RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 14 गणितीय विवेचन Ex 14.5

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि कथन यदि x एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि x³ + 4x = 0, तो x = 0
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा । प्रत्यक्ष विधि द्वारा-
हल:
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा - x³ + 4x = 0
या x (x² + 4 ) = 0
∴ या तो x = 0 या x² + 4 = 0
परन्तु x² + 4 ≠ 0, x ∈R ∴ x = 0

(ii) विरोधोक्ति द्वारा - माना कि x ≠ 0 ∴ x = p ≠ 0
∴ P समीकरण x³ + 4x = 0 का मूल है|
⇒ p³ + 4p = 0 या p (p² + 4) = 0
∴ p = 0 या p² + 4 = 0
∵ p² + 4 ≠ 0
P = 0 विरोधात्मक है x ≠ P के जो पूर्व निर्धारित है।
⇒ p = 0 या x = 0

(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा - p सत्य नहीं है ।
⇒ माना कि x = 0 सत्य नहीं है ।
⇒ माना कि x ≠ 0
∴ p³ + 4p = 0
p इसका अर्थात् p² + 4 = 0 का मूल होना चाहिए ।
या p (p² + 4) ≠ 0
अब P (0) तथा p² + 4 = 0
⇒ P (p² + 4) ≠ 0
यदि P सत्य नहीं है ।
अत: यह सिद्ध करता है कि x = 0, x³ + 4x = 0 का मूल है।

प्रश्न 2.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन "किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, जहाँ a² = b² क तात्पर्य है कि a = b सत्य नहीं है।"
हल:
यदि a = 1 तथा b = - 1
तथा a² = b² जबकि a ≠ b
अतः दिया हुआ कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न 3.
प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है-
'p : यदि x एक पूर्णांक है और x 2 सम है, तो x भी सम है ।'
हल:
माना कि एक सम संख्या नहीं है ।
∴ x = 2n + 1
x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1
= 2 (2n² + 2n) + 1
जो कि एक विषम संख्या है।
अतः यदि q सत्य नहीं है तो p भी सत्य नहीं है अर्थात् दिया हुआ कथन सत्य है।

प्रश्न 4.
प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं है-
(i) p : यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं, तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है ।
(ii) q : समीकरण x² - 1 = 0 का मूल 0 और 2 के बीच स्थित नहीं है ।
हल:
(i) माना कि एक कोण = 90 + θ
∵ तीनों कोण समान हैं ∴ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग
= 3 (90 + θ) = 270 + 3θ
यह मान 18()" के बराबर नहीं है। ∴ त्रिभुज का कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता अर्थात् वह त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं हो सकता।

(ii) 0 और 2 के बीच की संख्या 1 मान ली।
x² - 1 = 0 में x = 1 रखने पर
1 - 1 = 0
अत: x = 1 दिए हुए समीकरण को सन्तुष्ट करता है अर्थात् x = 1, समीकरण x² - 1 = 0 का मूल है और 0 तथा 2 के बीच स्थित है ।
∴ दिया गया कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित कथनों में से कौनसे सत्य हैं और कौनसे असत्य हैं? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइए-
(i) p : किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
(ii) q: किसी वृत्त का केन्द्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है ।
(iii) : एक वृत्त, किसी दीर्घवृत्त की एक विशेष स्थिति है।
(iv) s : यदि x और y ऐसे पूर्णांक हैं कि x > y, तो - x < - y है ।
(v) t : √11 एक परिमेय संख्या है।
हल:
(i) दिया गया कथन असत्य है; क्योंकि प्रश्नानुसार "p : किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है|" जबकि जीवा की परिभाषा के अनुसार जीवा वह होती है, जो वृत्त को दो भिन्न-भिन्न बिन्दुओं पर काटती है।

(ii) दिया गया कथन असत्य है क्योंकि इसे इस प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, "एक ऐसी जीवा जो व्यास नहीं है ' एक प्रत्युदाहरण है।

(iii) दिया गया कथन सत्य है। दीर्शवृत्त का समीकरण \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 होता है। इनमें जब a = b तब \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 जो कि एक वृत्त का समीकरण है। अतः यदि दीर्घवृत्त के समीकरण में a = b रखा जाए तो वह वृत्त का समीकरण बन जाता है।

(iv) दिया गया कथन सत्य है; क्योंकि असमिका के नियम से य यदि x और y पूर्णांक हैं और x > y तो - x < - y.

(v) दिया गया कथन असत्य है; इसे इस प्रकार से समझ सकते हैं- माना √11 एक परिमेय संख्या है। ∴ √11 = \(\frac{p}{q}\) जहाँ p, q पूर्णांक है और q > 0, (p, q) = 1
⇒ 11 q² = p²
⇒ संख्या 11 , संख्या p को विभाजित करती है।
इसलिए एक ऐसे पूर्णांक r का अस्तित्व है कि p = 11r
इस प्रकार p² = 121 r² और p² = 11q²
∴ 11q² = 121r² ⇒ q² = 11r²
⇒ संख्या 11 , संख्या q को विभाजित करती है।
अत: संख्या 11, p एवं q को विभाजित करती है, जो कि सम्भव नहीं है।
अत: जो कथन हमने पहले माना था वह गलत है
अतः √11 परिमेय संख्या नहीं है।