RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Important Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Chapter 5 Important Questions सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण

अतिलघूतरात्मक प्रश्न- 

प्रश्न 1.
i⁴⁵⁷ का मान लिखिए।
हल:
i⁴⁵⁷ = i⁴⁵⁶ . i = (i⁴)¹¹⁴, i = 1, i = i

प्रश्न 2.
किस प्रतिबन्ध के अधीन दो सम्मिश्र संख्याओं x₁ + iy₁ और x₂ + iy₂ का योग एक शुद्ध काल्पनिक संख्या होगी?
हल्:
एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है यदि x₁ + x₂ = 0

प्रश्न 3.
किस प्रतिबन्ध के अधीन दो सम्मिश्र संख्याओं x₁ + iy₁ और x₂ + iy₂ का योग एक शुद्ध वास्तविक संख्या होगी?
हल:
योगफल वास्तविक है यदि y₁ + y₂ = 0

प्रश्न 4.
यदि z₁ = 2 + 3i तथा z₂ = 1 + 2i हो, तो \(\frac{z_1}{z_2}\) का मान लिखिए।
हल:

प्रश्न 5.
सम्मिश्र संख्या \(\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}\) को a + ib के रूप में लिखिए।
हल:

प्रश्न 6.
व्यंजक \(\frac{3-\sqrt{-16}}{1-\sqrt{-9}}\) को a + ib के रूप में लिखिए।
हल:

प्रश्न 7.
समीकरण (3x - 7) + 2iy = - 5y + (5 + x)i में x व y के मान बताइए।
हल:
x = - 1 तथा y = 2

प्रश्न 8.
सम्मिश्र संख्या 3 - 2i को इसके संयुग्मी से गुणा करने पर प्राप्त संख्या लिखिए।
हल:
9 + 4 = 13

प्रश्न 9.
(1 + i) को r(cos θ + i sin θ) के रूप में लिखिए।
हल:
1 + i = √2 \(\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \sin \frac{\pi}{4}\right)\)

प्रश्न 10.
(1 + i tan α) को r(cos θ + i sin θ) के रूप में लिखिए।
हल:
1 + i tan α = sec α (cos α + i sin α)

प्रश्न 11.
यदि z ∈ C आर्गेण्ड समतल में |z - (3 - 4i)| = 7 का बिन्दु पथ लिखिए।
हल:
|z - (3 - 4i)| = 7
|x + iy - 3 + 4i| = 7
\(\sqrt{(x-3)^2+(y+4)^2}\) = 7
∴ (x - 3)² + ( y + 4)² = 7

प्रश्न 12.
1 + i² + i⁴ + ............ + i²ⁿ का मान लिखिए।
हल:
1 + i² + i⁴ + ............ + i²ⁿ
= 1 - 1 + 1 - 1 + ................ + (- 1)ⁿ
स्पष्टतः यह n पर निर्भर है अतः मान ज्ञात नहीं कर सकते जब तक कि n ज्ञात न हो।

प्रश्न 13.
यदि z₁, z₂ तथा z₃ ∈ C तो \(\overline{z_1+z_2}\) का मान किसके बराबर होगा?
हल:
\(\overline{z_1+z_2}\) = \(\overline{z_1}+\overline{z_2}\)

लघत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक सम्मिश्र संख्याओं के संयुग्मी लिखिए-
2i, 3i - 5,7 + 11i, 12i + 9.
हल
2i का संयुग्मी = - 2i
31 - 5 का संयुग्मी = - 3i - 5
7 + 11i का संयुग्मी = 7 - 11i
12i + 9 का संयुग्मी = - 12i + 9.

प्रश्न 2.
निम्नलिखित के सरलतम मान ज्ञात कीजिए-
(a) i⁹
हल:
i⁹ = i⁸ . i = (i²)⁴ . i = (- 1)⁴ . i = i

(b) i⁵¹
हल:
i⁵¹ = i⁵⁰ . i = (i²)²⁵ . i = (- 1)²⁵ . i = - i

(c) i^-63
हल:
i^-63 = \(\frac{1}{i^{63}} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{i^{64}}=\frac{i}{\left(i^4\right)^{16}}\) = i [∵ i⁴ = 1]

(d) i³⁴²
हल:
i³⁴² = (i⁴)⁸⁵ . i² = (1)⁸⁵ . i² = 1 . i² = 1. - 1 = - 1

प्रश्न 3.
सम्मिश्र संख्या (-2 + 3i) का गुणन प्रतिलोम ज्ञात कीजिए ।
हल:
दिया है- z = - 2 + 3i

प्रश्न 4.
समीकरण \(\frac{x-1}{3+i}+\frac{y-1}{3-i}\) = i को हल करके x व y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
समीकरण (1 + i)y² + (6 + i) = (2 + i )x के लिए x व y के वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।
हल:
(1 + i) y² + (6 + i) = (2 + i)x
⇒ (y² + 6) + i (y² + 1) = 2x + ix
वास्तविक व सम्मिश्र भागों की तुलना करने पर
y² + 6 = 2x ............... (1)
तथा y² + 1 = x ..................... (2)
(1) व (2) को घटाने पर x = 5
x का मान समीकरण (1) में रखने पर y² + 6 = 10
y² = 10 - 6
y² = 4 ⇒ y = ± 2
अतः x = 5 तथा y = ± 2

प्रश्न 6.
निम्न का मान ज्ञात कीजिए-
(1 + i)⁸ + (1 - i)⁸
हल:
(1 + i)⁸ + (1 - i)⁸ = [(1 + i)²]⁴ + [(1 - i)²]⁴
= [1 + 2i + i²]⁴ + [1 - 2i + i²]⁴
= [1 + 2i - 1]⁴ + [1 - 2i - 1]⁴
= [2i]⁴ + [- 2i]⁴ = 16i⁴ + 16i⁴
= 16 × 1 + 16 × 1 ∵ i⁴ = 1
= 16 + 16 = 32

प्रश्न 7.
वृत्त zz̄ - (2 + 3i) z - (2 - 3i)z̄ की त्रिज्या व केन्द्र ज्ञात कीजिए जहाँ
z = x + iy
हल:
माना z = x + iy
तब z̄ = x - iy
दिया गया वृत्त का समीकरण
⇒ zz̄ (2 + 3i) z - (2 - 3i) z̄ + 9 = 0
⇒ (x + iy) (x - iy) - (2 + 3i) (x + iy) - (2 - 3i) (x = iy) + 9 = 0
⇒ x² - i²y² - x (2 + 3i) - iy (2 + 3i) - x (2 - 3i) + iy (2 - 3i) + 9 = 0
⇒ x² + y² + x (- 2 - 3i - 2 + 3i) + iy (2 - 3i - 2 - 3i) + 9 = 0 [∵ i² = - 1]
⇒ x² + y² + x (- 4) + iy (- 6i) + 9 = 0
⇒ x² + y² - 4x - 6yi² + 9 = 0
⇒ x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0 .........(1)
समीकरण (1) की तुलना वृत्त के व्यापक समीकरण से करने पर
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0
अभीष्ट केन्द्र = (- g, -ƒ) = (2, - 3)
तथा अभीष्ट त्रिज्या = \(\sqrt{g^2+f^2-c}\) = \(\sqrt{4+9-9}\)
= √4 = 2

प्रश्न 8.
यदि (cos θ + i sin θ)² = x + iy, सिद्ध कीजिए कि
x² + y² = 1
हल:
दिया है (cos θ + i sin θ)² = x + iy
∴ cos θ + i sin θ = \(\sqrt{x+i y}\) .......... (1)
दोनों पक्षों में संयुग्मी लेने पर
cos θ - i sin θ = \(\sqrt{x-i y}\) ........(2)
समीकरण (1) तथा (2) का गुणा करने पर
(cos θ + i sin θ) (cos θ - i sin θ) = \(\sqrt{x+i y} \times \sqrt{x-i y}\)
(cos θ)² - (i sin θ)² = \(\sqrt{(x+i y)(x-i y)}\)
cos² θ + sin² θ = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
⇒ 1 = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
∴ x² + y² = 1

प्रश्न 9.
यदि 2 कोई सम्मिश्र संख्या हो और 7 इसका संयुग्मी हो तो सिद्ध कीजिए-
z^-1 = \(\frac{\bar{z}}{|z|^2}\), जहाँ z ≠ 0
हल:

प्रश्न 10.
यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁, z₂ इस प्रकार हों कि |z₁| = |z₂| तो क्या तब z₁ = z₂ आवश्यक है ?
हल:

प्रश्न 11.
यदि x = - 5 + 2√–4 है, तो
x⁴ + 9x³ + 35x² - x + 4 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ x = - 5 + 2√-4
⇒ x + 5 = 2√-4
वर्ग करने पर
x² + 10x + 25 = - 16
⇒ x² + 10x + 41 = 0
अब x⁴ + 9x³ + 35x² - x + 4
= x² (x² + 10x + 41 ) - x (x² + 10x + 41) + 4(x² + 10x + 41) - 160
= (x² + 10x + 41) (x² - x + 4) - 160
= 0 (x² - x + 4) = - 160

प्रश्न 12.
यदि एक चर सम्मिश्र संख्या कीजिए कि कोणांक 2
हल:
दिया है- z = x + iy
अतः z̄ = x - iy

प्रश्न 13.
यदि z₁, z₂ ∈ c, तो सिद्ध कीजिए-
कोणांक (z₁ . z̄₂) = कोणांक ( z₁) - कोणांक (z₂)
हल:
माना कि z₁ = r₁ (cos θ₁ + i sin θ₁)
तथा z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)
कोणांक z₁ = θ₁ तथा z₂ = θ₂
अब z̄₂ = r₂ (cos θ₂ - i sin θ₂)
∴ z₁ = r₁ (cos θ₁ - i sin θ₁) . r₂ (cos θ₂ - i sin θ₂)
= r₁r₂ [(cos θ₁ - i sin θ₁) . (cos θ₂ - i sin θ₂)]
= r₁r₂ [cos θ₁ . cos θ₂ - i² sin θ₁ . sin θ₂ + i sin θ₁ . cos θ₂ - i sin θ₂ cos θ₁]
= r₁r₂ [cos θ₁ . cos θ₂ + sin θ₁ . sin θ₂ + i (sin θ₁ . cos θ₂ - sin θ₂ . cos θ₁)]
= r₁r₂ [cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)]
अतः कोणांक (z₁ . z̄₂) = (θ₁ - θ₂)
= कोणांक (z₁) - कोणांक (z₂)

प्रश्न 14.
समीकरण x² - 7ix - 12 = 0 को हल कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार x² - 7ix - 12 = 0
यहाँ a = 1, b = - 7i, c = - 12

प्रश्न 15.
यदि z = x +iy और ω = \(\frac{1-i z}{z-i}\) तब सम्मिश्र तल में |ω| = 1 क्या प्रदर्शित करता है?
हल:
ω = \(\frac{1-i z}{z-i}\)
तब \(\left|\frac{1-i z}{z-i}\right|\) = 1
⇒ |1 - iz| = |z - i|
⇒ |1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|
⇒ |1 + y - ix| = |x + i(y - 1)|
⇒ \(\sqrt{(1+y)^2+(-x)^2}\) = \(\sqrt{x^2+(y-1)^2}\)
⇒ 1 + y² + 2y + x² = x² + y² + 1 - 2y
⇒ 4y = 0
⇒ y = 0
अत: z = x + iy = x, इसलिए z वास्तविक अक्ष पर स्थित है ।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि |z₁| = |z₂| और कोणांक z₁ + कोणांक z₂ = 0 तो सिद्ध कीजिए कि z₁ और z₂ संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ होंगी।
हल:
माना कि z₁ = x₁ + iy₁
तथा z₂ = x₂ + iy₂
तब |z₁| = |z₂| से
⇒ \(\sqrt{x_1^2+y_1^2}\) = \(\sqrt{x_2^2+y_2{ }^2}\)
⇒ x₁² + y₁² = x₂² + y₂² .............. (1)

⇒ y₁x₂ = - x₁y₂
⇒ (x₁y₂ + y₁x₂) = 0 ................... (2)
समीकरण (1) तथा (2) से
x₁ = x₂ तथा y₁ = - y₂
अर्थात् z₁ = x₁ + iy₁
तथा z₂ = x₁ + iy₂
= x₁ - iy₁
अर्थात् z₁ तथा z₂ संयुग्मी हैं।

प्रश्न 2.
यदि |z| = 1, तो सिद्ध करो कि \(\frac{z-1}{z+1}\), (z ≠ −1) एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। यदि z = 1, तो इससे आप क्या निष्कर्ष निकालते हैं?
हल:
माना z = x + iy

अतः \(\frac{z-1}{z+1}\) पूर्णतया एक काल्पनिक संख्या है जब |z| = 1, (z ≠ -1).
पुन: यदि z = 1 तब \(\frac{z-1}{z+1}=\frac{0}{1+1}\) = 0 जो कि एक वास्तविक संख्या है।

प्रश्न 3.
यदि z₁, z₂, z ∈ C हो तो सिद्ध कीजिए-
(i) |z₁ - z₂| ≤ | z₁ | + | z₂ |
हल:

(ii) |z₁ + z₂| ≥ |z₁| - |z₂|
हल:

प्रश्न 4.
यदि x + iy = \(\frac{\mathrm{C}+i}{\mathrm{C}-i}\), जहाँ C एक वास्तविक संख्या है तो सिद्ध कीजिए-
x² + y² = 1 और \(\frac{y}{x}=\frac{2 C}{C^2-1}\)
हल:
दिया है

प्रश्न 5.
यदि |Z₁ + Z₂| = |Z₁ - z₂| तो सिद्ध कीजिए कि कोणांक z₁ - कोणांक z₂ = ± \(\frac{\pi}{2}\) या ± \(\frac{3 \pi}{2}\)
हल:
माना Z₁ = x₁ + iy₁
Z₂ = x₂ + iy₂ x₁, y₁, x₂, y₂ ∈ R
तब कोणांक (z₁) = tan^-1 \(\left(\frac{y_1}{x_1}\right)\) ................. (1)
तथा कोणांक (z₂) = tan^-1 \(\left(\frac{y_2}{x_2}\right)\) ................. (2)
तथा (Z₁ + Z₂) = (X₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂)
= (x₁ + x₂) + i (Y₁ + Y₂) .................... (3)
तथा (Z₁ - Z₂) = (X₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂)
= (x₁ - x₂) + i (Y₁ + Y₂) .................... (4)
दिया है- |z₁ + z₂| = |z₁ - z₂|
⇒ \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2+\left(y_1+y_2\right)^2}=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)
दोनों तरफ का वर्ग करने पर
(x₁ + x₂)² + (y₁ + y₂)² = (x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²
⇒(x₁ + x₂)² - (x₁ - x₂)² = (y₁ - y₂)² - (y₁ + y₂)²
⇒(x₁ + x₂ + x₁ - x₂) (x₁ + x₂ - x₁ + x₂) = (y₁ - y₂ + y₁ + y₂) × (y₁ - y₂ - y₁ - y₂)
⇒ 2x₁ × 2x₂ = 2y₁ × (- 2y₂)
⇒ x₁x₂ + y₁y₂ = 0 ....................... (5)
पुन: कोणांक (z₁) - कोणांक (z₂)

प्रश्न 6.
यदि z = x + iy तथा arg\(\left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{6}\) तब बिन्दु का बिन्दु पथ ज्ञात कीजिए|
हल:

बहुचयनात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
\(\frac{1+i}{1-i}\) का कोणांक है -
(A) \(\frac{\pi}{4}\)
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) \(\frac{3 \pi}{4}\)
(D) 0
हल:
(B) \(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि z₁, z₂ ∈ C तो कौनसा कथन सत्य है-
(A) |z₁ - z₂| = |z₁| + |Z₂|
(B) |z₁ - z₂| > |z₁| + |z₂|
(C) |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
(D) |z₁ + z₂| = |z₁ - z₂|
हल:
(C) |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

प्रश्न 3.
यदि z = x + iy तथा \(\frac{z-5 i}{z+5 i}\) = 1 तो 2 स्थित है-
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) y = 5 रेखा पर
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) x-अक्ष पर

प्रश्न 4.
\(\frac{5(-8+16 i)}{(1+i)^2}\) के वास्तविक तथा काल्पनिक भाग हैं-
(A) 40, 20
(B) - 40,- 20
(C) 20, 40
(D) - 20,- 40
हल:
(A) 40, 20

प्रश्न 5.
यदि 2 + (2a + 5ib) = 8 + 10i, तब-
(A) a = 2, b = 3
(B) a = 3, b = 2
(C) a = 2, b = 2
(D) a = 3, b = 3
हल:
(B) a = 3, b = 2

प्रश्न 6.
\(\frac{3+2 i}{5-3 i}\) का संयुग्मी है-
(A) \(\frac{1}{34}\) (19i - 9)
(B) \(\frac{1}{34}\) (9 - 19i)
(C) \(\frac{-1}{34}\) (9 + 19i)
(D) \(\frac{1}{34}\) (9 + 19i)
हल:
(B) \(\frac{1}{34}\) (9 - 19i)

प्रश्न 7.
एक पूर्णतः वास्तविक सम्मिश्र संख्या स्थित है
(A) x-अक्ष पर
(B) y-अक्ष पर
(C) किसी भी अक्ष पर
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) x-अक्ष पर

प्रश्न 8.
यदि \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^n\) = 1 हो तो पूर्णांक n का न्यूनतम मान है-
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
हल:
(B) 4

प्रश्न 9.
\(\frac{(1-i)}{(1+i)}\) का वास्तविक भाग है-
(A) 1
(B) - 1
(C) 0
(D) 2
हल:
(C) 0

प्रश्न 10.
यदि (x + iy) (2 - 3i) = 4 + i तो x + iy बराबर है-

हल:
(B) \(\frac{5}{13}+i \frac{14}{13}\)

प्रश्न 11.
\(\frac{i^{4 R+1}-i^{4 R-1}}{2}\) (R ∈ N) बराबर है-
(A) 2
(B) - i
(C) - 1
(D) i
हल:
(D) i

प्रश्न 12.
यदि (x - iy) (1 - i) = 1 + 5i तो
(A) x = 2, y = 3
(B) x = 2, y = - 3
(C) x = - 2, y = - 3
(D) x = 2, y = 3
हल:
(C) x = - 2, y = - 3

प्रश्न 13.
यदि z = \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\), तो z^-1 बराबर है-

हल:
\(\left(\frac{2}{5},-\frac{4}{5}\right)\)

प्रश्न 14.
माना z एक सम्मिश्र संख्या है, तब z + z̅ है-
(A) पूर्णतः वास्तविक
(B) पूर्णतः काल्पनिक
(C) कुछ नहीं कहा जा सकता
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
(A) पूर्णतः वास्तविक

प्रश्न 15.
सम्मिश्र संख्याएँ sin x + i cos 2x और cos x - i sin 2x संयुग्मी होंगी जबकि
(A) x = nπ
(B) x = (n + \(\frac{1}{2}\))π
(C) x = 0
(D) x का कोई मान नहीं
हल:
(D) x का कोई मान नहीं

प्रश्न 16.
किसी सम्मिश्र संख्या 2 के लिए 2 + 2 और 22 होते हैं-
(A) दोनों वास्तविक
(B) दोनों काल्पनिक
(C) केवल एक वास्तविक
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं
हल:
(A) दोनों वास्तविक

प्रश्न 17.
यदि (3, 4), (2, 5) और ( -9, 16 ) तीन सम्मिश्र संख्याएँ हैं तो-
(A) ये समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं
(B) समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं
(C) ये समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं
(D) यह संरेख है
हल:
(D) यह संरेख है

प्रश्न 18.
एक सम्मिश्र संख्या पूर्णतः काल्पनिक है यदि-
(A) इसका काल्पनिक भाग शून्य है
(B) इसके दोनों काल्पनिक तथा वास्तविक भाग शून्य हैं 1
(C) वास्तविक भाग शून्य है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
(C) वास्तविक भाग शून्य है।

प्रश्न 19.
\(\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^8+\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)^8\) बराबर है-
(A) 2i
(B) - 2i
(C) 2
(D) - 2
हल:
(C) 2

प्रश्न 20.
समीकरण x² + 2 = 0 का हल होगा-
(A) ± √31
(B) ± √5 i
(C) ± √2 i
(D) 0
हल:
(C) ± √2 i

प्रश्न 21.
कथन (a + ib) < (c + id) निम्न में से किसके लिए सत्य है-
(A) a² + b² = 0
(B) a² + c² = 0
(C) a² + c² = 0
(D) b² + d² = 0
हल:
(D) b² + d² = 0

प्रश्न 22.
यदि \(\left[\frac{1-i}{1+i}\right]^{100}\) = a + ib, तो-
(A) a = 2, b = - 1
(B) a = 1, b = 0
(C) a = 0, b = 1
(D) a = - 1 , b = 2
हल:
(C) a = 0, b = 1

प्रश्न 23.
0 का कोणांक है-
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) π
(D) None
हल:
(C) π

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

प्रश्न 1.
सम्मिश्र संख्या z = a + ib के लिए a, ...................... भाग तथा b, .............................. भाग कहलाता है।
हल:
वास्तविक, काल्पनिक

प्रश्न 2.
सम्मिश्र संख्या z = a + ib का गुणात्मक प्रतिलोम ................................... है।
हल:
\(\frac{a}{a^2+b^2}+i \frac{-b}{a^2+b^2}\)

प्रश्न 3.
किसी पूर्णांक n के लिए (i)^{4n + 2} = ............................
हल:
- 1

प्रश्न 4.
सम्मिश्र संख्या Z = - i का संयुग्मी z̄ = ...............................
हल:
+i

प्रश्न 5.
n घात वाले बहुपद समीकरण के ............................ मूल होते हैं।
हल:
n

प्रश्न 6.
z = r(cos θ+ i sin θ), सम्मिश्र संख्या का ............................ रूप कहलाता है।
हल:
ध्रुवीय

प्रश्न 7.
सम्मिश्र संख्या का योगात्मक तत्समक .................................. है।
हल:
z = 0 + i0

प्रश्न 8.
√-4 × \(\sqrt{\frac{-9}{4}}\) = .............................
हल:
- 3

प्रश्न 9.
1 + i¹⁰ + i²⁰ + i³⁰ एक .............................. संख्या है।
हल:
वास्तविक

प्रश्न 10.
(1 + i)⁶ + (1 - i)³ = .............................. .
हल:
-2 - 10i

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य / असत्य लिखिए-

प्रश्न 1.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ व z₂ के लिए z₁ + z₂ = z₂ + z₁
हल:
सत्य

प्रश्न 2.
z = 3 - 2i का गुणन प्रतिलोम \(\frac{3}{13}-\frac{2}{13}\)i है।
हल:
असत्य

प्रश्न 3.
|z₁z₂| = |z₁| |z₂|
हल:
सत्य

प्रश्न 4.
|z₁ + z₁| = |z₁|² + |z₂|² + 2 Re (z₁ z̄₂)
हल:
सत्य

प्रश्न 5.
i का वर्गमूल ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (1 + i ) होता है।
हल:
सत्य

प्रश्न 6.
z = \(\frac{1-\sqrt{3 i}}{1+\sqrt{3} i}\) का कोणांक 260° है।
हल:
असत्य

प्रश्न 7.
यदि z = \(\frac{1+i}{1-i}\), तब z⁴ का मान - 2 है।
हल:
असत्य

प्रश्न 8.
यदि a व b, समीकरण x² + x + 1 = 0 के मूल हैं, तब a² + b² = - 1 है।
हल:
सत्य

प्रश्न 9.
यदि α व β समीकरण 4x² + 3x + 7 = 0 के मूल हैं तब \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) का मान \(\frac{3}{7}\) है।
हल:
असत्य

प्रश्न 10.
k का न्यूनतम मान जबकि समीकरण x² + 5x + k = 0 के मूल काल्पनिक हों, 7 होगा।
हल:
सत्य

सही मिलान कीजिए-

भाग (A)	भांग (B)
1. समीकरण x2 - 5ix - 6 = 0 के मूल	(a) 0
2. समीकरण x2 - 4x + 13 = 0 के मूल	(b) π/4
3. (1 + i) (1 + i2)(1 + i3)(1 + i4) का मान	(c) π
4. a = 1+ i तब a 2 का मान	(d) - i
5. \(\frac{1}{1+i}\) का कोणांक	(e) 2
6. - 4 का कोणांक	(f) 2 + 3i, 2 – 3i
7.-  i का वर्गमूल	(g) 2i
8. i135	(h) ± \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) (1 – i)
9. i-999	(i) 3i, 2i
10. \(\left|\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\right|\)	(j) i

हल:
1. (i)
2. (f)
3. (a)
4. (g)
5. (b)
6. (c)
7. (h)
8. (d)
9. (j)
10. (e)