RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए -

प्रश्न 1.
z = 1 - i√3
हल:
प्रश्नानुसार z = - 1 - i√3 = x + iy
यहाँ x = r cos θ = - 1 तथा y = r sin θ = - √3
इनका वर्ग करके जोड़ने पर
r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 3 = 4
r² (cos² θ + sin² θ) = 4
r² = 4 ⇒ r = 2

चूँकि सम्मिश्र संख्या 2 तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, अत: कोणांक
= - (π - θ)
अर्थात् कोणांक = - (π - \(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{-2 \pi}{3}\) होगा।
अतः मापांक |z| = r = 2 एवं कोणांक θ = \(\frac{-2 \pi}{3}\)

प्रश्न 2.
z = - √3 + i
हल:
प्रश्नानुसार z = - √3 + i
यहाँ x = r cos θ = - √3 तथा y = r sin θ = 1

प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपान्तरित कीजिए-

प्रश्न 3.
1 - i
हल:
माना कि 1 - i = r (cos θ + i sin θ)
अत: r cos θ = 1, sin θ
इनका वर्ग करके जोड़ने पर
r² cos² θ + r² sin² θ = 1 + 1 = 2
य़ा r² (cos² θ + sin² θ) = 2
∴ r² = 2 ⇒ r = √2

प्रश्न 4.
- 1 + i
हल:
माना कि - 1 + i = r (cos θ + i sin θ)
∴ r cos θ = - 1 तथा r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर
r² (cos² θ + sin² θ) = (- 1)² + (1)²
r² = 2 ⇒ r = √2

⇒ tan θ = - 1 ∴ θ = tan^-1 |- 1| = \(\frac{\pi}{4}\)
∵ z = (- 1, 1) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है, अतः कोणांक
(π - θ) = π - \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\) होगा।
अतः ध्रुवीय रूप होगा,
- 1 + i = √2 (cos \(\frac{3 \pi}{4}\) + i sin \(\frac{3 \pi}{4}\))

प्रश्न 5.
- 1 - i
हल:
माना कि - 1 - i = r (cos θ + i sin θ)
∴ r cos θ = - 1, तथा r sin θ = - 1
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r² (cos² θ + sin² θ) = (- 1)² + (1)² = 1 + 1
r² = 2 ∴ r = √2

प्रश्न 6.
- 3
हल:
माना कि - 3 = r(cos θ + i sin θ)
∴ r cos θ = - 3, तथा r sin θ = 0
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r² = 9 ⇒ r = 3
अत़: cos θ = - 1 तथा sin θ = 0
अतः θ = π
अतः ध्रुवीय रूप = 3(cos π + i sin π)

प्रश्न 7.
√3 + i
हल:
माना कि √3 + i = r (cos θ + i sin θ)
अतः r cos θ = √3 तथा r sin θ = 1
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r² (cos² θ + sin² θ) = (√3)² + (1)² = 4
r² = 4 ⇒ r = 2

प्रश्न 8.
i
हल:
माना कि i = r (cos θ + i sin θ)
अत: r cos θ = 0, r sin θ = 1
इनको वर्ग करके जोड़ने पर
r² cos² θ + r² sin² θ = 0 + (1)² = 1
r² (cos² θ + sin² θ) = 1
r² = 1 ⇒ θ = 1
अत: cos θ = 0, sin θ = 1
∴ अतः ध्रुवीय रूप = 1(cos\(\frac{\pi}{2}\) + isin\(\frac{\pi}{2}\))
= cos \(\frac{\pi}{2}\) + i sin \(\frac{\pi}{2}\)