RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए-

प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) (x + 3)
हल:

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow \pi}\left(x-\frac{22}{7}\right)\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\lim _{r \rightarrow 1}\) πr²
हल:

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4 x+3}{x-2}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}\)
हल:

अथवा

प्रश्न 7.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+b}{c x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}\), a + b + c ≠ 0
हल:

प्रश्न 12.
\(\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2} \)
हल:

प्रश्न 13.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{b x}\), b ≠ 0
हल:

प्रश्न 14.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}\), a, b ≠ 0
हल:

प्रश्न 15.
\(\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}\)
हल:

प्रश्न 16.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\pi-x}\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\pi-x}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x}\), b ≠ 0
हल:

प्रश्न 19.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x sec x
हल:

प्रश्न 20.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}\) a, b, a + b ≠ 0
हल:

प्रश्न 21.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (cosec x - cot x)
हल:

प्रश्न 22.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\)
हल:

प्रश्न 23.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) और \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x), ज्ञात कीजिए, जहाँ

हल:

प्रश्न 24.

हल:

प्रश्न 25.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x), का मान प्राप्त कीजिए, जहाँ

हल:

प्रश्न 26.

हल:

प्रश्न 27.
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x), ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x| - 5
हल:

प्रश्न 28.

और यदि \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = f(1) तो a और b के सम्भव मान क्या हैं?
हल:

⇒ a + b = b - a = 4
इस प्रकार दो समीकरण प्राप्त होते हैं -
a + b = 4 ............ (1)
b - a = 4 ............ (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
2b = 8
∴ b = 4
b का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 4 = 4 ⇒ a = 0
∴ a = 0 तथा b = 4

प्रश्न 29.
मान लीजिए a₁, a₂, ................., a_n अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x - a₁) (x - a₂) से परिभाषित है। \(\lim _{x \rightarrow a_1}\) f(x) क्या है?
किसी a ≠ a₁, a₂, .........................., a_n के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का परिकलन कीजिए।
हल:
गुणनखण्ड (x - a₁) के आधार पर
यदि x → a₁ x - a₁ → 0

= 0 × (a₁ - a₂) (a₁ - a₃) ......................... (a₁ - a_n)
= 0
जबं a ≠ a₁, a₂ ................, a_n
जैसे ही x → a, x - a₁ → a - a₁
a - a₁ न तो शून्य है और न ही अपरिभाषित। अतः दूसरे गुणनखण्ड के मान
a - a₂, a - a₃, ............... a - a_n होंगे।
अतः \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) = \(\lim _{x \rightarrow a}\) (x - a₁) (x - a₂) ................. (x - a_n)
= (a - a₁) (a - a₂) ...................... (a - a_n)

प्रश्न 30.

हल:

प्रश्न 31.
यदि फलन f(x), \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{f(x)-2}{x^2-1}\) = π, को सन्तुष्ट करता है, तो \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का मान प्राप्त कीजिए।
हल:

प्रश्न 32.
किन पूर्णांकों m और n के लिए \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) और \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि

हल:
हम जानते हैं कि किसी भी बिन्दु पर एक सीमा के अस्तित्व को जाँचने के लिए बायीं सीमा (L.H.L.) तथा दायीं सीमा (R.H.L.) उस बिन्दु पर बराबर या समान होती है।