ 2x
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण
y + 8 = 2x
या y - 2x = -8
या 2x - y = 8 का ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर x- अक्ष पर (4,0) तथा y-अक्ष पर (0, - 8) बिन्दु प्राप्त होते हैं। इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है । 

अब असमिका y + 8 ≥ 2x में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
0 + 8 ≥ 2.0
8 ≥ 0 जो कि सत्य हैं । अतः मूल बिन्दु असमिका y + 8 ≥ 2x के क्षेत्र में आता है ।
अतः अभीष्ट असमिका का हल मूल बिन्दु की तरफ सरल रेखा 2x - y = 8 पर स्थित बिन्दुओं सहित होगा ।

प्रश्न 5.
x – y ≤ 2
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण x - - y = 2 का ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर y-अक्ष पर बिन्दु (0, −2) तथा x-अक्ष पर बिन्दु (2, 0) प्राप्त होते हैं । इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है ।

अब असमिका x - y ≤ 2 में x = 0 तथा 0 - 0 ≤ 2 रखने पर
या 0 ≤ 2 जो कि सत्य है । अत: मूल बिन्दु असमिका x - y ≤ 2 के क्षेत्र आता है। स्पष्ट है कि रेखा के समस्त बिन्दु दी गई असमिका को सन्तुष्ट करते हैं ।
अतः दी हुई असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की तरफ सरल रेखा x - y = 2 पर स्थित बिन्दुओं सहित होगा ।

प्रश्न 6. 
2x – 3y > 6
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण 2x - 3y = 6 के लिए ग्राफ खण्डित रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर y-अक्ष पर (0, −2) तथा x- अक्ष पर बिन्दु (3,0) प्राप्त होता है । इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है । अब असमिका 2x - 3y > 6 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर 2.0 - 3.0 > 6 0 > 6 जो कि असत्य है।

अतः मूल बिन्दु असमिका 2x – 3y > 6 के क्षेत्र में नहीं आता है । स्पष्ट है कि रेखा का कोई बिन्दु असमिका को सन्तुष्ट नहीं करता है । अतः दी गई असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की विपरीत दिशा में होगा तथा सरल रेखा 2x - 3y = 6 पर स्थित बिन्दु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होगा ।

प्रश्न 7.
- 3x + 2y ≥ - 6
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण - 3x + 2y = -6 के लिए ग्राफ रेखा के रूप में खींचा। समीकरण में x = 0 तथा y = 0 रखने पर y-अक्ष पर बिन्दु (0, - 3) तथा x - अक्ष पर बिन्दु (2, 0) प्राप्त होता है । इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है । अब असमिका – 3x + 2 ≥ - 6 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर - 3.0 + 2.0 ≥ 6
या 0 ≥ - 6 
या 0 ≤ - 6  जो कि सत्य है । अतः मूल बिन्दु असमिका -3x + 2y ≥ 6 के क्षेत्र में आता है ।
अतः अभीष्ट असमिका का हल क्षेत्र मूल बिन्दु की तरफ होगा जिसमें सरल रेखा 3x - 2y = 6 पर स्थित बिन्दु शामिल होंगे।

प्रश्न 8.
3y – 5x ≤ 30
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण 3y - 5x = 30 का खण्डित रेखा के रूप में ग्राफ खींचा। समीकरण में x = = 0 तथा y = 0 रखने पर y-अक्ष पर (0, 10) तथा x- अक्ष पर ( - 6, 0) बिन्दु प्राप्त हुए । इसका ग्राफ संलग्न आकृति में प्रदर्शित है । अब असमिका 3x – 5y < 30 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर
3.0 - 5.0 < 30

या 0 < 30 जो कि सत्य है। अतः मूल बिन्दु असमिका 3y - 5x < 30 के क्षेत्र में आता है। स्पष्ट है कि रेखा का कोई बिन्दु असमिका को सन्तुष्ट करता है ।
अतः अभीष्ट हल क्षेत्र वह है जिसमें मूल बिन्दु स्थित है। ध्यान रहे कि जहाँ रेखा पर स्थित बिन्दु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होंगे ।

प्रश्न 9.
y< 2
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण y= - 2 का खण्डित रेखा के रूप में ग्राफ खींचा। समीकरण से स्पष्ट है कि यह रेखा x - अक्ष के समान्तर होगी जिसकी दूरी 2 इकाई होगी। 

रेखा y = 2, xy-तल को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है एक तो इस रेखा के नीचे तथा दूसरी इस रेखा से ऊपर । हम देखते हैं कि मूल बिन्दु इस रेखा या असमिका के क्षेत्र में नहीं आता है तथा यह असमिका को सन्तुष्ट भी नहीं करता है क्योंकि 0 < - 2 जो कि असत्य हैं । अतः इस . असमिका y < - 2 द्वारा प्रदर्शित क्षेत्र में मूल बिन्दु नहीं आता है।
अतः अभीष्ट हल क्षेत्र वह है जिसमें मूल बिन्दु स्थित नहीं है । यहाँ रेखा पर स्थित बिन्दु हल क्षेत्र में शामिल नहीं होंगे।

प्रश्न 10.
x > - 3
हल:
सबसे पहले हमने समीकरण x = - 3 का खण्डित रेखा के रूप में ग्राफ खींचा। समीकरण से स्पष्ट है कि यह एक y-अक्ष के समान्तर ऐसी रेखा होगी जो 3 इकाई की दूरी रखते हुए बायीं ओर होगी। रेखा x = 3, xy - तल को दो क्षेत्रों में विभाजित करेगी जो कि बायीं तथा दायीं तरफ के क्षेत्र होंगे। अब बिन्दु (0, 0) का निर्धारण करते हैं । हम देखते हैं कि बिन्दु (0, 0) असमिका x > - 3 को सन्तुष्ट करते हैं क्योंकि 0 > - 3 जो कि सत्य है। अतः असमिका x > - 3 के क्षेत्र में ही मूल बिन्दु स्थित है ।

अतः अभीष्ट हल क्षेत्र वह है जिसमें मूल बिन्दु स्थित है। यहाँ रेखा पर स्थित बिन्दु हल क्षेत्र में शामिल नहीं है ।