RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.2

प्रश्न 1.
x = 10 पर x² - 2 का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ पर f(x) = x² - 2

प्रश्न 2.
x = 100 पर 99x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
x = 1 पर x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ पर f(x) = x

प्रश्न 4.
प्रथम सिद्धान्त से निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए-
(i) x³ - 27
हल:

(ii) (x - 1) (x - 2)
हल:
माना f(x) = (x - 1) (x - 2)
= x² - 2x - x + 2 = x² - 3x + 2

(iii) \(\frac{1}{x^2}\)
हल:

(iv) \(\frac{x+1}{x-1}\)
हल:

प्रश्न 5.
फलन f(x) = \(\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots \ldots+\frac{x^2}{2}\) + x + 1 के लिए सिद्ध कीजिए कि
f'(1) = 100 f'(0).
हल:
दिया गया है -

f'(x) = x⁹⁹ + x⁹⁸ + .............. + x + 1
∴ f'(1) = 1 + 1 + .................... + 1 + 1 = 100
∵ 100 पद है।
या f'(1) = 100 × 1 = 100 f'(0) ∵ f'(0) = 1
अतः f'(1) = 100 f'(0)

प्रश्न 6.
किसी अचर वास्तविक संख्या a के लिए xⁿ + ax^{n - 1} + a²x^{n - 2} + .................. + a^{n - 1} x + aⁿ का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि f(x) = xⁿ + ax^{n - 1} + a²x^{n - 2} + .................. + a^{n - 1} x + aⁿ
∴ f'(x) = nx^{n - 1} + a (n - 1) x^{n - 2} + a² (n - 2) x^{n - 3} + .................. + a^{n - 1} + 0 [∵ \(\frac{d}{d x}\) xⁿ = nx^{n - 1}]
= nx^{n - 1} + a (n - 1) x^{n - 2} + a² (n - 2) x^{n - 3} + .............. + a^{n - 1}

प्रश्न 7.
किन्हीं अचरों a और b के लिए,
(i) (x - a) (x - b)
(ii) (ax² + b)²
(iii) \(\frac{x-a}{x-b}\) के अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि f(x) = (x - a) (x - b)
गुणन नियम का प्रयोग करने पर

= (x - a) [1 - 0] + (x - b) [1 - 0]
= (x - a) + (x - b)
= 2x - a - b
= 2x - (a + b)

(ii) माना कि f(x) = (ax² + b)²

= (ax² + b) [a (2x^{2 - 1})] + (ax² + b) [a (2x^{2 - 1})]
= (ax² + b) (2ax) + (ax² + b) (2ax)
= 4ax (ax² + b)

(iii) माना कि f(x) = \(\frac{x-a}{x-b}\)
भागफल नियम का प्रयोग करने पर

प्रश्न 8.
किसी अचर a के लिए \(\frac{x^n-a^n}{x-a}\) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि f(x) = \(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)
भागफल नियम का प्रयोग करने पर

प्रश्न 9.
निम्नलिखित के अवकलज ज्ञात कीजिए-
(i) 2x - \(\frac{3}{4}\)
हल:

(ii) (5x³ + 3x - 1) (x - 1)
हल:
माना कि f(x) = (5x³ + 3x - 1) (x - 1)

= (x - 1) [5 (3x^{3 - 1}) + 3] + (5x³ + 3x - 1)
= (x - 1) [15x² + 3] + (5x³ + 3x - 1)
= 15x³ + 3x - 15x² - 3 + 5x³ + 3x - 1
= 20x³ - 15x² + 6x - 4

(iii) x^-3 (5 + 3x)
हल:
माना कि f(x) = x^-3 (5 + 3x)

(iv) x⁵ (3 - 6x^-9)
हल:

(v) x^-4 (3 - 4x^-5)
हल:
माना कि f(x) = x^-4 (3 - 4x^-5)
∴ f’(x) = x^-4 \(\frac{d}{d x}\) (3 - 4x⁵) + (3 - 4x⁵) \(\frac{d}{d x}\) (x^-4)
= x^-4 [\(\frac{d}{d x}\) (3) - \(\frac{d}{d x}\) (4x^-5)] + (3 - 4x^-5) (- 4) (x^-5)
= x^-4 [0 - (4) (- 5) x^-6] + (3 - 4x^-5) (- 4) x^-5
= x^-4 [20x^-6] - x^-5 (12 - 16x^-5)
= 20x^-10 - 12x^-5 + 16x^-10
= 36x^-10 - 12x^-5
= -\(\frac{12}{x^5}+\frac{36}{x^{10}}\)

(vi) \(\frac{2}{x+1}-\frac{x^2}{3 x-1}\)
हल:

प्रश्न 10.
प्रथम सिद्धान्त से cos x का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि f(x) = cos x

प्रश्न 11.
निम्नलिखित फलनों के अवकलज ज्ञात कीजिए-
(i) sin x cos x
हल:
माना कि f(x) = sin x cos x
गुणन नियम का प्रयोग करने पर
∴ f'(x) = sin x \(\frac{d}{d x}\) (cos x) + cos x \(\frac{d}{d x}\) (sin x)
= sin x (- sin x) + cos x (cos x)
= - sin²x + cos² x
= cos²x - sin² = cos 2x

(ii) sec x
हल:
माना कि f(x) = sec x

(iii) 5 sec x P+ 4 cos x
हल:
माना कि f(x) = 5 sec x + 4 cos x

(iv) cosec x
हल:
माना कि f(x) = cosec x

(v) 3 cot x + 5 cosec x
हल:
माना कि f(x) = 3 cot x + 5 cosec x
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (3 cot x + 5 cosec x)
= \(\frac{d}{d x}\) (3 cot x) + \(\frac{d}{d x}\) (5 cosec x)
= 3 . \(\frac{d}{d x}\) (cot x) + 5 \(\frac{d}{d x}\) (cosec x)
= - 3 cosec²x - 5 cosec x cot x
= - cosec x (3 cosec x + 5 cot x)

(vi) 5 sin x - 6 cos x + 7
हल:
माना कि f(x) = 5 sin x - 6 cos x + 7
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (5 sin x - 6 cos x + 7)
= \(\frac{d}{d x}\) (5 sin x) - \(\frac{d}{d x}\) (6 cos x) + \(\frac{d}{d x}\) (7)
= 5 cos x - 6 (- sin x) + 0
= 5 cos x + 6 sin x

(vii) 2 tan x - 7 sec x
हल:
माना कि f(x) = 2 tan x - 7 sec x
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (2 tan x - 7 sec x)
= \(\frac{d}{d x}\) (2 tan x) -\( \frac{d}{d x}\) (7 sec x)
= 2 sec²x - 7 sec x tan x
= sec x (2 sec x - 7 tan x)