RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 गणितीय विवेचन विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 गणितीय विवेचन विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 14 गणितीय विवेचन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए-
(i) प्रत्येक धन वास्तविक संख्या x के लिए, संख्या x - 1 भी धन संख्या है।
(ii) सभी बिल्लियाँ खरोंचती हैं।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए या तो x > 1 या x < 1
(iv) एक ऐसी संख्या x का अस्तित्व है कि 0 < x < 1
हल:
(i) निषेधन - एक ऐसी
धनात्मक वास्तविक संख्या x का
(ii) निषेधन - एक ऐसी बिल्ली का अस्तित्व है, जो खरोंचती नहीं है।
(iii) निषेधन - एक ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है कि न तो x x 1 और न x < 1
(iv) निषेधन - किसी ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व नहीं है कि 0 < x < 1.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित सप्रतिबंध कथनों (अन्तर्भाव ) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए-
(i) एक धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है केवल यदि 1 और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
(ii) मैं समुद्र-तट पर जाता हूँ जब कभी धूप वाला दिन होता है।
(iii) यदि बाहर गरम है, तो आपको प्यास लगती है।
हल:
(i) दिए गए कथन को निम्नानुसार भी लिखा जा सकता है- कथन - "यदि एक धन पूर्णांक अभाज्य है, तो 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त इसका कोई अन्य भाज्य नहीं है।" प्रतिधनात्मक कथन - यदि एक धन पूर्णांक के 1 तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी हैं, तो वह पूर्णांक अभाज्य संख्या नहीं है । विलोम कथन - यदि एक धन पूर्णांक का 1 या स्वयं के अतिरिक्त उनका कोई अन्य भाजक नहीं है तो वह धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है।

(ii) दिए गए कथन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है- कथन - "यदि दिन में धूप है तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।" प्रतिधनात्मक कथन - यदि मैं समुद्र तट पर नहीं जाता हूँ, तो दिन में धूप नहीं है । विलोम कथन - यदि मैं समुद्र तट पर जाता हूँ, तो दिन में धूप है

(iii) प्रतिधनात्मक कथन - यदि आपको प्यास नहीं लगती है, तो बाहर गरमी नहीं है। विलोम कथन - यदि आपको प्यास लगी है तो बाहर गरमी है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को "यदि P, तो q में लिखिए-
(i) सर्वर पर लाग आन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
(ii) जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं केवल यदि आपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो ।
हल:
(i) यदि सर्वर पर लाग आन है, तो पासवर्ड ज्ञात है।
(ii) यदि वर्षा होती है, तो यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) यदि आप निर्धारित शुल्क का भुगतान करते हैं, तो आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को "p यदि और केवल यदि q" के रूप में पुनः लिखिए-
(i) यदि आप दूरदर्शन (टेलीविजन) देखते हैं, तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है, तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
(ii) आपके द्वारा A ग्रेड प्राप्त करने के लिए यह अनिवार्य और पर्याप्त है कि आप गृहकार्य नियमित रूप से करते हैं।
(iii) यदि एक चतुर्भुज समान कोणिक है, तो वह एक आयत होता है तथा यदि एक चतुर्भुज आयत है, तो वह समान कोणिक होता है ।
हल:
(i) आप दूरदर्शन (टेलीविजन) देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त है|
(ii) आप A ग्रेड पाते हैं यदि और केवल यदि आप समस्त गृहकार्य नियमित रूप से करते हैं।
(iii) एक चतुर्भुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि वह एक आयत है।

प्रश्न 5.
नीचे दो कथन दिए हैं- p : 25 संख्या 5 का एक गुणज है। q : 25 संख्या 8 का एक गुणज है। उपर्युक्त कथनों का संयोजक 'और' तथा 'या' द्वारा संयोजक करके मिश्र कथन लिखिए। दोनों दशाओं में प्राप्त मिश्र कथनों की वैधता जाँचिए ।
हल:
"और" से प्रयुक्त मिश्र कथन - 25 संख्या 5 और 8 का गुणज है। यह कथन असत्य है क्योंकि p और 9 दोनों सत्य नहीं हैं। "या" से प्रयुक्त मिश्र कथन- 25 संख्या 5 या 8 का गुणज है । यह कथन सत्य है ।

प्रश्न 6.
नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए-
(i) P : एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है (विरोधोक्ति विधि)
(ii) q : यदि एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि n > 3, तो n² > 9 (विरोधोक्ति विधि)।
हल:
(i) माना कि √a अपरिमेय और b परिमेय संख्याएँ हैं।
दोनों का योगफल = b + √a = x
माना कि यह योगफल अपरिमेय नहीं है
यदि x अपरिमेय नहीं है तो यह परिमेय संख्या है।
∴ b + √a = \(\frac{p}{q}\) ......... (1)
जबकि p और 9 पूर्णांक हैं, 9 ≠ 0 तथा उनमें कोई समान गुणनखण्ड नहीं है ।
(1) से √a = \(\frac{p}{q}\) - b
∴ L.H.S. = √a = एक अपरिमेय संख्या
तथा R.H.S. = \(\frac{p}{q}\) - b = एक परिमेय संख्या
यह दोनों विरोधात्मक हैं। अतः
⇒ योगफल x परिमेय संख्या नहीं हो सकती।
अतः स्पष्ट है कि एक परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है।

(ii) माना कि > 3 परन्तु n² ≯ 9
या n² ≤ 9
या n² - 9 ≤ 0
या (n + 3) (n 3) ≤ 0
⇒ n + 3 ≠ 0
या n ≤ - 3
पुनः n - 3 > 0
या n > 3
यह विरोधाभास की स्थिति है । अतः स्पष्ट है कि यदि n एक वास्तविक संख्या है n > 3 तब n² > 9 यह कथन सत्य है।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथन को पाँच भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों-
q : 'यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है, तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।'
हल:
दिए गए कथन के अर्थ की समानता रखने वाले पाँच कथन निम्नलिखित हैं-

• कथन 'एक त्रिभुज समान कोणिक है' का अन्तर्भाव यह है कि यह अधिक कोण त्रिभुज है।
• एक त्रिभुज के अधिक कोण त्रिभुज होने के लिए यह पर्याप्त है कि यह समान कोणिक है।
• एक त्रिभुज समान कोणिक है केवल यदि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है ।
• एक त्रिभुज समान कोणिक होने के लिए यह अनिवार्य है कि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज हो।
• यदि एक त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं है तो वह समान कोणिक त्रिभुज नहीं है।