RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A (3, - 1, 2), B (1, 2, - 4) व C (- 1, 1, 2) हैं। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार समान्तर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A (3, 1, 2), 4) तथा C (- 1, 1, 2) हैं। माना कि चौथा शीर्ष D (x, y, z) है।

∵ बिन्दु A तथा C के निर्देशांक (3, 1, 2) तथा (- 1, 1, 2) हैं अतः इनका मध्य बिन्दु
M = \(\left(\frac{3-1}{2}, \frac{-1+1}{2}, \frac{2+2}{2}\right)\) = (1, 0, 2)
तथा बिन्दु B व D के निर्देशांक ( 1, 2, 4) व (x, y, z) हैं अत: BD का मध्यबिन्दु
= \(\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2}, \frac{z-4}{2}\right)\)
समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए AC का मध्य बिन्दु ही BD का मध्य बिन्दु होगा।
∴ \(\frac{x+1}{2}\) = 1, \(\frac{y+2}{2}\) = 0 तथा \(\frac{z-4}{2}\) = 2
या x + 1 = 2, y + 2 = 0 तथा z - 4 = 4
या x = 1, y = - 2 तथा z = 8
अर्थात् बिन्दु D के निर्देशांक = (1, - 2, 8)

प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) तथा C (6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्नानुसार एक त्रिभुज ABC के तीन शीर्षों के निर्देशांक क्रमश: A (0, 0, 6), B (0, 4, 0) तथा C (6, 0, 0) दिए गए हैं। । अत: BC का मध्य बिन्दु (D) = \(\left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\) = (3, 2, 0)

अतः माध्यिकाओं की लम्बाइयाँ क्रमशः 7, √34 व 7 हैं।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूल बिन्दु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(-4, 3b - 10) और R (8, 14, 2c) हैं तो a, b और c का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार ∆ PQR के शीर्ष P (2a, 2, 6), Q (- 4, 3b, - 10) तथा R (8, 14, 2c) हैं तथा इस त्रिभुज का केन्द्रक मूल बिन्दु (0, 0, 0) है।

प्रश्न 4.
y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P(3, -2, 5) से दूरी 5√2 है।
हल:
माना कि y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक X(0, y, 0) हैं।
प्रश्नानुसार इस बिन्दु X से बिन्दु P(3, -2, 5) की दूरी = 5√2
अर्थात् XP = 5√2
या (XP)² = 25 × 2 = 50
या \(\left(\sqrt{(0-3)^2+(y+2)^2+(0-5)^2}\right)\) = 5√2
दोनों तरफ वर्ग करने पर
या 9 + y² + 4y + 4 + 25 = 50
या y² + 4y - 12 = 0
या y² + 6y - 2y - 12 = 0
या y(y + 6) - 2 (y + 6) = 0
∴ (y + 6) (y - 2) = 0
∴ y = - 6, 2
अत: y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक (0, 2, 0) और (0,-6,0) हैं।

प्रश्न 5.
P(2, -3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x-निर्देशांक 4 है। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(संकेत : मान लीजिए R, PQ को k : 1 में विभाजित करता है।
बिन्दु R के निर्देशांक \(\left(\frac{8 k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10 k+4}{k+1}\right)\) हैं।)
हल:
प्रश्नानुसार बिन्दु P तथा Q के निर्देशांक (2,- 3, 4) तथा (8, 0, 10) हैं। अब माना कि बिन्दु R, PQ रेखाखण्ड को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तथा इस R बिन्दु के निर्देशांक $=$

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (-1, 3, -7) हैं। चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से सम्बन्धित समीकरण ज्ञात कीजिए, जहाँ PA² + PB² = k² जहाँ k अचर है।
हल:
माना कि चर बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं। प्रश्नानुसार बिन्दु
A तथा B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (-1, 3, -7) दिए गए हैं।
∴ PA² = (x - 3)² + (y - 4)² + (z - 5)²
तथा PB² = (x + 1)² + (y - 3)² + (z + 7)²
∵ प्रश्नानुसार PA² + PB² = k²
⇒ [(x - 3)² + (y - 4)² + (z - 5)²] + [(x + 1)² + (y - 3)² + (z + 7)²] = k²
या (x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 + z² - 10z + 25) + (x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 + z² + 14z + 49) = k²
⇒ (x² + y² + z² - 6x - 8y - 10z + 9 + 16 + 25) + (x² + y² + z² + 2x - 6y + 14z + 1 + 9 + 49) = k²
या 2(x² + y² + z²) - 4x - 14y + 4z + 50 + 59 - k² = 0
या 2(x² + y² + z²) - 4x - 14y + 4z + 109 - k² = 0
या x² + y² + z² - 2x - 7y + 2z + \(\frac{109-k^2}{2}\) = 0
∴ x² + y² + z² - 2x - 7y + 2z = \(\frac{k^2-109}{2}\)
जो कि P द्वारा निर्मित समुच्चयों का समीकरण है।