RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 13 सीमा और अवकलज

Rajasthan Board RBSE Class 11 Maths Important Questions Chapter 13 सीमा और अवकलज Important Questions and Answers.

RBSE Class 11 Maths Chapter 13 Important Questions सीमा और अवकलज

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}\) का मान लिखिए ।
हल:
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x}\) = 1 होता है।
∵ यह मानक सूत्र है ।

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\) e^{\(\frac{1}{x}\)} का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\) e^{\(\frac{1}{x}\)} = e^{\(\frac{1}{2^{\infty}}\)} = e⁰ = 1

प्रश्न 3.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) की मानक सीमा का मान क्या होगा?
हल:
e.

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (x . cot x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (e^x - 1) का मान क्या होगा ?
हल:

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (ax² + bx + c) for
हल:
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (ax² + bx + c)
= 0 + 0 + c = c

प्रश्न 7.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{x}\) का मान लिखिए।
हल:

= 2.1. cos 0 = 2.1.1 = 2

प्रश्न 8.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-3 x+2}{x^2+x-6}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^4-3 x^3+2}{x^3-5 x^2+3 x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
मान ज्ञात कीजिए- \(\lim _{x \rightarrow 0}\) \(\frac{(1-x)^n-1}{x}\)
हल:

जबकि y = 1 - x यदि x → 0, y = 1 − x ⇒ y → 1
= - n(1)^{n - 1} = - n

प्रश्न 11.
\(\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}\), m, n ∈ N, a > 0
हल:

प्रश्न 12.
\(\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{1-\cos \theta}{\theta}\) का मान लिखिए|
हल:

प्रश्न 13.
फलन y = \(\frac{1}{\sin x}\) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल:
y = \(\frac{1}{\sin x}\) = cosec x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = - cosec x . cot x

प्रश्न 14.
फलन \(\frac{e^x}{x}\) का x के सापेक्ष अवकलन क्या होगा?
हल:

लघूत्तरात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
यदि f(x) = \(\frac{|x-1|}{x-1}\), तो दिखाइए कि \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) अस्तित्वविहीन है।
हल:
जब x > 1, |x - 1| = x - 1

प्रश्न 2.
यदि \(\lim _{x \rightarrow 0}\) kx cosec x = \(\lim _{x \rightarrow 0}\) x . cosec kx, तब k के सभी सम्भव मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
यदि

और \(\lim _{x \rightarrow 2}\) f(x) का अस्तित्व है, तो K का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
बायीं सीमा (L. H. L.) \(\lim _{h \rightarrow 0}\) 2( 2 - h) + 3 = 7
दायीं सीमा (R.H.L.) \(\lim _{h \rightarrow 0}\) 3(2 + h) + K = 6 + K
\(\lim _{x \rightarrow 2}\) f (x) का अस्तित्व है।
∴ L.H.L. R.H.L.
∴ 7 = 6 + K
K = 1

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow a} \frac{a \sin x-x \sin a}{a x^2-a^2 x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^m-1}{x^n-1}\) का मान निकालिए|
हल:

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2 x}-\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 a+x}-2 \sqrt{x}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{(\pi-2 x)^2}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots \ldots+n^2}{n^3}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ हम जानते हैं कि 1² + 2² + 3² + ................. + n² = Σn² = \(\frac{1}{6}\) n(n + 1) (2n + 1)

प्रश्न 9.
\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots \ldots+\frac{1}{3^n}\right]\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots \ldots+\frac{1}{3^n}\right]\)
हम जानते हैं कि गुणोत्तर श्रेढ़ी का योग = \(\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\), जबकि r < 1 इसलिए इस श्रेणी का योग का मान होगा-

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}\) = - 1
हल:

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि \(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{4+x}-\sqrt{5}}{x-1}=\frac{\sqrt{5}}{10}\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin ^2 2 x}{\cos ^2 \frac{1}{2} x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
फलन e^x sin x + xⁿ cos x का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल:
माना कि y = e^x sin x + xⁿ cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
∴ \(\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}\) (e^x . sin x) + \(\frac{d}{d x}\) (xⁿ . cos x)
= e^x \(\frac{d}{d x}\) (sin x) + sin x \(\frac{d}{d x}\) (e^x) + xⁿ . \(\frac{d}{d x}\) (cos x) + cos x \(\frac{d}{d x}\) (xⁿ)
= e^x cos x + sin x . e^x + xⁿ (- sin x) + cos x . nx^{n - 1}
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x cos x + e^x sin x - xⁿ sin x + n . x^{n - 1} cos x

निबन्धात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
फलन \(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल:
माना कि y = \(\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.
फलन \(\frac{\sin x-x \cos x}{x \sin x+\cos x}\) का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
हल:

बहुचयनात्मक प्रश्न-

प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^2+3 x+2}{x^2+x+1}\) का मान होगा-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 5
हल:
(D) 5

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 4 x}{\tan 3 x}\) का मान होगा-
(A) \(\frac{3}{4}\)
(B) \(\frac{4}{3}\)
(C) 0
(D) 1
हल:
(B) \(\frac{4}{3}\)

प्रश्न 3.
निम्न में से कौनसी सीमा विद्यमान नहीं है-

हल:
(D) उपर्युक्त में से कोई नहीं

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin \alpha x}{\sin \beta x}\right]^{\frac{1}{n}}\) का मान होगा-

हल:
(A) \(\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\frac{1}{n}}\)

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 x}{2 x}\) का मान बराबर होगा-
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) 1
(D) 2
हल:
(A) 0

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^0}{x}\) का मान है.
(A) 0
(B) 1
(C) \(\frac{\pi}{180}\)
(D) π
हल:
(C) \(\frac{\pi}{180}\)

प्रश्न 7.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)\) का मान होगा-
(A) n²
(B) n
(C) n - 1
(D) n + 1
हल:
(B) n

प्रश्न 8.
\(\lim _{m \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{-m}\) का मान बराबर होगा
(A) 0
(B) ∞
(C) e
(D) e^-1
हल:
(C) e

प्रश्न 9.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-e^{-x}}{x}\) का मान है-
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) - 1
हल:
(B) 2

प्रश्न 10.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-2 x}{2 \sin x}\) का मान है-
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) - 1
हल:
(D) - 1

प्रश्न 11.
\(\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x}{\tan ^2 x}\) का मान होगा-
(A) - \(\frac{1}{2}\)
(B) 0
(C) \(\frac{1}{2}\)
(D) 1
हल:
(C) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 12.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{e^x}{x}\) का मान है-
(A) 0
(B) ∞
(C) 1
(D) विद्यमान नहीं
हल:
(D) विद्यमान नहीं

प्रश्न 13.
xⁿ का अवकलज है-
(A) x^{n - 1}
(B) (n - 1) x^{n - 2}
(C) n x^{n - 1}
(D) \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)
हल:
(C) n x^{n - 1}

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) का अवकलज है-
(A) \(\frac{1}{2 x \sqrt{x}}\)
(B) - \(\frac{1}{2 x \sqrt{x}}\)
(C) 2x√x
(D) - 2x√x
हल:
(B) - \(\frac{1}{2 x \sqrt{x}}\)

प्रश्न 15.
\(\frac{d}{d x}\) (5^x) बराबर है-
(A) 5^x
(B) 10^x
(C) 10^x log_e 5
(D) 5^x log_e 5
हल:
(D) 5^x log_e 5

प्रश्न 16.
\(\frac{d}{d x}\) (log_a x) बराबर है-

हल:
(A) \(\frac{1}{x \cdot \log _e a}\)

प्रश्न 17.
यदि f(x) = x³ + 6x² - 5 तब f'(1) बराबर है-
(A) 0
(B) 9
(C) 4
(D) 15
हल:
(D) 15

प्रश्न 18.
sec x° का अवकलज है-
(A) sec x° tan x°
(B) \(\frac{\pi}{180}\) sec x tan x
(C) \(\frac{\pi}{180}\) sec x° tan x°
(D) sec x tan x
हल:
(C) \(\frac{\pi}{180}\) sec x° tan x°

प्रश्न 19.
यदि f (x) = \(\frac{2 x+c}{x-1}\) तथा f'(0) = 0 तब C का मान-
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) - 2
हल:
(D) - 2

प्रश्न 20.
log_e √x का अवकलज है.
(A) \(\frac{1}{2 x}\)
(B) \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\)
(C) 2√x
(D) \(\frac{1}{2}\) √x
हल:
(A) \(\frac{1}{2 x}\)

प्रश्न 21.
यदि \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log (3+x)-\log (3-x)}{x}\) = k, तो K के मान हैं-
(A) 0
(B) - \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) -\(\frac{2}{3}\)
हल:
(C) \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 22.
यदि \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[(a-n) n x-\tan x] \sin x}{x^2}\) = 0 जहाँ n अशून्य वास्तविक संख्या है, तो a बराबर है-
(A) 0
(B) \(\frac{n+1}{n}\)
(C) n
(D) n + \(\frac{1}{n}\)
हल:
(D) n + \(\frac{1}{n}\)

प्रश्न 23.
यदि \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}\right)^{2 x}\) = e², तो a तथा b के मान होंगे-
(A) a ∈ R, b = 2
(B) a = 1, b ∈ R
(C) a ∈ R, b ∈ R
(D) a = 1, b = 2
हल:
(B) a = 1, b ∈ R

प्रश्न 24.
यदि

इस प्रकार है कि \(\lim _{x \rightarrow \alpha}\) f(x) = 1, तो l बराबर है-
(A) 2d - b
(B) 2b - d
(C) 2d + b
(D) b - 2d
हल:
(A) 2d - b

प्रश्न 25.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos 2 x}}{\sqrt{2} x}\) बराबर है-
(A) 1
(B) - 1
(C) 0
(D) विद्यमान नहीं है
हल:
(A) 1

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो-

प्रश्न 1.
\(\frac{d}{d x}\)(sin x) = ...........................
हल:
cos x

प्रश्न 2.
\(\frac{d}{d x}\) (cos x) = ...............................
हल:
- sin x

प्रश्न 3.
\(\frac{d}{d x}\) xⁿ = .................................
हल:
nx^{n - 1}

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^n-a^n}{x-a}\) = ....................................
हल:
na^{n - 1}

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}\) = .......................................
हल:
1

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x}\) = ......................................
हल:
0

प्रश्न 7.
यदि किसी बिन्दु पर बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष की सीमाएँ सम्पाती न हों तो यह कहा जाता है कि उस बिन्दु पर फलन की ............................... का अस्तित्व नहीं है।
हल:
सीमा

प्रश्न 8.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-4}{x+3}\) = .....................................
हल:
0

प्रश्न 9.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{1+x}\) = .....................................
हल:
2

प्रश्न 10.
\(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^3+1}{x+1}\) = .................................
हल:
3

निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य / असत्य लिखिए-

प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^2-16}{\sqrt{x}-2}\) = 23
हल:
असत्य

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^2-9\right)\left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-3}\right)\) = 6
हल:
सत्य

प्रश्न 3.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{3-x}-1}{2-x}=\frac{1}{2}\)
हल:
सत्य

प्रश्न 4.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\) = 3
हल:
सत्य

प्रश्न 5.
\(\lim _{x \rightarrow \cdots} \frac{5 x-6}{\sqrt{4 x^2}+9}=\frac{2}{5}\)
हल:
असत्य

प्रश्न 6.
\(\lim _{x \rightarrow \infty}\) (√x + 1 - √x) = 1
हल:
असत्य

प्रश्न 7.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x}{x}\) = 1
हल:
असत्य

प्रश्न 8.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 3 x}{x^2}\) = 9
हल:
सत्य

प्रश्न 9.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2 x}{(\pi-2 x)^2}=\frac{1}{2}\)
हल:
सत्य

प्रश्न 10.
\(\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos x}{\tan ^2 x}\) = 2
हल:
असत्य

सही मिलान कीजिए-

हल:
1. (c)
2. (e)
3. (j)
4. (h)
5. (b)
6. (i)
7. (d)
8. (a)
9. (f)
10. (g)