Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.
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प्रश्न 1.
[i18 + (1i)25]3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
= - [1 + i3 + 3 × 1 × i (1 + i)]
= - [1 - i + 3i + 3i2]
= - (1 + 2i - 3)
= - (- 2 + 2i) = 2 - 2i
प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z1 और z2 के लिए, सिद्ध कीजिए-
Re (z1 z2) = Rez1 Rez2 - Imz1 Imz2
हल:
माना कि Z1 = x1 + iy1
तथा Z2 = x2 + iy2
अतः Z1Z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2)
= (x1x2 - y1y2) + i (x1y2 + x2y1)
Rez1 = x1, Rez2 = x2
तथा Imz1 = y1, Imz2 = y2
L.H.S. = Re(z1z2) = x1x2 - y1y2
R.H.S. = Rez1 Rez2 - Imz1 Imz2
= x1x2 - y1y2
प्रश्न 3.
(11−4i−21+i)(3−4i5+i) को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
हल:
प्रश्न 4.
यदि x - iy = √a−ibc−id, तो सिद्ध कीजिए कि x2 + y2 = a2+b2c2+d2
हल:
प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए-
(i) 1+7i(2−i)2
हल:
माना कि - 1 + i = r (cos θ + i sin θ)
यहाँ r cos θ = - 1 तथा r sin θ
इनको वर्ग करने एवं जोड़ने पर
r2 (cos2θ + sin2 θ) = (- 1)2 + 12 = 2
या r2 = 2 = 1 = √2
rsinθrcosθ = 1−1 = - 1
tan θ = - 1
∴ θ = tan-1 | -1 | = π4
चूँकि z द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक का मान होगा।
अतः कोणांक = π - θ = π - π4 = 3π4
अतः ध्रुवीय रूप = √2 (cos 3π4 + i sin 3π4)
(ii) 1+3i1−2i
हल:
माना कि - 1 + i = r (cos θ + i sin θ)
यहाँ r cos θ = - 1 तथा r sin θ = 1
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r2 (cos2 θ + sin2 θ) = (- 1)2 + (1)2 = 2
r2 = 2 ⇒ r = √2
अतः cos θ = - 1√2 तथा sin θ = 1√2
∴ tan θ = −1√21√2 = - 1
∴ θ tan-1 |- 1| = π4
∵ (-1, 1) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक θ = - π4 = 3π4 होगा।
अतः ध्रुवीय रूप = √2 (cos 3π4 + i sin 3π4)
प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए-
प्रश्न 6.
3x2 - 4x + 203 = 0
हल:
प्रश्नानुसार 3x2 - 4x + 203 = 0
या 9x2 - 12x + 20 = 0
यहाँ a = 9, b = - 12, c = 20
प्रश्न 7.
x2 - 2x + 32 = 0
हल:
प्रश्नानुसार x2 - 2x + 32 = 0
या 2x2 - 4x + 3 = 0
यहाँ a = 2, b = − 4, c = 3
प्रश्न 8.
27x2 - 10x + 1
हल:
प्रश्नानुसार 27x2 - 10x + 1 = 0
यहाँ a = 27, b = - 10, c = 1
प्रश्न 9.
21x2 - 28x + 10 = 0
हल:
प्रश्नानुसार 21x2 - 28x + 2 = 0
a = 21, b = - 28, c = 10
प्रश्न 10.
यदि
z1 = 2 - i, z2 = 1 + i, |z1+z2+1z1−z2+i| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार z1 = 2 - i, z2 = 1 + i
अब z1 + z2 + 1 = 2 - i + 1 + i + 1 = 4
तथा z1 - z2 + i = 2 - i - 1 - i + i = 1 - i
प्रश्न 11.
यदि a + ib = (x+i)22x2+1, सिद्ध कीजिएं कि, a2 + b2 = (x2+1)2(2x2+1)2
हल:
प्रश्नानुसार a + ib = (x+i)22x2+1 ................. (1)
i के स्थान पर - i रखने पर
(1) व (2) को गुणा करने पर
प्रश्न 12.
माना z1 = 2 - i, z2 = - 2 + i, निम्न का मान निकालिए-
(i) Re(z1z2ˉz1)
हल:
(ii) Im(1z1ˉz1)
हल:
प्रश्न 13.
सम्मिश्र संख्या 1+2i1−3i का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि
प्रश्न 14.
यदि (x - iy) (3 + 5i), - 6 - 24i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार (x - iy) (3 + 5i) = ¯−6−24i
या x (3 + 5i) - iy (3 + 5i) = - 6 + 24i
या 3x + 5ix - 3iy - 5yi2 = - 6 + 24i
या 3x+5y + i (5x - 3y) = - 6 + 24i
अत: 3x + 5y = - 6 ............... (1)
तथा 5x - 3y = 24 .................. (2)
समीकरण (1) में 3 का तथा (2) में 5 का गुणा करने पर
9x + 15y = - 18 ................... (3)
25x - 15y = 120 .................. (4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर
34x = 102
∴ x = 3
समीकरण (1) में x का मान रखने पर
3x + 5y = - 6
3 × 3 + 5y = - 6
9 + 5y = - 6
5y = - 6 - 9 = - 15
y = - 3
अतः x = 3 तथा y = - 3
प्रश्न 15.
1+i1−i−1−i1+i का मापांक ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्न 16.
यदि (x + iy)3 = u + iv, तो दर्शाइए कि ux+vy = 4(x2 - y2)
हल:
प्रश्नानुसार (x + iy)3 = u + iv
या x3 + (iy)3 + 3ixy (x + iy) = u + iv
या x3 + i3y3 + 3ix2y + 3i2xy2 = u + iv
या x3 - iy3 + 3ix2y - 3xy2 = u + iv
या x3 - 3xy2 + i(- y3 + 3x2y) = u + iv
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अत: u = x3 - 3xy2
तथा v = 3x2y - y3
L.H.S. = ux + vy
= x3−3xy2x + 3x2y−y3y
= x2 - 3y2 + 3x2 - y2
= 4x2 - 4y2 = 4(x2 - y2) = R.H.S.
प्रश्न 17.
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ |β| = 1, तब |β−α1−ˉαβ| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि, α = x + iy
तथा β = c + id
|β| = √c2 + d2 = 1
⇒ c2 + d2 = 1
प्रश्न 18.
समीकरण |1 - i|x = 2x के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार |1 - i|x = 2x
[√12+(−1)2]x = 2x
(√2)x = 2x
2x2 = 2x.
∴ x2 = x ⇒ 2x - x = 0
या x = 0
अतः इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त अन्य कोई हल नहीं हो सकता।
प्रश्न 19.
यदि (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB है तो दर्शाइए कि (a2 + b2) (c2 + đ2) (e2 + f2) (g2 + h2) = A2 + B2
हल:
L.H.S. = (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB .............. (1)
के स्थान पर रखने पर
(a - ib) (c - id) (e - if) (g - ih) = A - iB .................... (2)
समीकरण (1) व (2) का गुणा करने पर
[(a + ib) (a - ib)] [(c + id) (c - id)] [(e + if) (e - if)] [(g + ih) (g - ih)]
= (A + iB) (A - B)
⇒ (a2 - i2b2) (c2 - i2d2) (e2 - i2f2) (g2 - i2h2) = A2 - i2B2
⇒ (a2 + b2) (c2 + d2) (e2 + ƒ2) (g2 + h2) = A2 + B2 [∵ i2 = - 1]
प्रश्न 20.
यदि [1+i1−i]n = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार
[i]m = 1
im = (i)4k
यह तब सम्भव है, जब m = 4k
जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।
∵ i2 = − 1
i4 = (i2)2 = (- 1)2 = 1
अत: m का न्यूनतम पूर्णांक मान
= 4 × 1
= 4 (k = 1, 2, 3, .........)