RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos \(\frac{9 \pi}{13}\) + cos \(\frac{3 \pi}{13}\) + cos \(\frac{5 \pi}{13}\) = 0
हल:

प्रश्न 2.
(sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x cos x) cos x = 0
हल:
L.H.S. (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x - cos x) cos x

= (2 sin 2x cos x) sin x - (2 sin 2x sin x) cos x
= 2 sin 2x cos x [sin x - sin x]
= = 2 sin 2x cos x .0 = 0 = R.H.S.

प्रश्न 3.
(cos x + cos y)² + (sin x - sin y)² = 4 cos² \(\frac{x+y}{2}\)
हल:
L.H.S. (cos x + cos y)² + (sin x - sin y)²

प्रश्न 4.
(cos x - cos y)² + (sin x - sin y)² = 4 sin² \(\frac{x-y}{2}\)
हल:
L.H.S. = (cos x - cos y)² + (sin x - sin y)²

प्रश्न 5.
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x= 4 cos x cos 2x sin 4x
हल:
L.H.S. = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin x + sin 7x) + (sin 3x + sin 5x)
= [2 sin \(\frac{x+7 x}{2}\) cos \(\frac{x-7 x}{2}\)] + [2 sin \(\frac{3 x+5 x}{2}\) cos \(\frac{3 x-5 x}{2}\)]
= 2 sin 4x cos (- 3x) + 2 sin 4x cos (- x)
= 2 sin 4x cos 3x + 2 sin 4x cos x [∵ cos (- θ) = cos θ]
= 2 sin 4x (cos 3x + cos x)
= 2 sin 4x [2 cos\(\frac{3 x+x}{2}\) cos\(\frac{3 x-x}{2}\)]
= 2 sin 4x (2 cos 2x cos x)
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= R.H.S.

प्रश्न 6.
\(\frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}\) = tan 6x
हल:

प्रश्न 7.
sin 3x + sin 2x sin x 4 sin x cos \(\frac{x}{2}\) cos \(\frac{3 x}{2}\)
हल:
L.H.S. sin 3x + sin 2x - sin x
= (sin 3x - sin x) + sin 2x
= 2 cos \(\frac{3 x+x}{2}\) sin \(\frac{3 x-x}{2}\) + sin 2x
= 2 cos 2x sin x + sin 2x
= 2 cos 2x sin x + 2 sin x cos x
= 2 sin x (cos 2x + cos x)

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\) तथा tan \(\frac{x}{2}\) ज्ञात कीजिए

प्रश्न 8.
tan x = - \(\frac{4}{3}\), x द्वितीय चतुर्थांश में है।
हल:
प्रश्नानुसार x दूसरे चतुर्थांश में है ।
∴ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थांश में है अत:

प्रश्न 9.
cos x = -\(\frac{1}{3}\), x तृतीय चतुर्थांश में है।
हल:
प्रश्नानुसार x तृतीय चतुर्थांश में है अर्थात्
180° < x < 270°.
या 90° < \(\frac{x}{2}\) < 135°
∴ \(\frac{x}{2}\) दूसरे चतुर्थांश में है जहाँ sin \(\frac{x}{2}\) धनात्मक तथा cos \(\frac{x}{2}\) तथा tan \(\frac{x}{2}\) ऋणात्मक होगा।
दिया हुआ है-

प्रश्न 10.
sin x = \(\frac{1}{4}\), x द्वितीय चतुर्थांश में है।
हल:
प्रश्नानुसार x द्वितीय चतुर्थांश में है अर्थात्
90° < x < 180°
या 45° < \(\frac{x}{2}\) < 90°
अर्थात् \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थांश में होगा अतः sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\) तथा tan \(\frac{x}{2}\) तीनों के ही मान धनात्मक होंगे।
दिया हुआ है - sin x = \(\frac{1}{4}\)
⇒ cos² x = 1 - sin²x