RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 सांख्यिकी विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 15 सांख्यिकी विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 15 सांख्यिकी विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 9 और 9.25 है। यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12 और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माध्य = 9, प्रसरण = 9.25, n = 8
माना कि शेष दो प्रेक्षण x₁ व x₂ हैं

⇒ \(\frac{60+x_1+x_2}{8}=\frac{9}{1}\)
⇒ x₁ + x₂ = 72 - 60
⇒ x₁ + x₂ = 12
⇒ x₂ = 12 - x₁ ................ (1)

या x₁² + x₂² = 74 + 6
या x₁² + x₂² = 80 ............... (2)
या x₁² + (12 - x₁)² = 80 ∵x₂ = 12 - x₁
या x₁² + x₁² + 144 - 24x₁ = 80
या 2x₁² - 24x₁ + 64 = 0
या x₁² - 12x₁ + 32 = 0
या x₁² - 8x₁ - 4x₁ + 32 = 0
या x₁ (x₁ - 8) - 4 (x₁ - 8) = 0
या (x₁ - 8) (x₁ - 4) = 0
∴ x₁ = 8, 4
जब x₁ = 8 तो x₂ = 12 - 8 = 4
तथा जब x₁ = 4 तो x₂ = 12 - 4 = 8
अर्थात् शेष दो प्रेक्षण 4 व 8 हैं।

प्रश्न 2.
सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 तथा 16 है। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माध्य = 8, प्रसरण = 16, n = 7
माना कि शेष दो प्रेक्षण x₁ व x₂ हैं। अत:

या x₁² + x₂² + 460 - 448 = 112
या x₁² + x₂² + 12 = 112
या x₁² + x₂² = 100
या x₁² + (14 - x₁)² = 100 ∵ x₂ = 14 - x₁
या x₁² + 196 + x₁² - 28x₁ = 100
या 2x₁² - 28x₁ + 96 = 0
या x₁² - 14x₁ + 48 = 0
या x₁² - 8x₁ - 6x₁ + 48 = 0
या x₁ (x₁ - 8) - 6 (x₁ - 8) = 0
या (x₁ - 8) (x₁ - 6) = 0
या x₁ = 8, 6
यदि x₁ = 8 तो x₂ = 14 - 8 = 6
तथा यदि x₁ = 6 तो x₂ = 14 - 6 = 8
अर्थात् शेष दो प्रेक्षण 6 व 8 हैं।

प्रश्न 3.
छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 है। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार n = 6, माध्य (x̄ ) = 8 तथा S.D. = 4
माना कि छ: प्रेक्षण x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ तथा x₆ हैं।
∴ \(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}\) = 8
या x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 48
तीन का गुणा करने पर नए प्रेक्षण 3x₁, 3x₂, 3x₃, 3x₄, 3x₅ तथा 3x₆ होंगे। अतः नया माध्य

= 3 × √16 = 3 × 4 = 12
अतः नया माध्य = 24 तथा नया S.D. = 12

प्रश्न 4.
यदि n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..................., x_n का माध्य x̄ तथा प्रसरण σ² है तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax₁, ax₂, ax₃, ...................., ax_n का माध्य और प्रसरण क्रमशः ax̄ तथा a² σ² (a ≠ 0) हैं।
हल:

प्रश्न 5.
बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 है। जाँच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।
हल:
प्रश्नानुसार n = 20, माध्य = 10 तथा S.D. = 2

(i) यदि गलत प्रेक्षण 8 हटा दिया जाए तो
नए प्रेक्षणों का योग = 200 - 8 = 192
∴ नया माध्य = \(\frac{192}{10}\) = 10.11

(b) समीकरण (1) से

(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए तो

अतः सही माध्य 10.2 तथा सही मानक विचलन = 1.99

प्रश्न 6.
एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र में प्राप्तांकों का माध्य व मानक विचलन नीचे दिए गए हैं-

किस विषय में सबसे अधिक विचलन है तथा किसमें सबसे कम विचलन है?
हल:

रसायन शास्त्र विषय में विचरण गुणांक सब विषयों के विचरण गुणांकों से अधिक है। अतः रसायन शास्त्र विषय में सबसे अधिक तथा गणिल विषय में सबसे कम विचलन है।

प्रश्न 7.
100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 है। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेक्षण 21,21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: