RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 11 शंकु परिच्छेद Ex 11.1

निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 तक प्रत्येक में वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 1.
केन्द्र (0, 2) और त्रिज्या 2 इकाई
हल:
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k) तथा त्रिज्या हो तो उस वृत्त का समीकरण होगा-
(x - h)² + (y - k)² = r²
अब यहाँ h = 0, k = 2 तथा r = 2 रखने पर अभीष्ट समीकरण होगा-
(x - 0)² + (y - 2)² = (2)²
या x² + y² - 4y + 4 = 4
या x² + y² - 4y = 0
यही अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 2.
केन्द्र (- 2, 3) और त्रिज्या 4 इकाई
हल:
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k) तथा त्रिज्या हो तो उस वृत्त का समीकरण होगा-
(x - h)² + (y - k)² = r²
यहाँ h = - 2, k = 3 तथा r = 4 रखने पर अभीष्ट समीकरण
(x + 2)² + (y - 3)² = (4)²
या x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 16
या x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

प्रश्न 3.
केन्द्र \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\) और त्रिज्या \(\frac{1}{12}\) इकाई
हल:
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k ) तथा त्रिज्या हो तो उस वृत्त का समीकरण होगा-
(x - h)² + (y - k)² = r²
यहाँ h = \(\frac{1}{12}\), k = \(\frac{1}{4}\) तथा r = \(\frac{1}{12}\) रखने पर अभीष्ट
समीकरण होगा-

या 144x² + 144y² - 144x - 72y + 44 = 0
या 36x² + 36y² - 36x - 18y + 11 = 0

प्रश्न 4.
केन्द्र (1, 1) और त्रिज्या √2 इकाई
हल:
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k) हो तथा त्रिज्या हो, तो उस वृत्त का समीकरण होगा-
(x - h)² + (y - k)² = r²
यहाँ h = 1, k = 1 तथा r = √2 रखने पर अभीष्ट समीकरण होगा-
(x - 1)² + (y - 1)² = (√2)²
या x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 = 2
या x² + y² - 2x - 2y = 0

प्रश्न 5.
केन्द्र (- a, b) और त्रिज्या \(\sqrt{a^2-b^2}\) है ।
हल:
यदि किसी वृत्त का केन्द्र (h, k ) हो तथा त्रिज्या हो, तो उस वृत्त का समीकरण होगा-
(x - h)² + (y - k)² = r²
यहाँ h = - a, k = - b तथा r = \(\sqrt{a^2-b^2}\) रखने पर अभीष्ट समीकरण होगा-
(x + a)² + (y + b)² = (\(\sqrt{a^2-b^2}\))²
या x² + 2ax + a² + y² + 2yb + b² = a² - b²
या x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक में प्रत्येक वृत्त का केन्द्र और त्रिज्या ज्ञात कीजिए-

प्रश्न 6.
(x + 5)² + (y - 3)² = 36
हल:
दिए गए समीकरण (x + 5)² + (y - 3)² = 36 की तुलना वृत्त के समीकरण (x - h)² + (y - k)² = P से करने पर
- h = 5, - k = 3, r² = 36
या h = - 5, k = 3 तथा r = 6
∴ वृत्त का केन्द्र ( - 5, 3) तथा त्रिज्या 6 होगी।

प्रश्न 7.
x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0
हल:
दिए गए समीकरण के अनुसार
x² + y² - 4x - 8y - 45 = 0
या (x² - 4x) + (y² - 8y) = 45
या (x² - 4x + 4) + (y² - 8y + 16) = 45 + 4 + 16
या (x - 2)² + (y - 4)² = 65
इसकी तुलना (x - h)² + (y - k)² = P से करने पर
h = 2, k = 4 तथा r = √65
∴ वृत्त का केन्द्र (2, 4) तथा त्रिज्या r = √65

प्रश्न 8.
x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0
हल:
दिए गए समीकरण के अनुसार
x² + y² - 8x + 10y - 12 = 0
या (x² - 8x) + (y² + 10y) = 12
या (x² - 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12 + 16 + 25
या (x - 4)² + (y + 5)² = 53
इसकी तुलना (x - h)² + (0 - k)² = P से करने पर
h = 4, k = - 5 तथा त्रिज्या r = √53
अतः वृत्त का केन्द्र (4 - 5 ) तथा त्रिज्या r = √53

प्रश्न 9.
2x² + 2y² - x = 0
हल:
दिए गए समीकरण के अनुसार
2x² + 2y² - x = 0

इसकी तुलना (x - h)² + (y - k)² = P से करने पर
h = \(\frac{1}{4}\), k = 0 तथा त्रिज्या r = \(\frac{1}{4}\)
∴ वृत्त का केन्द्र (\(\frac{1}{4}\), 0) तथा त्रिज्या \(\frac{1}{4}\) है।

प्रश्न 10.
बिन्दुओं (4, 1 ) और (6, 5) से जाने वाले ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है।
हल:
माना कि वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है।
अत: बिन्दु (4, 1) तथा (6,5) से गुजरने वाले वृत्तों के समीकरण
(4 - h)² + (1 - k)² = r² ..................... (1)
तथा (6 - h)² + (5 - k)² = r² .................. (2)
क्योंकि इन वृत्तों का केन्द्र रेखा 4x + y = 16 पर स्थित है
∴ 4h + k = 16 ∵ वृत्त का केन्द्र (h, k) है। .................. (3)
समीकरण (1) को हल करने पर (4 - h)² + (1 - k)² = r²
या 16 - 8h + h² + 1 - 2k + k² = r²
या 17 - 8h + h² - 2k + k² = r² ..................... (4)
समीकरण (2) को हल करने पर (6 - h)² + (5 - k)² = r²
या 36 - 12h + h² + 25 - 10k + k² = r² .................. (5)
या 61 - 12h + h² - 10k + k² = r² .............. (5)
समीकरण (4) व (5) से
17 - 8h + h² - 2k + k² = 61 - 12h + h² - 10k + k²
या 17 - 61 - 8h + 12h + h² - h² - 2k + 10k + k² - k² = 0
या - 44 + 4h + 8k = 0
या 4h + 8k = 44 ................. (6)
समीकरण (3) व (6) से
4h + k = 16
4h + 8k = 44
समीकरण (3) में से (6) को घटाने पर
- 7k = - 28
∴ k = 4
k का मान समीकरण (3) में रखने पर
4h + k = 16
या 4h + 4 = 16
या 4h = 16 - 4 = 12
∴ h = 3
समीकरण (1) में h तथा k के मान रखने पर
(4 - 3)² + (1 - 4)² = r²
या 1 + 9 = r²
∴ r² = 10
अतः वृत्त का अभीष्ट समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r²
या (x - 3)² + (y - 4)² = 10
या x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = 0
या x² - 6x + y² - 8y + 25 - 10 = 0
या x² + y² - 6x - 8y + 15 = 0

प्रश्न 11.
बिन्दुओं ( 2, 3) और (- 1, 1) से जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर स्थित है।
हल:
माना कि वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है।
अत: बिन्दु (2, 3) तथा (- 1, 1) से गुजरने वाले वृत्तों के समीकरण
(2 - h)² + (3 - k)² = r² .................. (1)
तथा (- 1 - h)² + (1 - k)² = r² .................. (2)
क्योंकि इन वृत्तों का केन्द्र रेखा x - 3y - 11 = 0 पर स्थित है।
अतः
h - 3k = 11 ............ (3)
समीकरण (1) को हल करने पर (2 - h)² + (3 - k)² = r²
या 4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = r²
या 13 - 4h + h² - 6k + k² = r² ................. (4)
समीकरण (2) को हल करने पर (- 1 - h)² + (1 - k)² = r²
या 1 + 2h + h² + 1 - 2k + k² = r²
या 2 + 2h + h² - 2k + k² = r² .................. (5)
समीकरण (4) व (5) से
13 - 4h + h² - 6k + k² = 2 + 2h + h² - 2k + k²
या 13 - 2 - 4h - 2h + h² - h² - 6k + 2k + k² - k² = 0
या 11 - 6h - 4k = 0
या 6h + 4k = 11 ................... (6)
समीकरण (3) व (6) से अर्थात्
h - 3k = 11
6h + 4k = 11
समीकरण (3) में 4 का व (6) में 3 का गुणा करने पर

प्रश्न 12.
त्रिज्या 5 के उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र x- अक्ष पर हो और जो बिन्दु (2, 3) से जाता है ।
हल:
माना कि वृत्त का समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है।
प्रश्नानुसार वृत्त बिन्दु (2, 3) से जाता है तथा इसकी त्रिज्या 5 है अर्थात्
(2 - h)² + (3 - k)² = 25
या 4 - 4h + h² + 9 - 6k + k² = 25
या - 12 - 4h + h² - 6k + k² = 0 ................. (1)
∵ इस वृत्त का केन्द्र भी x - अक्ष पर है ∴ k = 0 ................. (2)
k का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
- 12 - 4h + h² = 0
या h² - 4h - 12 = 0
या h² - 6h + 2h - 12 = 0
या h(h - 6) + 2 (h - 6) = 0
या (h - 6) (h + 2) = 0
∴ h = 6, - 2
अब समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² में h = 6, k = 0
तथा r = 5 रखने पर
(x - 6)² + (y - 0)² = 25
या x² - 12x + 36 + y² = 25
या x² + y² - 12x + 11 = 0
पुन: समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² में h = - 2, k = 0 तथा r = 5 रखने पर
(x + 2)² + (y - 0)² = 25
या x² + 4x + 4 + y² = 25
या x² + y² + 4x - 21 = 0

प्रश्न 13.
(0, 0) से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों पर a और b अंतः खण्ड बनाता है ।
हल:
प्रश्नानुसार वृत्त मूलबिन्दु (0, 0) से होकर जाता है तथा निर्देशांकों
पर a और b अंत: खण्ड बनाता है।

∴ OA = a
∴ A के निर्देशांक = (a, 0)
तथा OB = b
∴ B के निर्देशांक = (0, b)

प्रश्न 14.
उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्र (2, 2) हो तथा बिन्दु ( 4, 5 ) से जाता है ।
हल:
बिन्दु (2, 2) के केन्द्र वाले वृत्त का समीकरण
(x - 2)² + (y - 2)² = r²
∵ यह वृत्त बिन्दु ( 4, 5) से होकर भी जाता है अतः
(4 - 2)² + (5 - 2)² = p²
या 4 + 9 = r²
∴ r² = 13
समीकरण (1) में 72 का मान रखने पर (x - 2)² + (y - 2)² = 13
x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 = 13
x² + y² - 4x - 4y + 8 = 13
या x² + y² - 4x + 8 = 13
या x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0
या x² + y² - 4x - 4y = 5

प्रश्न 15.
क्या बिन्दु (- 2.5, 3.5 ) वृत्त x² + y² = 25 के अन्दर, बाहर या वृत्त पर स्थित है?
हल:
वृत्त के समीकरण x² + y² = 25 के अनुसार वृत्त का केन्द्र मूल
बिन्दु या O(0, 0) है तथा दिया गया बिन्दु ( - 2.5, 3.5 ) है ।
अतः OP = \(\sqrt{(-2.5-0)^2+(3.5-0)^2}\)
= \(\sqrt{6.25+12.25}\) = √18.25
= 4.25
क्योंकि यह मान त्रिज्या 5 से कम है । अतः स्पष्ट है कि बिन्दु (- 2.5, 3.5 ) वृत्त के अन्दर है ।