RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 8 द्विपद प्रमेय

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 8 द्विपद प्रमेय Important Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Chapter 8 Important Questions द्विपद प्रमेय

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
(2x - 3y)⁴ के प्रसार में प्रथम 4 पद लिखिए ।
हल
(2x - 3y)⁴ = (2x)⁴ - ⁴C₁ (2x)³ . (3y) + ⁴C₂ (2x)² (3y)² - ⁴C₃ (2x) (3y)³
= 16x⁴ - 96x³y + 216x²y² - 216xy³

प्रश्न 2.
के प्रसार में मध्य पद लिखिए ।
हल:

प्रश्न 3.
का 7वाँ पद लिखिए।
हल.

प्रश्न 4.
(x - a)ⁿ के प्रसार का व्यापक पद लिखिए।
हल:
T_r+1 = (-1)^r . ⁿC_r . x^{n - r} . a^r

प्रश्न 5.
(1 - x)ⁿ के प्रसार में (r + 1) वें पद का गुणांक लिखिए।
हल:
(- 1)^{r n}C_r

प्रश्न 6.
के प्रसार का मध्य पद लिखिए।
हल:

प्रश्न 7.
सरलीकरण के पश्चात् (x + a)²⁰⁰ + (x - a)²⁰⁰ के प्रसार में पदों की संख्या लिखिए ।
हल:
101

प्रश्न 8.
³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + .................... ³⁰C₃₀ का मान लिखिए।
हल:
हम जानते हैं-
ⁿC₁ + ⁿC₂ + ⁿC₃ + ⁿC₄ + ............. ⁿC_n = 2ⁿ - 1
∴ ³⁰C₁ + ³⁰C₂ + ³⁰C₃ + ..................... + ³⁰C₃ = 2³⁰ - 1

प्रश्न 9.
के प्रसार में कौनसा मध्य पद होगा?
हल:
यहाँ n = 2n + 1, जो कि विषम है। मध्य पद वाँ पद एवं वाँ पद अर्थात् (n + 1) वाँ पद एवं (n + 2) वाँ पद अर्थात् T_n+1 एवं T_n+2 है।

10.
(x + y)ⁿ के प्रसार में प्रारम्भ तथा अन्त से समान दूरी के पदों के द्विपद गुणांकों के मान .......................... होते हैं।
हल:
समान, अर्थात् ⁿC_r = ⁿC_{n - r}

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1. द्विपद प्रमेय द्वारा (1 + √3)⁴ + (1 - √3)⁴ को सरल कीजिए।
हल:
द्विपद प्रमेय से-
(1 + √3)⁴ = 1 + ⁴C_ı (√3)¹ + ⁴C₂ (√3)² + ⁴C₃ (√3)³ + ⁴C₄ (√3)⁴ ......... (1)
तथा (1 - √3)⁴ = 1 - ⁴C₁ (√3)¹ + ⁴C₂ (√3)² - ⁴C₃ (√3)³ + ⁴C₄ (√3)⁴ ............... (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
(1 + √3)⁴ + (1 - √3)⁴ = 2[1 + ⁴c₂(√3)² + ⁴C₄ (√3)⁴]
= 2 [1 + 6.3 + 1.9]
= 2 (1 + 18 + 9) = 2 × 28
= 56

प्रश्न 2.
के प्रसार में मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रसार में पदों की कुल संख्या = 9 + 1 = 10 (सम)
∴ दो मध्य पद क्रमश: वाँ पद तथा वाँ पद अर्थात् 5वाँ पद तथा 6ठा पद होंगे।
∴5वाँ पद = (4 + 1)वाँ पद = ⁹C₄ . (2x)^{9 - 4} .
= . 2⁵ x⁵ .

प्रश्न 3.
के प्रसार में x से स्वतन्त्र पद ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रसार का (r + 1)वाँ पद x से स्वतन्त्र है।
प्रसार का (x + 1)वाँ पद (T_{r + 1}) = ¹¹C_r . (2x⁴)^{11 - r} .
=
= .......................... (1)
∵ उपर्युक्त पद x से स्वतन्त्र है, अतः x की घात = 0
अर्थात् 44 - 11r = 0 या 11r = 44 ∴ r = 4
∴ समीकरण (1) में r = 4 रखने पर, x से स्वतन्त्र पद

प्रश्न 4.
(1 + x)²ⁿ के विस्तार में (p + 1) वें पद का गुणांक (p + 3) वें पद के गुणांक के बराबर हो, तो दिखाइए कि p = n - 1.
हल:
(1 + x)²ⁿ के विस्तार में, (p + 1)वाँ पद = ²ⁿC_p . x^p
तथा (p + 3)वाँ पद = {(p + 2) + 1}वाँ पद = ²ⁿC_{p + 2} . x^{p + 2}

प्रश्नानुसार,
(p + 1) वें पद का गुणांक = (p + 2)वें पद का गुणांक
²ⁿC_p = ²ⁿC_{p + 2} ⇒ p + (p + 2) = 2n [∵ ⁿC_r = ⁿC_{n - r}]
⇒ 2p = 2n - 2
⇒ p = n - 1

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
(x + a)ⁿ के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमश: 240, 720 और 1080 हैं। x, a तथा n ज्ञात कीजिए ।
हल:
हमें ज्ञात है कि दूसरा पद T₂ = 240
परन्तु T₂ = ⁿC₁ x^{n - 1} . a
इसलिए ⁿC₁ x^{n - 1} . a = 240 ...................... (1)
इसी प्रकार ⁿC₂ x^{n - 2} a² = 720 .......................... (2)
और ⁿC₃ x^{n - 3} a³ = 1080 ........................... (3)
(2) को (1) से भाग करने पर हमें प्राप्त होता है,

इन समीकरणों को हल करने से हम x = 2 और a = 3 प्राप्त करते हैं।

प्रश्न 2.
यदि के प्रसार में x⁷ का गुणांक तथा x^-7 का गुणांक बराबर हैं तब सिद्ध कीजिए ab - 1 = 0
हल:
के प्रसार का व्यापक पद

दोनों के गुणांक समान हैं इसलिए-

⇒ a⁷b⁷ = 1
⇒ (ab)⁷ = 1
अत: ab = 1
ab - 1 = 0

प्रश्न 3.
(1 + y)ⁿ के विस्तार में यदि 5वें, 6ठे तथा 7वें पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हों, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ (1 + y)ⁿ के प्रसार में T_{r + 1} = ⁿC_r y^r
∴ (r + 1) वें पद का गुणांक = ⁿC_r
∴ 5 वें पद का गुणांक = ⁿC₄
6ठे पद का गुणांक = ⁿC₅
7वें पद का गुणांक = ⁿC₆
ⁿC₄, ⁿC₅, ⁿC₆ समान्तर श्रेणी में हों, तब
2ⁿC₅ = ⁿC₄ + ⁿC₆

⇒ (17 - n) (n - 4) (n - 5) = 30 (n - 5)
⇒ (17 - n) (n - 4) = 30
⇒ 21n - 68 - n² = 30
⇒ n² - 21n + 98 = 0
⇒ (n - 14) (n - 7) = 0
⇒ n = 7 या 14
∴ n = 7 या 14

प्रश्न 4.
यदि (1 + x - 2x²)⁶ का पूर्ण प्रसार 1 + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ......................... + a₁₂x¹² द्वारा निरूपित हो, तब सिद्ध कीजिए कि a₂ + a₄ + a₆ + .................. + a₁₂ = 31.
हल:
दिये गये प्रसार में x = 1 और x = - 1 रखने पर
(1 + 1 - 2 × 1²)⁶ = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ...................... + a₁₂
0 = 1 + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ................. + a₁₂ ................ (1)
(1 - 1 - 2 × 1)⁶ = 1 - a₁ + a₂ - a₃ + a₄ - ............................ + a₁₂ ........... (2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
0 + 64 = 2 + 2a₂ + 2a₄ + 2a₆ + 2a₈ + 2a₁₀ + 2a₁₂
64 = 2 (1 + a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ + a₁₂)
⇒ = 1 + a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ + a₁₂
⇒ 32 = 1 + a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ + a₁₂
⇒ 32 = a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ + a₁₂

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि ( 1 + x)^{n + 1} के विस्तार में (r + 1) वें पद का गुणांक, (1 + x)ⁿ के प्रसार में rवें तथा (r + 1) वें पद के गुणांकों के योग के बराबर होता है।
हल:
(1 + x)^{n + 1} के विस्तार में
(x + 1)वाँ पद = ^{n + 1}C_r . x^r
(r + 1) वें पद का गुणांक = ^{n + 1}C_r
पुन: (1 + x)ⁿ के प्रसार में, वें पद का गुणांक = ⁿC_{r - 1}
तथा (r + 1)वें पद का गुणांक = ⁿC_r
∴ (1 + x)ⁿ के प्रसार में वें तथा (r + 1) वें पदों के गुणांक का योग

= (1 + x)^{n + 1} के प्रसार में (r + 1) वें पद का गुणांक

प्रश्न 6.
सिद्ध करो कि के प्रसार में x^p का गुणांक निम्नलिखित है-

हल:

प्रश्न 7.
यदि (1 - x + x²)⁴ = 1 + p₁x + p₂x² + ............... + p₈x⁸ हो, तो सिद्ध कीजिए कि-
P₂ + p₄ + P₆ + P₈ = 40
हल:
दिया है। :
(1 - x + x²)⁴ = 1 + p₁x + p₂x² + p₃x² ............... + p₈x⁸ .................... (1)
(1 - 1 + 1)⁴ = 1 + p₁ + p₂ + p₃ + p₄ + .................. + p₈
या 1 = 1 + p₁ + p₂ + P₃ + P₄ -- ........ + P₈ ....................... (2)
पुन: समीकरण (1) में x = - 1 रखने पर
[1-(-1) + (-1)²]⁴ = 1 + p₁ (-1) + P₂ (-1)² + P₃ (- 1)³
+ P₄ (- 1)⁴ + .............. + p₈ (- 1)⁸
या 3⁴ = 1 - P₁ + P₂ - P₃ + P₄ - ................ + P₈
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर
1 + 3⁴ = 2 (1 + P₂ + P₄ + P₆ + P₈)
या 1 + P₂ + P₄ + P₆ + P₈ = = 41
या p₂ + P₄ + P₆ + P₈ = 40

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)^{2n + 2} के प्रसार के मध्य पद का गुणांक p तथा (1 + x)^{2n + 1} के प्रसार के मध्य पदों के गुणांक q तथा हों, तब सिद्ध कीजिए कि-
q + r = p
हल:
(1 + x)^{2n + 2} के प्रसार में कुल पद 2n + 3 होंगे। अतः मध्य पद
= = (n + 2) वाँ पद होगा।
∴ T_{n + 2} = T_{(n + 1) + 1} = ^{2n + 2}C_{n + 1} x^{n + 1}
अतः मध्य पद अर्थात् (x + 2) वें पद का गुणांक
p = ^{2n + 2}C_{n + 1} ........................ (1)
अब (1 + x)^{2n + 1} के प्रसार में कुल पद 2n + 1 + 1 = (2n + 2) पद होंगे।
जिनके मध्यपद (n + 1) वाँ तथा (n + 2) वाँ होंगे।
अत: (1 + x)^{2n + 1} के प्रसार में (n + 1) वें पद का गुणांक
q = ^{2n + 1}C_n ........................ (2)
तथा (n + 2) वें पद का गुणांक r = ^{2n + 1}C_{n + 1}
∴ q + r = ^{2n + 1}C_n + ^{2n + 1}C_{n + 1}

प्रश्न 9.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में a₁, a₂, a₃ तथा a₄ पदों के गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिये कि-

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि यदि ॥ सम हो, तब (1 + x)ⁿ के प्रसार में मध्ये पद का गुणांक 2ⁿ होगा यदि n विषम हो, तो दोनों मध्य पदों का गुणांक 2ⁿ होगा।
हल:
(i) n के सम होने पर माना n = 2k
∴ (1 + x)^2k के प्रसार में (2k + 1) पद होंगे, जिनका मध्य
पद
= (k + 1)वाँ पद होगा ।
∴ T_{k + 1} = ^2kC_k x^k
∴ मध्य पद का गुणांक = ^2kC_k

(ii) यदि n विषम है तो माना n = 2k + 1, अत: (1 + x)^{2k + 1} के विस्तार में (2k + 1) + 1 अर्थात् (2k + 2) पद होंगे।
इसलिए मध्य पद = k + 1 वाँ पद—
तथा वाँ पद = k + 2वाँ पद होगा।
∴ T_{k + 1} = ^{2k + 1}C_kx^k
तथा T_{k + 2} = ^{2k + 1}C_{k + 1}x^{k + 1}
= ^2k+1C_{(2k+1) - (k+1)} x^k+1 [∵ ⁿC_r = ⁿC_{n - r}]
= ^2k+1C_kx^k+1
⇒ T_{k + 1} तथा T_{k + 2} का गुणांक एक ही है तथा यह है
= ^2k+1C_k

प्रश्न 11.
यदि C_o, C₁, C₂, .............. C_n, (1 + x)ⁿ के प्रसार में द्विपद गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि-

हल:

प्रश्न 12.
यदि C_o, C₁, C₂, .......... C_n, (1 + x)ⁿ के प्रसार में द्विपद गुणांक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि-

हल:

बहुचयनात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
के विस्तार में कुल पदों की संख्या है-
(A) 11
(B) 13
(C) 10
(D) 14
हल:
(B) 13

प्रश्न 2.
के विस्तार में 7वाँ पद है-
(A) ⁸C₇ (a)⁷
(B) ⁸C₇ (a)
(C) ⁸C₆ (a)⁶
(D) ⁸C₆ (a)²
हल:
(C) ⁸C₆ (a)⁶

प्रश्न 3.
(a - x)⁸ के प्रसार में मध्य पद है-
(A) 56a³x⁵
(B) - 56a³x⁵
(C) 70a⁴x⁴
(D) - 70a⁴x⁴
हल:
(C) 70a⁴x⁴

प्रश्न 4.
के प्रसार में अचर पद है-
(A) पाँचवाँ
(B) चौथा
(C) छठवाँ
(D) सातवाँ
हल:
(B) चौथा

प्रश्न 5.
(x + a)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद है-
(A) ⁿC_r x^{n - r} . a^r
(B) ⁿC_r x^r . a^r
(C) ⁿC_n-r x^{n - r} . a^r
(D) ⁿC_n-r x^r . a^n-r
हल:
(A) ⁿC_r x^{n - r} . a^r

प्रश्न 6.
के विस्तार में x रहित पद का मान है-
(A) 264
(B) - 264
(C) 7920
(D) - 7920
हल:
(C) 7920

प्रश्न 7.
के विस्तार में x^-17 रहित पद का मान है-
(A) 1365
(B) - 1365
(C) 3003
(D) - 3003
हल:
(B) - 1365

प्रश्न 8.
यदि (1 + x)¹⁸ के प्रसार में (r - 2) वें तथा (r - 2) वें पदों के गुणांक बराबर हों, तब r का मान. है-
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
हल:
(B) 6

प्रश्न 9.
यदि (a + b)ⁿ तथा (a + b)^{n + 3} के प्रसार में क्रमश: दूसरे एवं तीसरे तथा तीसरे एवं चौथे पदों का अनुपात बराबर हो, तो n का मान है-
(A) 5
(B) 6
(C) 3
(D) 4
हल:
(A) 5

प्रश्न 10.
यदि के प्रसार में x⁷ तथा x⁸ के गुणांक समान हैं, तो x का मान होगा-
(A) 15
(B) 45
(C) 55
(D) 56
हल:
(C) 55

प्रश्न 11.
के प्रसार में मध्य पद है--
(A) 250
(B) 252
(C) 251
(D) 253
हल:
(B) 252

प्रश्न 12.
यदि (1 + x)ⁿ के प्रसार में C₀, C₁, C₂ ................... C_n विभिन्न पदों के गुणांक हों, तब C₀ + C₂ + C₄ + ..................... बराबर होगा -
(A) 2n
(B) 2ⁿ - 1
(C) 2^{n- 1}
(D) 2^{n + 1}
हल:
(C) 2^{n- 1}

प्रश्न 13.
यदि (x + a)ⁿ के प्रसार में विषम एवं सम पदों का योग क्रमशः
A और B हो, तब (x + a)²ⁿ - (x - a)²ⁿ बराबर होगा -
(A) 4 (A + B)
(B) AB
(C) 4 (A - B)
(D) 4AB
हल:
(D) 4AB

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

प्रश्न 1.
द्विपद प्रमेय में आने वाले गुणांक ⁿC_r ............................ को कहते हैं।
हल:
द्विपद गुणांक

प्रश्न 2.
(a + b)ⁿ के प्रसार में पदों की संख्या .................................. है जबकि n कोई धन पूर्णांक है।
हल:
(n + 1)

प्रश्न 3.
(a + b)ⁿ के प्रसार में व्यापक पद T_{r + 1} = ...........................
हल:
ⁿC_r a^{n - r} b^r

प्रश्न 4.
(a + b)ⁿ के प्रसार में यदि n सम धन पूर्णांक है तो मध्य पद .............................. वाँ पद है।
हल:
+ 1

प्रश्न 5.
(2x - 3y)⁹ में पदों की संख्या ................................... है।
हल:
10

प्रश्न 6.
(a + b + c)ⁿ के प्रसार में पदों की संख्या ......................................... होती है जबकि n धन पूर्णांक है।
हल:

प्रश्न 7.
(x + a)ⁿ - (x - a)ⁿ के प्रसार में कुल ................................ पद होते हैं यदि n सम धनात्मक संख्या है।
हल:

प्रश्न 8.
(x² - y)⁶ के प्रसार में व्यापक पद .................................... है|
हल:
(- 1)^{r 6}C_r x^{12 - 12r} y^r

प्रश्न 9.
के प्रसार में 11वाँ पद ..................................... है।
हल:
^-25C₁₅ ×

प्रश्न 10.
यदि (2 + a)⁵⁰ के प्रसार में 17 व 18वाँ पद समान है तो a का मान ................................ है।
हल:
1

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य / असत्य लिखिए-

प्रश्न 1.
के प्रसार में मध्य पद है।
हल:
सत्य

प्रश्न 2.
(x + 2y)⁹ के प्रसार में x⁶ y³ का गुणांक 627 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 3.
के प्रसार में x रहित पद 595 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 4.
के प्रसार में x^-17 का गुणांक - 1365 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 5.
के प्रसार में मध्य पद 252 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 6.
के प्रसार में x रहित पद T₅ है।
हल:
असत्य

प्रश्न 7.
यदि के प्रसार में x का गुणांक 270 है तब λ = 3
हल:
सत्य

प्रश्न 8.
(x + a)¹⁰⁰ + (x - a)¹⁰⁰ के प्रसार में पदों की कुल संख्या 50 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 9.
(1 + x)ⁿ (1 + )ⁿ के प्रसार में का गुणांक है।
हल:
सत्य

प्रश्न 10.
के प्रसार में x^-3 का गुणांक 330 m⁷ है।
हल:
असत्य

सही मिलान कीजिए-

हल:
1. (h) 
2. (t) 
3. (j) 
4. (1) 
5 (c)
6. (d) 
7. (a) 
8. (g) 
9. (e) 
10. (b)