RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ विविध प्रश्नावली

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 110 सरल रेखाएँ विविध प्रश्नावली Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
k के मान ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k - 3 ) x - (4 - k²)
y + k² - 7k + 6 = 0
(a ) x - अक्ष के समान्तर है ।
(b) y-अक्ष के समान्तर है ।
(c) मूल बिन्दु से जाती है ।
हल:
दिया गया रेखा का समीकरण (k - 3) x - (4 - k) y + 1 - 7k + 6 = 0

(c) यदि रेखा मूल बिन्दु से होकर जाती है तो
(k - 3) x - (4 - k²) y + k² - 7k + 6 = 0
या (k - 3) . 0 - (4 - k²) . 0 + k² - 7k + 6 = 0
⇒ k² - 7k + 6 = 0
⇒ k² - 6k · k + 6 = 0
⇒ k (k - 6) 1 (k - 6) = 0
⇒ (k - 6) (k - 1) = 0
∴ k = 1 या 6

प्रश्न 2.
θ और p के मान ज्ञात कीजिए यदि समीकरण x cos θ + y sin θ रेखा √3x + y + 2 = 0 का लम्ब रूप है ।
हल:
√3x + y + 2 = 0
या - √3x - y = 2
A = - √3 तथा B = - 1
अब \(\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}\)=2
∴ -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x - \(\frac{1}{2}\)y = \(\frac{2}{2}\)
⇒ -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x - \(\frac{1}{2}\)y = 1

इस समीकरण की तुलना x cos θ + y sin θ = p से करने पर
p = 1, cos θ = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) तथा sin θ = - \(\frac{1}{2}\)
cos θ = cos 30° = cos (180° + 30°) = cos 210°
sin θ = -sin 30° = sin (180° + 30°) = sin 210°
अतः θ = 210° या \(\frac{7 \pi}{6}\) तथा p = 1

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनके अक्षों से कटे अंतः खण्डों का योग और गुणनफल क्रमश: 1 और - 6 है ।
हल:
माना कि अक्षों से कटे अंतःखण्ड a तथा b हैं।
प्रश्नानुसार a + b = 1 .....(1)
तथा ab = 6 ........(2)
(1) से b = 1 - a
यह मान (2) में रखने पर
a(1 - a) = -6
या a - a² = -6
या a² - a - 6 = 0
या a² - 3a + 2a - 6 = 0
या a(a - 3) + 2(a - 3) = 0
या (a - 3)(a + 2) = 0
∴ a = 3, -2
∴ b = 1 - 3 = -2 तथा
b = 1 + 2 = 3
अत: अंतःखण्ड 3, - 2 वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}\) = 1
या -3x + 2y = 6
तथा अंत: खण्ड -2, 3 वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}\) = 1
या - 3x + 2y = 6
या 3x - 2y + 6 = 0

 

प्रश्न 4.
y-अक्ष पर कौन से बिन्दु ऐसे हैं, जिनकी रेखा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1 से दूरी 4 इकाई है।
हल:
माना कि y-अक्ष पर बिन्दु (0, y₁) ऐसा है जिसकी दी गई रेखा दूरी 4 इकाई है
∴ (0, y₁) से रेखा \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1

अत: अभीष्ट बिन्दु (0, -\(\frac{8}{3}\)) तथा (0, \(\frac{32}{3}\)) होंगे।

प्रश्न 5.
मूल बिन्दु से बिन्दुओं (cos θ, sin θ) और (cos Φ, sin Φ) को मिलाने वाली रेखा की लांबिक दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि दिए हुए बिन्दु A (cos θ, sin θ) तथा B (cos Φ, sin Φ) हैं । अतः रेखा AB की ढाल

प्रश्न 6.
रेखाओं x - 7y + 5 = 0 और 3x + y = 0 के प्रतिच्छेद बिन्दु से खींची गई और y - अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
रेखाएँ x - 7y + 5 = 0.......... (1)
तथा 3x + y = 0
y = - 3x .........(2)
(1) के अनुसार x - 7 (- 3x) + 5 = 0
x + 21x + 5 = 0 ⇒ 22x + 5 = 0
x = -\(\frac{5}{22}\)
∴ (2) से y = - 3x = -3\(\left(-\frac{5}{22}\right)=\frac{15}{22}\)
प्रतिच्छेद बिन्दु = \(\left(-\frac{5}{22}, \frac{15}{22}\right)\)
माना कि y- अक्ष के समान्तर रेखा x = k है ।
या -\(\frac{5}{22}\) = k
अत: अभीष्ट रेखा x = -\(\frac{5}{22}\) ⇒ 22x + 5 = 0 होगी।

प्रश्न 7.
रेखा \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1 पर लम्ब उस बिन्दु से खींची गई रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ यह रेखा y - अक्ष से मिलती है ।
हल:
दी गई रेखा \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1
y- अक्ष पर मिलने पर x = 0
⇒ \(\frac{y}{6}\) = 1 ⇒ y = 6
अर्थात् दी गई रेखा y-अक्ष पर (0, 6) पर मिलती है।

अब उस रेखा का समीकरण जो बिन्दु (0, 6) से जाती है तथा
ढाल m = \(\frac{2}{3}\) है-
y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 6 = \(\frac{2}{3}\) (x - 0)
या 3y - 18 = 2x
या 2x - 3y + 18 = 0

प्रश्न 8.
रेखाओं y - x = 0, x + y = 0 और x - k = 0 से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखाएँ y - x = 0 ..........(1)
x + y = 0 ...........(2)
x - k = 0 ..........(3)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर x = 0 तथा y = 0
समीकरण (1) व (3) को हल करने पर x = k तथा y = k
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर x = k तथा y = - k

इस प्रकार रेखाओं - x = 0, x + y = 0 तथा x - k = 0 से बने त्रिभुज के शीर्ष क्रमश: A ( ( ), (0), B (k, k) तथा C (k, - k) हैं।

प्रश्न 9.
p का मान ज्ञात कीजिए जिससे तीन रेखाएँ 3x + y - 2 = 0, px + 2 y - 3 = 0 और 2x - y - 3 = 0 एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करें।
हल:
दी गई रेखाएँ 3x + y = 2 ..........(1)
2x - y = 3 ...(2)
(1) व (2) को हल करने पर 5 x = 5
∴ x = 1
x का मान (1) में रखने पर 3 (1) + y = 2
y = 2 - 3 = 1
अर्थात् समीकरण (1) व (2) बिन्दु (1 - 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं ।
दी गई तीसरी रेखा px + 2y - 3 = 0 भी बिन्दु (1 - 1) से होकर जाती है ।
p (1) + 2 (- 1 ) - 3 = 0
या p - 2 - 3 = 0
∴ p = 5

प्रश्न 10.
यदि तीन रेखाएँ जिनके समीकरण y = m₁x + c₁, y = m₂x + c₂ और y = m₂x + c₂ हैं, संगामी हैं तो दिखाइए कि m₁ (C₂ - C₃) + m₂ (C₃ - C₁) + m₃ (C₁ - C₂) = 0.
हल:
दी गई रेखाएँ y = m₁x + c₁
तथा y = m₂x + c₂
m₁x + c₁ = m₂x + c₂
या (m₁ - m₂) x = c₂ - c₁

यह बिन्दु \(\left[\frac{c_2-c_1}{m_1-m_2}, \frac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}\right]\) रेखा पड़ता है तो यह बिन्दु रेखा को सन्तुष्ट करेगा । अर्थात्
y = m₃x + c₃
या \(\frac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}\) = m₃\(\left[\frac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\right]\) + c₃
⇒ m₁c₂ - m₂c₁ = m₃(c₂ - c₁) + c₃(m₁ - m₂)
या m₁c₂ - m₂c₁ = m₃(c₂ - c₁) + m₁c₃ - m₂c₃
या m₃(c₂ - c₁) + m₁c₃ - m₂c₃ - m₁c₂ + m₂c₁ = 0
या m₃(c₂ - c₁) + m₁(c₃ - c₂) + m₂(c₁ - c₃) = 0
या m₁(c₂ - c₃) + m₂(c₃ - c₁) + m₃(c₁ - c₂) = 0

प्रश्न 11.
बिन्दु (3, 2) से जाने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x - 2y = 3 से 45° का कोण बनाती है ।
हल:
माना कि बिन्दु (3, 2) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है
y - 2 = m (x - 3) .....(1)
दी गई रेखा x - 2y - 3 = 0 .......(2)
m = \(\frac{1}{2}\)

माना कि रेखाओं (i) व (ii) के बीच बनने वाला कोण 8 है तथा
हम जानते हैं कि

धनात्मक चिह्न लेने पर
या 2 + m = 2m - 1
या m = 2 + 1 = 3
अब समीकरण (1) से y - 2 = 3 (x - 3)
या y - 2 = 3x - 9
3x - y - 7 = 0

ऋणात्मक चिह्न लेने पर
1 = -\(\frac{2 m-1}{2+m}\)
या 2 + m = - 2m + 1
या 2m + m = 1 - 2
या 3m = - 1
m = \(-\frac{1}{3}\)
पुन: समीकरण (1) से y - 2 = \(-\frac{1}{3}\)(x - 3)
या 3y - 6 = - x + 3
या x + 3y – 9 = 0

प्रश्न 12.
रेखाओं 4x + 7y - 3 और 2x - 3y + 1 = 0 के प्रतिच्छे बिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्ष से समान अंत: खण्ड बनाती है ।
हल:
माना कि रेखाओं 4x + 7y - 3 = 0 तथा 2x - 3y + 1 = 0
के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
4x + 7y - 3 + k (2x - 3y + 1) = 0 है। .....(1)
या (4 + 2k) x + (7 - 3k) y - 3 + k = 0
या (4 + 2k) x + (7 - 3 k) y = 3 - k

या 7 - 3k = 4 + 2k
या -5k = 4 - 7 = -3
-5k = -3
k = -\(\frac{3}{5}\)
यह मान समीकरण (1) में रखने पर
4x + 7y - 3 + \(\frac{3}{5}\)(2x - 3y + 1) = 0
या 20x + 35y - 15 + 6x - 9y + 3 = 0
या 26x + 26y - 12 = 0
या 13x + 13y - 6 = 0

प्रश्न 13.
दर्शाइए कि मूल बिन्दु से जाने वाली और रेखा y = mx + c से θ कोण बनाने वाली उस रेखा का समीकरण \(\frac{y}{x}=\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\) है।
हल:
माना कि मूल बिन्दु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण है-
y = m₁x ..........(1)
तथा दी गई रेखा
y = mx + c ...........(2)
माना कि इन दोनों रेखाओं के बीच कोण θ है ।
tan θ = ±\(\frac{m_1-m}{1+m_1 m}\)
या (1 + m₁m) tan θ = ± (m₁ - m)
धनात्मक चिह्न लेने पर
(1 + m₁m ) tan θ = m₁ - m
या tan θ + m₁m tan θ = m₁ - m
या m + tan θ = m₁ - m₁m tan θ
या m + tan θ = m₁(1 - m tan θ)
या m₁ = \(\frac{m+\tan \theta}{1-m \tan \theta}\)
ऋणात्मक चिह्न लेनें पर
(1 + m₁m) tan θ = -(m₁ - m)
⇒ tan θ + m₁m tan θ = -m₁ + m
⇒ tan θ - m = -m₁ - m₁m tan θ
⇒ tan θ - m = -m₁(1 + m tan θ)
⇒ m - tan θ = m₁(1 + m tan θ)
m₁ = \(\frac{m-\tan \theta}{1+m \tan \theta}\) .....(4)

अतः समीकरण (3) तथा (4) से स्पष्ट है कि
m₁ = \(\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\)
अतः सरल रेखा का अभीष्ट समीकरण प्राप्त करने के लिए का मान समीकरण (1) में रखने पर
y = \(\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\).x
\(\frac{y}{x}=\frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}\)

प्रश्न 14.
(- 1, 1) और (5, 7) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को रेखा x + y = 4 किस अनुपात में विभाजित करती है?
हल:
माना कि बिन्दु P रेखाखण्ड AB को k : 1 के अनुपात में विभाजित करता है । यहाँ A तथा B बिन्दु के निर्देशांक क्रमशः (- 1, 1) तथा (5, 7) हैं। अत: P बिन्दु के निर्देशांक
= \(\left(\frac{5 k-1}{k+1}, \frac{7 k+1}{k+1}\right)\)

प्रश्नानुसार रेखा x + y = 4 इस बिन्दु से होकर जाती है अतः निर्देशांक सन्तुष्ट कराने
\(\frac{5 k-1}{k+1}+\frac{7 k+1}{k+1}\) = 4
या 5k - 1 + 7k + 1 = 4k + 4
या 12k = 4k + 4
या 8k = 4
k = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
अर्थात् बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है ।

प्रश्न 15.
बिन्दु (1, 2) से रेखा 4x + 7y + 5 = 0 की 2x - y = 0 के अनुदिश, दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखाएँ 4x + 7y + 5 = 0 ..........(1)
तथा 2x - y = 0 .............(2)
(2) से y = 2x ..........(3)

यह मान समीकरण (1) में रखने पर
4x + 7(2x) + 5 = 0
या 4x + 14x = - 5
या 18x = - 5
∴ x = \(-\frac{5}{18}\)

x का मान समीकरण (3) में रखने पर
y = 2x = 2 .\( \left(-\frac{5}{18}\right)\)
y = -\(\frac{5}{9}\)
∴ इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु C\(\left(-\frac{5}{18},-\frac{5}{9}\right)\) है तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2) हैं।
∴ अभीष्ट दूरी

प्रश्न 16.
बिन्दु (- 1, 2) से खींची जा सकने वाली उस रेखा की दिशा ज्ञात कीजिए जिसका रेखा x + y बिन्दु से 3 इकाई की दूरी पर है।
हल:
माना कि अभीष्ट रेखा PQ की ढाल m है। अतः वह रेखा जो बिन्दु (- 1, 2) से होकर गुजरे तथा जिसकी ढाल m हो, का समीकरण

या y - y₁ = m (x - x₁)
या y - 2 = m (x + 1)
mx - y + m + 2 = 0 .....(1)
दी गई रेखा AB अर्थात् x + y = 4 इस रेखा को Q बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती है । अर्थात् (1) में y = 4 - x रखने पर
mx - (4 - x) + m + 2 = 0
या (m + 1) x + m - 2 = 0
या (m + 1 ) x = 2 - m

या 9 + 9m² = 9(m + 1)²
या 1 + m² = (m + 1)²
या 1 + m² = m² + 2m + 1
या 2m = 0
∴ m = 0
रेखा की ढाल शून्य है अतः अभीष्ट रेखा x अक्ष के समान्तर होगी ।

प्रश्न 17.
समकोण त्रिभुज के कर्ण के अंतय बिन्दु (1, 3) और (-4, 1) हैं । त्रिभुज के पाद (legs) (समकोणीय भुजाओं) के समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना समकोण त्रिभुज ABC के कर्ण AB के सिरों के निर्देशांक A (1, 3) एवं B (- 4, 1 ) हैं । समकोण त्रिभुज की भुजा BC एवं AC x- अक्ष एवं y-अक्ष के समान्तर है। चूँकि x-अक्ष का y = 0 होता है, अत: x- अक्ष के समान्तर रेखा BC का समीकरण होगा ।

y = k .....(1)
यह बिन्दु B (– 4, 1) से गुजरती है, अत: 1 = k, k का मान समीकरण (1) में रखने पर
y = 1 .......(2)
पुन: y-अक्ष के समान्तर रेखा AC का समीकरण होगा
x = k ..........(3)
यह भी बिन्दु (1, 3) से गुजरती है, अतः
1 = k
k का मान समीकरण (3) में रखने पर
x = 1
अत: कर्ण AB के सिरों से जाने वाली लम्ब रेखाओं के समीकरण x = 1 एवं y = 1 होंगे।

प्रश्न 18.
किसी बिन्दु के लिए रेखा को दर्पण मानते हुए बिन्दु (3, 8) क रेखा x + 3y = 7 में प्रतिबिम्ब ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखा माना AB
⇒ x + 3v 7 है।
अब हमें इस रेखा में माना C ( 3, 8) का प्रतिबिम्ब ज्ञात करना है ।
अर्थात् CE = DE
माना D बिन्दु के निर्देशांक (x₁, y₁) हैं 1
∴ CD का मध्य बिन्दु = E\(\left[\frac{x_1+3}{2}, \frac{y_1+8}{2}\right]\) होगा, जो कि रेखा AB पर है और E के निर्देशांक रेखा AB को सन्तुष्ट करेंगे ।

D बिन्दु के निर्देशांक = (-1, -4)
अतः अभीष्ट प्रतिबिम्ब = (-1, -4)

प्रश्न 19.
यदि रेखाएँ y = 3x + 1 और 2y = x + 3, रेखा y = mx + 4, पर समान रूप से आनत हों तो m का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई रेखाएँ
y = 3x + 1 ..........(1)
2y = x + 3
या y = \(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\) ........(2)
तथा y = mx + 4 ....(3)
यहाँ m₁ = 3, m₂ = \(\frac{1}{2}\) तथा m₃ = m
प्रश्नानुसार रेखाएँ (i) व (ii), (iii) रेखा पर समान रूप से आनत हैं। माना कि इनके बीच बनने वाला कोण θ है

⇒ (3 - m)(1 + \(\frac{1}{2}\)m) = (\(\frac{1}{2}\) - m) (1 + 3m)
⇒ (3 - m) (2 + m) = (1 - 2n)(1 + 3m)
⇒ 6 - 2m + 3m - m² = 1 - 2m + 3m - 6m²
⇒ 5m² = -5
⇒ m² = -1 जो कि असम्भव है ।
ऋणात्मक चिह्न लेने पर-
\(\frac{3-m}{1+3 m}=-\left(\frac{\frac{1}{2}-m_1}{1+\frac{1}{2} m}\right)\)
⇒ (3 - m)(1 + \(\frac{1}{2}\)m) = -(\(\frac{1}{2}\) - m) (1 + 3m)
⇒ (3 - m)(2 + m) = -(1 - 2m)(1 + 3m)
⇒ 6 - 2m + 3m - m² = -(1 + 3m - 2m - 6m²)
⇒ 6m² - m - 1 = 6 + m - m²
⇒ 7m² - 2m - 7 = 0

प्रश्न 20.
यदि एक चर बिन्दु P (x, y) की रेखाओं x + y - 5 = 0 अं 3x - 2y + 7 = 0 से लाम्बिक दूरियों का योग सदैव 10 तो दर्शाइए कि P अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है।
हल:
दी गई रेखाओं के समीकरण
x + y - 5 = 0 ............(1)
एवं 3x - 2x + 7 = 0 ...........(2)
माना बिन्दु P(x, y) की रेखा (i) से लाम्बिक दूरी P है,
P₁ = \(\frac{x+y-5}{\sqrt{1+1}}=\frac{x+y-5}{\sqrt{2}}\) ......(3)
इसी प्रकार P (x, y) से रेखा 3x - 2y + 7 = 0 की दूरी P है, अत:
P₂ = \(\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{9+4}}=\frac{3 x-2 y+7}{\sqrt{13}}\) ......(4)

प्रश्नानुसार इन दोनों दूरियों का योग P₁ + P₂ = 10 दिया है।

जो कि एक सरल रेखा का समीकरण है । अत: P एक अनिवार्य रूप से एक रेखा पर गमन करता है

प्रश्न 21.
समान्तर रेखाओं 9x + 6y - 7 = 0 और 3x + 2y + 6 = 0 से समदूरस्थ रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
दी गई समान्तर रेखाएँ
9x + 6y - 7 = 0 ...........(1)
तथा 3x + 2y + 6 = 0
या 9x + 6y + 18 = 0 .....(2)
माना कि इन रेखाओं के समान्तर रेखा का समीकरण
9x + 6y + k = 0 है । .........(3)

धनात्मक चिह्न की उपेक्षा करने पर चूँकि इससे + 7 = -18 प्राप्त होता है जो कि असम्भव है, अतः ऋणात्मक चिह्न लेने पर
k + 7 = - (k - 18)
या k + 7 = k + 18
या 2k = 11 ∴ k = \(\frac{11}{2}\)
k का मान समीकरण (3) में रखने पर
9x + 6y + \(\frac{11}{2}\) = 0
या 18x + 12y + 11 = 0
यही रेखा का अभीष्ट समीकरण है ।

प्रश्न 22.
बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाली एक प्रकाश किरण x- अक्ष के बिन्दु A से परावर्तित होती है और परावर्तित किरण बिन्दु (5, 3) से होकर जाती है । A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना बिन्दु A के निर्देशांक (x₁, 0) हैं। अत: X- अक्ष के बिन्दु (y = 0) पर लम्ब रेखा का समीकरण

अतः परावर्तक तल के बिन्दु A(x₁, 0) पर अभिलम्ब का समीकरण
x = x₁
माना आपतित किरण अभिलम्ब के साथ कोण θ बनाती है तब परावर्तित किरण भी अभिलम्ब के साथ कोण θ बनायेगी तब दोनों किरणें X- अक्ष के साथ (90° - θ) का कोण बनायेंगी जैसा कि चित्र में दिखाया गया है |
अतः आपतित किरण की ढाल माना m₁ है
m₁ = \(-\frac{(0-2)}{x_1-1}=\frac{2}{x_1-1}\)
क्योंकि (90° - θ) कोण X- अक्ष की ऋणात्मक दिशा के साथ है ।
तथा परावर्तित किरण की ढाल माना m₂ है ।
m₂ =\( \frac{3-0}{5-x_1}=\frac{3}{5-x_1}\)
परन्तु आपतित किरण की ढाल = परावर्तित किरण की ढाल
अतः \(\frac{2}{x_1-1}=\frac{3}{5-x_1}\)
⇒ 2(5 - x₁) = 3(x₁ - 1)
⇒ 10 - 2x₁ = 3x₁ - 3
⇒ 10 + 3 = 3x₁ + 2x₁ = 5x₁
⇒ 13 = 5x₁
x₁ = \(\frac{13}{5}\)
अतः बिन्दु A के निर्देशांक (\(\frac{13}{5}\), 0) होंगे।

प्रश्न 23.
दिखाइए कि (\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) और (-\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) बिन्दुओं से रेखा \(\frac{x}{a}\)cos θ + \(\frac{y}{b}\)sin θ = 1 पर खींचे गये लंबों की लम्बाइयों का गुणनफल b² है।
हल:
दी गई रेखा \(\frac{x}{a}\)cos θ + \(\frac{y}{b}\)sin θ = 1
या bx cos θ + ay sin θ - ab = 0 .....(1)
माना कि दिए गए बिन्दु A(\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) तथा B(-\(\sqrt{a^2-b^2}\), 0) है।
अतः इस रेखा की बिन्दु A से लम्बवत् दूरी माना p₁ है।

प्रश्न 24.
एक व्यक्ति समीकरणों 2x – 3y - 4 = 0 और 3x + 4y - 5 = 0 से निरूपित सरल रेखीय पथों के संधि बिन्दु (june- tion/crossing) पर खड़ा है और समीकरण 6x - 7y + 8 = 0 से निरूपित पथ पर न्यूनतम समय में पहुँचना चाहता है । उसके द्वारा अनुसरित पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि चित्रानुसार AB तथा BC दो सरल रेखीय पथ हैं जो रेखा 2x - 3y - 4 = 0 तथा 3x + 4y - 5 = 0 से निरूपित हैं । अर्थात् AB व BC रेखाओं के समीकरण

तथा
2x - 3y - 4 = 0 .........(1)
3x + 4y - 5 = 0 ..........(2)
प्रश्नानुसार AB तथा BC पथ बिन्दु B पर मिलते हैं। अब (1) व
2x - 3y = 4 ............(3)
3x + 4y = 5 .........(4)
समीकरण (3) में 4 का तथा (4) में 3 का गुणा करने पर
8x - 12y = + 16 .......(5)
9x + 12y = 15 ........(6)

(5) व (6) को जोड़ने पर 17x = 31
x = \(\frac{31}{17}\)
x का मान समीकरण (3) में रखने पर

रेखा 6x - 7y + 8 = 0 की ढाल
BD की ढाल = -\(\frac{7}{6}\)
रेखा BD का समीकरण y - y₁ = m (x - x₁)
y + \(\frac{2}{17} = -\frac{7}{6}(x - \frac{31}{17})\)
102 से दोनों पक्षों को गुणा करने पर
102y + 12 = - 119x + 217
या 119x + 102y - 205 = 0
अतः बिन्दु B से AC तक पहुँचने के लिए BD पथ अनुसरित करना होगा जिसका समीकरण है-
119x + 102y = 205