RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 16 प्रायिकता Ex 16.2

प्रश्न 1.
एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए घटना E 'पासे पर संख्या 4 दर्शाता है और घटना F' पासे पर सम संख्या दर्शाता है| क्या E और F परस्पर अपवर्जी हैं?
हल:
पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
पासे पर E (संख्या 4 पासे पर दर्शाता है )
F (सम संख्या) = {2, 4, 6}
∴ E ∩ F = {4} ∩ {2, 4, 6}
= {4} ≠ Φ
अर्थात् E और F अपवर्जी नहीं हैं।

प्रश्न 2.
एक पासा फेंका जाता है । निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
(i) A : संख्या 7 से कम है।
(ii) B: संख्या 7 से बड़ी है।
(iii) C : संख्या 3 का गुणज है ।
(iv) D : संख्या 4 से कम है ।
(v) E : 4 से बड़ी सम संख्या है
(vi) F संख्या 3 से कम नहीं है ।
A ∪ B, A ∩ B, B ∪ C, E ∩E, D ∩ E, A - C, D - E, F', E ∩ F भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
यहाँ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(ii) B = Φ
(iii) C = {3, 6}
(iv) D = {1, 2, 3}
(v) E = {6}
(vi) F = {3, 4, 5, 6}

अब A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ Φ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ Φ = Φ
B ∪ C = Φ ∪ {3, 6} = {3, 6}
E ∩ F = {6} ∩ {3, 4, 5, 6} = {6}
D ∩ E = {1, 2, 3} ∪ {6} = Φ
A - C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 6} = { 1, 2, 4, 5}
D - E = {1, 2, 3} - {6} = {1, 2, 3}
F′ = S - F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - {3, 4, 5, 6} = {1, 2}
E ∩ F ́ = {6} ∩ {1, 2} = Φ

प्रश्न 3.
एक परीक्षण में पासे के एक जोड़े को फेंकते हैं और उन पर प्रकट संख्याओं को लिखते हैं । निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
A : प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है।
B : दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है।
C : प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
इन घटनाओं के कौन-कौन से युग्म परस्पर अपवर्जी हैं?
हल:
एक परीक्षण में जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल सम्भावित परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36
{(1, 1), (1, 2), (1, 3) ............ (6, 5), (6, 6)}
A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 से अधिक है । अर्थात् अंकों का योग 9, 10, 11, 12 लेने पर
= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}

B = दोनों पासों पर संख्या 2 प्रकट होती है अर्थात् कम से कम एक पासे पर संख्या 2 प्रकट होती है ।
{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}

C = प्रकट संख्याओं का योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।
= प्रकट संख्याओं का योग 9 और 12 है जो कि 3 का गुणज है।
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}

∴ A ∩ C = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
= {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
A ∩ B = {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} ∩ {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 3), (4, 2), (2, 4), (5, 2), (2, 5), (2, 6), (6, 2)} = Φ

तथा B ∩ C = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (2, 6), (6, 2)} ∩ {(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (6, 6)}
= Φ
A ∩ B = Φ, B ∩ C = Φ ⇒ A और B तथा B और C परस्पर अपवर्जी हैं। परन्तु An C≠ ¢ अत: A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है । मान लीजिए कि घटना 'तीन चित दिखना' को A से, घटना' दो चित और एक पट दिखना' को B से, घटना 'तीन पट दिखना' को C से और घटना 'पहले सिक्के पर चित दिखना' को D से निरूपित किया गया है । बताइए कि इनमें से कौन सी घटनाएँ
(i) परस्पर अपवर्जी हैं?
(ii) सरल हैं ?
(iii) मिश्र हैं ?
हल:
जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है तो इस घटना का प्रतिदर्श समष्टि
S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
अब A = तीन चित दिखना = {HHH}
B = दो चित और एक पट दिखना
= {HHT, HTH, THH}
C = तीन पट दिखना = {TTT}
D = पहले सिक्के पर चित दिखना
{HHH, HHT, HTH, HTT}
A ∩ B = {HHH} ∩ {HHT, HTH, THH} = Φ
A ∩ C = {HHH} ∩ {TTT} = Φ
A ∩ D = {HHH} ∩ {HHH HHT, HTH, HTT}
{HHH} ≠ Φ
B ∩ C = {HHT, HTH, THH} ∩ {TTT} = Φ
B ∩D = {HHT, HTH, THH} ∩ {HHH, HHT, HTH, HTT}
= {HHT, HTH} ≠ Φ
C ∩ D = {TTT} ∩ {HHH, HHT, HTH, HTT} = Φ
A ∩B ∩ C = {HHH} ∩ {HHT, HTH, THH} ∩ {TTT}
= Φ
अत: A ∩ B = Φ, A ∩ C = Φ, A ∩ D ≠ Φ, B ∩ C = Φ C ∩ D = Φ, A ∩ B∩ C = Φ
(i) ∴ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ = A और B, A और C, B और C, C और D तथा A, B और C
(ii) चूँकि A एवं C में केवल एक-एक ही प्रतिदर्श बिन्दु है, अतः A एवं C सरल घटनाएँ हैं ।
(iii) चूँकि घटना B और D में प्रत्येक के प्रतिदर्श बिन्दु एक से अधिक हैं, अत: B एवं D मिश्र घटनाएँ हैं ।

प्रश्न 5.
तीन सिक्के एक बार उछाले जाते हैं। वर्णन कीजिए
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं ।
(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
हल:
(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी हैं-
A = कम से कम दो चित प्राप्त करना
= {HHH, HHT, HTH, THH}
B = कम से कम दो पट प्राप्त करना
= {TTT, TTH, THT, HTT}
यहाँ पर प्रतिदर्श समष्टि S = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT, TTT}
यहाँ A ∩ B = Φ

(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं ।
A = अधिक से अधिक एक चित प्राप्त करना
= {TTT, TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH}
C = तथ्यत: 3 चित प्राप्त करना
= {HHH}
यहाँ पर A ∩ B = Φ, B ∩ C = Φ, C ∩ A = Φ जबकि A ∪ B ∪ C = s
अत: A, B एवं C तीन घटनाएँ परस्पर, अपवर्जी एवं निःशेष हैं।

(iii) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं ।
A = अधिकतम दो पट प्राप्त करना
= {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH }
A ∩ B = {HHH, HHT, HTH, THH, TTH, THT, HTT} ∪ {HHT, HTH, THH}
= {HHT, HTH, THH} ≠ Φ

(iv) दो घटनाएँ A और B जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं।
A = तथ्यतः एक चित प्राप्त करना
= {TTH, THT, HTT}
B = तथ्यतः 2 चित प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH }
यहाँ पर A ∩ B = Φ परन्तु A ∪ B ≠ S अत: A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं परन्तु निःशेष नहीं हैं ।

(v) तीन घटनाएँ A, B तथा C जो परस्पर अपवर्जी हैं किन्तु निःशेष नहीं हैं ।
A = तथ्यतः एक पट प्राप्त करना
= {HHT, HTH, THH}
B = तथ्यतः 2 पट प्राप्त करना
= {TTH, THT, HTT}
C = तथ्यत: 3 पट प्राप्त करना = {TTT}
यहाँ A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = Q तथा A ∪ B ∪ C ≠ S
अतः तीनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं परन्तु निःशेष नहीं हैं।

प्रश्न 6.
दो पासे फेंके जाते हैं । घटनाएँ A, B और C निम्नलिखित प्रकार से हैं-
A : पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना
B : पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना
C : पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5 होना
निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए-
(i) A'
(iii) A या B
(v) A किन्तु C नहीं
(vii) B और C
(ii) B-नहीं
(iv) A और B
(vi) B या C
(viii) A ∩ B' ∩ C'
हल:
दो पासे फेंके जाने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {(1, 1), (1, 2), ...................... (1, 6), (2, 1), (2, 2), ....................... (2, 6), (3, 1), (3, 2), ..................... (3, 6), (4, 1) (4, 2), ........................ (4, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6), (6, 1), (6, 2), ..................., (6, 6)}
प्रश्नानुसार A = पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त होना ।
= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त होना ।
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

C = पासों पर प्राप्त संख्या का योग ≤ 5 होना ।
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

(i) A' = S - A
= {(1, 1), (1, 2), .................... (1, 6), (2, 1), (2, 2), .................... (2, 6), (3, 1), (3, 2), ...................., (3, 6), (4, 1), (4, 2), .................... (4, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 6)} - {(2, 1), (2, 2), ...................., (2, 6), (4, 1), (4, 2), .................... (4, 6), (6, 1), (6, 2), .................... (6, 6)}
= {(1, 1), (1, 2), .................... (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 6), (5, 1), (5, 2), ................, (5, 6)}
= पहले पासे पर विषम संख्या का होना।
या A' = B ∵ S - A = B

(ii) B-नहीं = B' = पहले पासे पर विषम संख्या का न होना ।
पहले पासे पर सम संख्या का होना = A

(iii) A या B = A ∪ B = {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∪ {पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= S

(iv) A और B = A ∩ B
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना } ∩ { पहले पासे पर विषम संख्या का होना}
= Φ

(v) A किन्तु C - नहीं = {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना } - { पासों पर प्राप्त संख्या का योग ≤ 5}
∴ A - C
= {(2, 1), (2, 2), .............., (2, 6), (4, 1), (4, 2), ................. (4, 6), (6, 1), (6, 2), ................. (6, 6)} - {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), .............., (4, 6), (6, 1), (6, 2), ..............., (6, 6)}

(vi) B या C = B ∪ C = {x : x पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∪ {पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग ≤ 5}
= {(1, 1), (1, 2), .............. , (1, 6), (3, 1), (3, 2), ................. , (3, 6), (5, 1), (5, 2), .................... (5, 6)} ∪ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}

(vii) B और C = {(1, 1), (1, 2), ..............., (1, 6), (3, 1), (3, 2), ............., (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), .............., (5, 6) ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3,2)}

(viii) A ∩ B' ∩ C' = {x : x पहले पासे पर सम संख्या होना} ∩ {पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
परन्तु B’ = A ∴ A ∩ B' = A ∩ A = A
∴ A ∩ B' ∩ C' = {(2, 1), (2, 2), ..................... (2, 6), (4, 1), (4, 2), .........................., (4, 6), (6, 1), (6, 2), ................ (6, 6)} ∩ {(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 2), (4, 3), ..................., (4, 6), (5, 1), (5, 2), ..................., (5, 6), (6, 1), (6, 2), ..................., (6, 6)} (5, 2),
= {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

प्रश्न 7.
उपर्युक्त प्रश्न 6 को देखिए और निम्नलिखित में सत्य या
असत्य बताइए (अपने उत्तर का कारण दीजिए ) -
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं।
(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं। = B'
(iii) A
(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं।
(v) A और B ' परस्पर अपवर्जी हैं।
(vi) A, B, C परस्पर अपवर्जी और निःशेष घटनाएँ हैं ।
हल:
(i) A और B परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन सत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या का होना
B = पहले पासे पर विषम संख्या का होना
A तथा B में कोई भी घटना समान नहीं है । अतः
A ∩ B = Φ ⇒ A और B परस्पर अपवर्जी हैं।

(ii) A और B परस्पर अपवर्जी और निःशेष हैं । यह कथन सत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या होना
B = पहले पासे पर विषम संख्या होना
A ∪ B = पहले पासे पर सम या विषम कोई भी संख्या हो सकती है तथा दूसरे पासे पर 1 से 6 तक कोई भी संख्या हो सकती है।
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
⇒ A, B परस्पर अपवर्जी तथा निःशेष घटनाएँ हैं ।

(iii) A = B' यह कथन सत्य है क्योंकि
B' = {पहले पासे पर विषम संख्या होना}'
= पहले पासे पर सम संख्या होना
= A.

(iv) A और C परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन असत्य है क्योंकि
A = पहले पासे पर सम संख्या होना
C = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A और C में (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) समान घटनाएँ हैं।
∴ A ∩ C ≠ 0
अर्थात् A और C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(v) A और B' परस्पर अपवर्जी हैं। यह कथन असत्य है क्योंकि B ́= A ∴ A ∩B ́ = A ∩ A = A ≠ Φ
अतः A और B ' परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(vi) A’, B ́ व C परस्पर अपवर्जी और नि:शेष घटनाएँ हैं । यह कथन असत्य है क्योंकि
Á = B, B' = A ∴ Á ∩ B́ = B ∩ A = Φ
परन्तु Á ∩ C = B ∩C
= {x : x पहले पासे पर विषम संख्या होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 2)}
≠ Φ
B́ ∩ C = A ∩C
[∵ B́ = A]
= {x : x पहले पासे पर सम संख्या का होना} ∩ {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
A तथा C दोनों में (2, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 1) समान घटनाएँ हैं।
∴ B' ∩ C ≠ Φ
⇒ A′, B ́ व C परस्पर अपवर्जी नहीं हैं और न ही निःशेष घटनाएँ हैं ।