RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
[i¹⁸ + \(\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\)]³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

= - [1 + i³ + 3 × 1 × i (1 + i)]
= - [1 - i + 3i + 3i²]
= - (1 + 2i - 3)
= - (- 2 + 2i) = 2 - 2i

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के लिए, सिद्ध कीजिए-
Re (z₁ z₂) = Rez₁ Rez₂ - Imz₁ Imz₂
हल:
माना कि Z₁ = x₁ + iy₁
तथा Z₂ = x₂ + iy₂
अतः Z₁Z₂ = (x₁ + iy₁) (x₂ + iy₂)
= (x₁x₂ - y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)
Rez₁ = x₁, Rez₂ = x₂
तथा Imz₁ = y₁, Imz₂ = y₂
L.H.S. = Re(z₁z₂) = x₁x₂ - y₁y₂
R.H.S. = Rez₁ Rez₂ - Imz₁ Imz₂
= x₁x₂ - y₁y₂

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right)\) को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि x - iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\), तो सिद्ध कीजिए कि x² + y² = \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
हल:

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए-
(i) \(\frac{1+7 i}{(2-i)^2}\)
हल:

माना कि - 1 + i = r (cos θ + i sin θ)
यहाँ r cos θ = - 1 तथा r sin θ
इनको वर्ग करने एवं जोड़ने पर
r² (cos²θ + sin² θ) = (- 1)² + 1² = 2
या r² = 2 = 1 = √2
\(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\) = \(\frac{1}{-1}\) = - 1
tan θ = - 1
∴ θ = tan^-1 | -1 | = \(\frac{\pi}{4}\)
चूँकि z द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक का मान होगा।
अतः कोणांक = π - θ = π - \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\)
अतः ध्रुवीय रूप = √2 (cos \(\frac{3 \pi}{4}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{4}\))

(ii) \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
हल:

माना कि - 1 + i = r (cos θ + i sin θ)
यहाँ r cos θ = - 1 तथा r sin θ = 1
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r² (cos² θ + sin² θ) = (- 1)² + (1)² = 2
r² = 2 ⇒ r = √2
अतः cos θ = - \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) तथा sin θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ tan θ = \(\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = - 1
∴ θ tan^-1 |- 1| = \(\frac{\pi}{4}\)
∵ (-1, 1) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है अतः कोणांक θ = - \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) होगा।
अतः ध्रुवीय रूप = √2 (cos \(\frac{3 \pi}{4}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{4}\))

प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए-

प्रश्न 6.
3x² - 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0
हल:
प्रश्नानुसार 3x² - 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0
या 9x² - 12x + 20 = 0
यहाँ a = 9, b = - 12, c = 20

प्रश्न 7.
x² - 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0
हल:
प्रश्नानुसार x² - 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0
या 2x² - 4x + 3 = 0
यहाँ a = 2, b = − 4, c = 3

प्रश्न 8.
27x² - 10x + 1
हल:
प्रश्नानुसार 27x² - 10x + 1 = 0
यहाँ a = 27, b = - 10, c = 1

प्रश्न 9.
21x² - 28x + 10 = 0
हल:
प्रश्नानुसार 21x² - 28x + 2 = 0
a = 21, b = - 28, c = 10

प्रश्न 10.
यदि
z₁ = 2 - i, z₂ = 1 + i, \(\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+i}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार z₁ = 2 - i, z₂ = 1 + i
अब z₁ + z₂ + 1 = 2 - i + 1 + i + 1 = 4
तथा z₁ - z₂ + i = 2 - i - 1 - i + i = 1 - i

प्रश्न 11.
यदि a + ib = \(\frac{(x+i)^2}{2 x^2+1}\), सिद्ध कीजिएं कि, a² + b² = \(\frac{\left(x^2+1\right)^2}{\left(2 x^2+1\right)^2}\)
हल:
प्रश्नानुसार a + ib = \(\frac{(x+i)^2}{2 x^2+1}\) ................. (1)
i के स्थान पर - i रखने पर
(1) व (2) को गुणा करने पर

प्रश्न 12.
माना z₁ = 2 - i, z₂ = - 2 + i, निम्न का मान निकालिए-
(i) Re\(\left(\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right)\)
हल:

(ii) Im\(\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right)\)
हल:

प्रश्न 13.
सम्मिश्र संख्या \(\frac{1+2 i}{1-3 i}\) का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि

प्रश्न 14.
यदि (x - iy) (3 + 5i), - 6 - 24i की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार (x - iy) (3 + 5i) = \(\overline{-6-24 i}\)
या x (3 + 5i) - iy (3 + 5i) = - 6 + 24i
या 3x + 5ix - 3iy - 5yi² = - 6 + 24i
या 3x+5y + i (5x - 3y) = - 6 + 24i
अत: 3x + 5y = - 6 ............... (1)
तथा 5x - 3y = 24 .................. (2)
समीकरण (1) में 3 का तथा (2) में 5 का गुणा करने पर
9x + 15y = - 18 ................... (3)
25x - 15y = 120 .................. (4)
समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर
34x = 102
∴ x = 3
समीकरण (1) में x का मान रखने पर
3x + 5y = - 6
3 × 3 + 5y = - 6
9 + 5y = - 6
5y = - 6 - 9 = - 15
y = - 3
अतः x = 3 तथा y = - 3

प्रश्न 15.
\(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\) का मापांक ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 16.
यदि (x + iy)³ = u + iv, तो दर्शाइए कि \(\frac{u}{x}+\frac{v}{y}\) = 4(x² - y²)
हल:
प्रश्नानुसार (x + iy)³ = u + iv
या x³ + (iy)³ + 3ixy (x + iy) = u + iv
या x³ + i³y³ + 3ix²y + 3i²xy² = u + iv
या x³ - iy³ + 3ix²y - 3xy² = u + iv
या x³ - 3xy² + i(- y³ + 3x²y) = u + iv
वास्तविक तथा काल्पनिक भाग को अलग-अलग करने पर
अत: u = x³ - 3xy²
तथा v = 3x²y - y³
L.H.S. = \(\frac{u}{x}\) + \(\frac{v}{y}\)
= \(\frac{x^3-3 x y^2}{x}\) + \(\frac{3 x^2 y-y^3}{y}\)
= x² - 3y² + 3x² - y²
= 4x² - 4y² = 4(x² - y²) = R.H.S.

प्रश्न 17.
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ |β| = 1, तब \(\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि, α = x + iy
तथा β = c + id
|β| = √c² + d² = 1
⇒ c² + d² = 1

प्रश्न 18.
समीकरण |1 - i|^x = 2^x के शून्येतर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार |1 - i|^x = 2^x
\(\left[\sqrt{1^2+(-1)^2}\right]^x\) = 2^x
(√2)^x = 2^x
2^{\(\frac{x}{2}\)} = 2^x.
∴ \(\frac{x}{2}\) = x ⇒ 2x - x = 0
या x = 0
अतः इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त अन्य कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB है तो दर्शाइए कि (a² + b²) (c² + đ²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B²
हल:
L.H.S. = (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB .............. (1)
के स्थान पर रखने पर
(a - ib) (c - id) (e - if) (g - ih) = A - iB .................... (2)
समीकरण (1) व (2) का गुणा करने पर
[(a + ib) (a - ib)] [(c + id) (c - id)] [(e + if) (e - if)] [(g + ih) (g - ih)]
= (A + iB) (A - B)
⇒ (a² - i²b²) (c² - i²d²) (e² - i²f²) (g² - i²h²) = A² - i²B²
⇒ (a² + b²) (c² + d²) (e² + ƒ²) (g² + h²) = A² + B² [∵ i² = - 1]

प्रश्न 20.
यदि \(\left[\frac{1+i}{1-i}\right]^n\) = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार

[i]^m = 1
i^m = (i)^4k
यह तब सम्भव है, जब m = 4k
जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।
∵ i² = − 1
i⁴ = (i²)² = (- 1)² = 1
अत: m का न्यूनतम पूर्णांक मान
= 4 × 1
= 4 (k = 1, 2, 3, .........)