RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 11 Maths Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Solutions Chapter 10 सरल रेखाएँ Ex 10.1

प्रश्न 1.
कार्तीय तल में एक चतुर्भुज खींचिए जिसके शीर्ष ( - 4,5), (0, 7), (5, – 5) और (- 4, - 2 ) हैं । इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि दिए हुए चतुर्भुज के बिन्दु क्रमश: A (- 4, 5), B (0, 7), C (5, - 5 ) तथा D ( - 4, - 2 ) हैं । इनका आलेख निम्नानुसार चित्र में दिया गया है-

चतुर्भुज ABCD को विकर्ण A व C को मिलाकर दो भागों में विभाजित कर लिया। इस प्रकार दो त्रिभुज ΔABC तथा ΔACD प्राप्त हुए। अब ΔABC का क्षेत्रफल

∴ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
= 29 + 315
= 60.5 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
2a भुजा के समबाहु त्रिभुज का आधार y - अक्ष के अनुदिश इस प्रकार है कि आधार का मध्य बिन्दु मूल बिन्दु पर है । त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि ΔABC की भुजा BC, y- अक्ष के अनुदिश ली जिसका मध्य बिन्दु प्रश्नानुसार मूलबिन्दु है । यह भी दिया गया है कि BC
= 2a तथा BC का मध्य बिन्दु O पर है । अर्थात्
OB = OC = a
अर्थात् B तथा C के निर्देशांक (O, a) तथा (O, - a) होंगे। चूँकि त्रिभुज समबाहु है अतः
AB = BC = CA = 2a

अब समकोण त्रिभुज OAB में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

इसी प्रकार OA ' = -√3a
अतः ΔABC के शीर्ष = (√3a, 0), (O, a) (O, - a)
या ΔA'BC के शीर्ष = (−√3a, 0),(O, a), (O, -a)

प्रश्न 3.
P (x₁, y₁) और Q (x₂, y₂) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए जब
(i) PQ, y - अक्ष के समान्तर है, (ii) PQ, x - अक्ष के समान्तर है।
हल:
(i) जबकि PQ, y-अक्ष के समान्तर है तो उस रेखा पर जितने भी बिन्दु हैं उनके Xx के निर्देशांक बराबर होते हैं। अत: x₁ = x₂

अब PQ = \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
= \(\sqrt{0+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
∴ PQ = |y₂ - y₁|

(ii) जबकि PQ, x-अक्ष के समान्तर है तो उस रेखा पर जितने भी बिन्दु हैं, उनके प्रत्येक बिन्दु के y - निर्देशांक बराबर होते हैं अर्थात् y₁ = y₂

अब PQ = \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\)
= \(\sqrt{\left(x_1-x_1\right)^2+0}\)
∴ PQ = |x₂ - x₁|

प्रश्न 4.
x - अक्ष पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जो (7, 6) और (3, 4) बिन्दुओं से समान दूरी पर है ।
हल:
माना कि x- अक्ष पर वह बिन्दु P(a, 0) है जो बिन्दु A (7, 6) व B (3, 4) से समान दूरी पर है।
PA = \(\sqrt{(a-7)^2+(0-6)^2}\)
PA² = (a - 7)² + 36
तथा PB = \(\sqrt{(a-3)^2+(0-4)^2}\)
PB² = (a - 3)² + 16
प्रश्नानुसार PA = PB
या PA² = PB²
या (a - 7)² + 36 = (a - 3)² + 16
या a² - 14a + 49 + 36 = a² - 6a + 9 + 16
या - 14a + 6a = 25 - 85
या -8a = -60
या 8a = 60
या 2a = 15
या a = \(\frac{15}{2}\)
अतः बिन्दु के निर्देशांक P(\(\frac{15}{2}\), 0) हैं

प्रश्न 5.
रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु और P (0, - 4) तथा B ( 8, 0) बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु से जाती है ।
हल:
बिन्दु P (0, 4) तथा B (8, 0) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु
x̄ = \(\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+8}{2}=\frac{8}{2}\) = 4
तथा ȳ = \(\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-4+0}{2}=\frac{-4}{2}\) = -2
अत: PB के मध्य बिन्दु (माना) M के निर्देशांक = ( 4, – 2) मूल बिन्दु के निर्देशांक = (0, 0)
OM की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-0}{4-0}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)

प्रश्न 6.
पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग बिना दिखलाइए कि बिन्दु (4, 4), (3, 5) और (- 1, - 1) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं ।
हल:
माना कि दिए हुए बिन्दु A (4, 4), B (3, 5) तथा C (- 1, - 1) हैं ।

अब m₁ × m₃ = AB की ढाल × AC की ढाल
= - 1 × (1) = -1
चूँकि m₁ × m₃ = - 1
अर्थात् रेखा AB एवं AC एक-दूसरे के लम्बवत् होगी ।
∴ ∠A = 90° ⇒ Δ ABC समकोण त्रिभुज है ।
अतः दिए गए बिन्दु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं ।

प्रश्न 7.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो y - अक्ष की धन दिशा में वामावर्त मापा गया 30° का कोण बनाती है ।
हल:

y- अक्ष की धन दिशा से 30° का बनाने वाली रेखा माना x- अक्ष को बिन्दु A तथा y-अक्ष को बिन्दु B पर काटती है।
चित्रानुसार ∠XAB = θ = 90° + 30° = 120°
अतः रेखा की प्रवणता
m = tan 120°
m = tan (90° + 30°)
m = - cot 30° = -√3 ...........(1)

अतः AB रेखा का ढाल
m = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
= \(\frac{y-0}{0-x}=-\frac{y}{x}\)
m = -\(\frac{y}{x}\) ..........(2)
समीकरण (1) तथा 2) से
-√3 = -\(\frac{y}{x}\)
y = √3 x

प्रश्न 8.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिन्दु (x, - 1), ( 2, 1) और (4, 5) सरेख हैं ।
हल:
माना कि बिन्दु A (x, -1), B(2, 1) तो AB की ढाल = BC की ढाल

प्रश्न 9.
दूरी सूत्र का प्रयोग किए बिना दिखलाइए कि बिन्दु ( - 2, – 1), (4, 0), (3, 3) और (−3, 2) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल:
माना कि बिन्दु A ( - 2 - 1 ), B ( 4, 0), C (3, 3) तथा D (- 3, 2) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं ।

∵ AB की ढाल = DC की ढाल
AB ∥ DC
∵ BC की ढाल AD की ढाल
BC ∥ AD
AB ∥ DC तथा BC ∥ AD
⇒ A, B, C तथा D बिन्दु एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं ।

प्रश्न 10.
x - अक्ष और (3, - 1) और (4, - 2) बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के बीच का कोण ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना कि दिए हुए बिन्दु A ( 3, - 1) तथा B (4, - 2) हैं।
= रेखा AB की ढाल (m₁) =
⇒ रेखा AB की ढाल = tan θ = -1
⇒ tan θ = tan 135°
⇒ θ = 135°
रेखा AB द्वारा x - अक्ष के साथ बनाया गया कोण
= 135°

प्रश्न 11.
एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) \(\frac{1}{3}\) है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना एक रेखा की प्रवणता (ढाल) 2m है एवं दूसरी रेखा की प्रवणता m है ।
दोनों रेखाओं के मध्य कोण की स्पर्शज्या \(\frac{1}{3}\) है । अतः

या -3m = 1 + 2m
⇒ 2m² + 2m + m + 1 = 0
⇒ 2m (m + 1) + 1 ( m + 1) = 0
⇒ (m + 1) (2m + 1) = 0
m = - 1, \(-\frac{1}{2}\)
या 3m = 1 + 2m²
या 2m² - 3m + 1 = 0
या 2m² - 2m - m + 1 = 0
या 2m (m - 1) - 1 (m - 1) = 0
या (m - 1) (2m - 1) = 0
या m = 1, \(\frac{1}{2}\)
2m = 2, 1
अतः रेखाओं के ढाल ± 1 व ±\(\frac{1}{2}\) एवं ± 2 व ± 1 हैं।

प्रश्न 12.
एक रेखा (x₁, y₁) और (h, k) से जाती है। यदि रेखा की ढाल है तो दिखाइए
k - y₁ = m (h - x₁).
हल:
माना कि दिए गए बिन्दु A (x₁, y₁) तथा B (h, k) हैं।
अतः रेखा AB की ढाल m = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{k-y_1}{h-x_1}\)
अर्थात् m = \(\frac{k-y_1}{h-x_1}\)
या k - y₁ = m (h - x₁)

प्रश्न 13.
यदि तीन बिन्दु (h, 0), (a, b) और (0, k) एक रेखा पर हैं तो दिखाइए कि \(\frac{a}{h}+\frac{b}{k}\) = 1.
हल:
दिया गया है कि तीन बिन्दु A (h, 0), B (a, b) तथा C (0, k)
एक रेखा पर स्थित हैं अर्थात् तीनों बिन्दु संरेख हैं ।
∴ AB के लिए m₁ = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{b-0}{a-h}=\frac{b}{a-h}\) = 1.
तथा BC के लिए m₂ = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{k-b}{0-a}=\frac{k-b}{-a}\)
तीनों बिन्दुओं के एक रेखा पद होने के लिए
m₁ = m₂
अर्थात् \(\frac{b}{a-h}=\frac{k-b}{-a}\)
या -ab = (a - h)(k - b)
या -ab = ak - hk - ab + hb
या 0 = ak - hk + hb
या ak + hb = hk
या \(\frac{a k}{h k}+\frac{h b}{h k}\) = 1
या \(\frac{a}{h}+\frac{b}{k}\) = 1 (इति सिद्धम् )

प्रश्न 14.
जनसंख्या और वर्ष के निम्नलिखित लेखाचित्र पर विचार कीजिए । रेखा AB की ढाल ज्ञात कीजिए और इसके प्रयोग से बताइए कि वर्ष 2010 में जनसंख्या कितनी होगी?

हल:
दी गई आकृति में रेखा AB बिन्दु A (1985, 92 ) तथा B (1995, 97) से होकर जाती है । अतः रेखा AB की ढाल
= \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{97-92}{1995-1985}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
माना कि वर्ष 2010 में जनसंख्या y करोड़ होगी तथा यह भी माना कि बिन्दु C रेखा AB पर पड़ता है जिसके निर्देशांक (2010, y) हैं।
∴ रेखा BC की ढाल = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y-97}{2010-1995}=\frac{1}{2}\)
∵ A, B तथा C संरेख हैं ।
⇒ 2(y - 97) = 15
⇒ y - 97 = 7.5
y = 104.5

अर्थात् सन् 2010 में जनसंख्या 104.5 करोड़ होगी ।