RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.3

प्रश्न 1.
बिन्दुओं ( 2, 3, 5) और (1, - 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड को अनुपात (i) 2 : 3 में अंतः (ii) 2 : 3 में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल:
(i) माना कि बिन्दु A (- 2, 3, 5) और B (1, - 4, 6) को मिलाने से बने रेखाखण्ड AB को बिन्दु P (x, y, z) 2 : 3 के अनुपात में अंत: विभाजित करता है।

∴ बिन्दु P के निर्देशांक निम्नानुसार होंगे-

(ii) यदि बिन्दु P रेखा AB को बाह्यत: 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करेगा तो P बिन्दु के निर्देशांक निम्नानुसार होंगे -

प्रश्न 2.
दिया गया है कि बिन्दु P (3, 2, 4), Q (5, 4, - 6) और R (9, 8, - 10) सरेख हैं। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें Q, PR को विभाजित करता है।
हल:
माना कि बिन्दु Q, रेखाखण्ड PR को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

या 5(k + 1) = 9K + 3
या 5k + 5 = 9k + 3
या 4k = 5 - 3 = 2
∴ k = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
इसी प्रकार 4 = \(\frac{8 \mathrm{~K}+2}{\mathrm{~K}+1}\)
या 4(k + 1) = 8k + 2
या 4k + 4 = 8k + 2
या 4k = 2
∴ k = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
तथा - 6 = \(\frac{-10 K-4}{K+1}\)
या - 6 (k + 1) = - 10k - 4
या - 6k - 6 = - 10 - 4
या 4k = 2
∴ k = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
अर्थात् P, Q व R सरेख हैं तथा बिन्दु Q, रेखाखण्ड PR को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 3.
बिन्दुओं (- 2, 4, 7) और (3, - 5, 8) को मिलाने वाला रेखाखण्ड, YZ-तल द्वारा जिस अनुपात में विभक्त होता है, उसे ज्ञात कीजिए |
हल:
माना कि YZ - समतल पर दो बिन्दु A ( - 2, 4, 7) तथा B (3, - 5, 8) हैं। YZ-तल पर प्रत्येक बिन्दु (0, Y, Z) के रूप में होगा।

यह भी माना कि बिन्दु P पर YZ - तल, रेखाखण्ड AB को K :
1 के अनुपात में काटता है
∴ बिन्दु K के निर्देशांक
\(\left(\frac{3 K-2}{K+1}, \frac{-5 K+4}{K+1}, \frac{8 K+7}{K+1}\right)\)
∵ yz समतल में x निर्देशांक शून्य होता है,
∴ \(\frac{3 \mathrm{~K}-2}{\mathrm{~K}+1}\) = 0 ⇒ 3K – 2 = 0
या 3K = 2
∴ K = \(\frac{2}{3}\)
अतः अभीष्ट अनुपात K : 1 = \(\frac{2}{3}\) : 1 या 2 : 3

प्रश्न 4.
विभाजन सूत्र का प्रयोग करके दिखाइए कि बिन्दु A (2, - 3, 4), B (- 1, 2, 1 ) तथा C (0, \(\frac{1}{3}\), 2) सरेख हैं।
हल:
माना कि दिए गए बिन्दु A (2, 3, 4), B (- 1, 2, 1 ) तथा C(0, \(\frac{1}{3}\), 2) सरेख हैं तथा बिन्दु B, रेखाखण्ड AC को K : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं तथा बिन्दु B, AC को बाह्यत: 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 5.
P (4, 2, - 6) और Q (10, 16, 6) को मिलाने वाला रेखाखण्ड PQ को सम त्रि-भाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि बिन्दुओं P ( 4, 2, - 6 ) तथा Q (10, - 16, 6) से बनने वाली रेखा PQ को बिन्दु A व B तीन समान भागों में विभाजित करते हैं। बिन्दु A, रेखाखण्ड PQ को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है अत: A बिन्दु के निर्देशांक =

इस प्रकार बिन्दु A के निर्देशांक (6, - 4 - 2) तथा बिन्दु B के निर्देशांक (8, 10, 2) हैं।