RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय Ex 12.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बिन्दु-युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए-
(i) (2, 3, 5) और ( 4, 3, 1)
(ii) (- 3, 7, 2) और (2, 4, - 1)
(iii) (- 1, 3, 4) और (1, – 3, 4)
(iv) (2, 1, 3) और ( - 2, 1, 3)
हल:
(i) प्रश्नानुसार दिए गए बिन्दु (2, 3, 5) और (4, 3, 1)
दो बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) तथा (x₂, y₂, z₂ ) के बीच की दूरी

(ii) प्रश्नानुसार दिए गए बिन्दु (- 3, 7, 2) और (2, 4, - 1) दो बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁ ) तथा (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी

(iii) प्रश्नानुसार दिए गए बिन्दु (- 1, 3, 4) और (1, - 3, 4 ) दो बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) तथा (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी

(iv) प्रश्नानुसार दिए गए बिन्दु (2, - 1, 3) और (- 2, 1, 3) दो बिन्दुओं (x₁, y₁, z₁) तथा (x₂, y₂, z₂) के बीच की दूरी

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु (- 2, 3, 5), (1, 2, 3) और (7, 0, - 1) सरेख हैं।
हल:
माना कि दिए गए बिन्दु क्रमश: A (- 2, 3, 5), B (1, 2, 3) तथा C (7, 0, 1) हैं। अत:
बिन्दु A (-2, 3, 5) तथा B ( 1, 2, 3) के बीच की दूरी

यहाँ AB + BC = √14 + 2√14 = 3√14
तथा AC = 3√14
⇒ अर्थात् AB + BC = AC
⇒ A, B तथा संरेख हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को सत्यापित कीजिए-
(i) (0, 7, - 10), (1, 6, - 6) और (4, 9, - 6) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं ।
(ii) (0, 7, 10), (- 1, 6, 6) और (- 4, 9, 6) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।
(iii) (- 1, 2, 1), (1, - 2, 5), (4, - 7, 8) और (2, - 3, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
(i) माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A (0, 7, - 10), B (1, 6, - 6) तथा C (4, 9, - 6) हैं।

अर्थात् दिया गया त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

(ii) माना कि त्रिभुज ABC के शीर्ष A (0, 7, 10), B (- 1, 6, 6) तथा C (- 4, 9, 6) हैं।
∴ AB² = (- 1 - 0)² + (6 - 7)² + (6 - 10)²
= 1 + 1 + 16 = 18
BC² = (- 4 + 1)² + (9 - 6)² + (6 - 6)² = 9 + 9 = 18
तथा AC² = (- 4 - 0)² + (9 - 7)² + (6 - 10)²
= 16 + 4 + 16
= 36
⇒ AB² + BC² = 18 + 18 = 36
तथा AC² = 36
⇒ AB² + BC² = AC²
∴ दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। जहाँ ∠B = 90°

(iii) माना कि दिए गए बिन्दु A (- 1, 2, 1), B (1, - 2, 5), C (4, - 7, 8) तथा D (2, - 3, 4 ) चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं।
∴ AB² = (1 + 1)² + (- 2 - 2)² + (5 - 1)²
= 4 + 16 + 16 = 36
∴ AB = √36 = 6
BC² = (4 - 1)² + (- 7 + 2)² + (8 - 5)²
= 9 + 25 + 9 = 43
∴ BC = √43
CD² = (2 - 4)² + (- 3 + 7)² + (4 - 8)²
= 4+ 16 + 16 = 36
∴ CD = √36 = 6
AD² = (2 + 1)² + (- 3 - 2)² + (4 - 1)²
= 9 + 25 + 9 = 43
∴ AD = √43
यहाँ पर AB = CD = 6 एवं AD = BC = √43 हैं।
चूँकि चतुर्भुज के आमने-सामने की भुजायें बराबर हैं, अतः
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 4.
ऐसे बिन्दुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) और (3, 2, - 1) से समदूरस्थ हैं।
हल:
माना कि बिन्दु P (x, y, z) दिए गए बिन्दुओं A (1, 2, 3 ) तथा B (3, 2, - 1) से समान दूरी पर स्थित हैं।
∴ PA = PB
⇒ PA² = PB²
⇒ (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = (x - 3)² + (y - 2)² + (z + 1)²
⇒ x² - 2x + 1 + z² - 6z + 9 = x² - 6x + 9 + z² + 2z + 1
⇒ - 2x + 6x - 6z - 2z + 10 - 10 = 0
या 4x - 8z = 0
या x - 2z = 0
अतः बिन्दुओं P के समुच्चयों का समीकरण है, x - 2z = 0

प्रश्न 5.
बिन्दुओं P से बने समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी बिन्दुओं A ( 4, 0, 0) और B ( - 4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
हल:
माना कि वह बिन्दु P (x, y, z ) है । प्रश्नानुसार यह दिया गया है कि बिन्दु P की बिन्दु A (4,0, 0) एवं बिन्दु B ( - 4, 0, 0) से दूरियों का योगफल 10 है।
⇒ PA + PB = 10

पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
16x² + 625 + 200x = 25 (x² + 16 + 8x + y² + z²)
या 16x² + 200x + 625 = 25x² + 400 + 200x + 25y² + 25z²
या 25x² + 25y² + 25z² + 400 - 16x² - 625 + 200x - 200x = 0
या 25x² + 25y² + 25z² - 225 - 16x² = 0
या 9x² + 25y² + 25z² - 225 = 0
या 9x² + 25y² + 25z² = 225
अतः बिन्दुओं P के समुच्चय का समीकरण 9x² + 25y² + 25z² = 225 होगा।