RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.5

प्रश्न 1.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं को प्रयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए
(i) (x + 4) (x + 10)
हल:
(x + 4) (x + 10) दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 व b = 10 है।
(x + 4) (x + 10) = x² + (4 + 10) x + 4.10
= x² + 14x + 40

(ii) (x + 8) (x - 10)
हल:
(x + 8) (x - 10)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 8 तथा b = - 10
अर्थात् (x + 8) (x - 10)= x + (8 - 10)x + 8 (- 10)
= x² - 2x - 80

(iii) (3x + 4) (3x - 5)
हल:
(3x + 4) (3x - 5) यहाँ माना 3x = ।
∴ दिया गया व्यंजक = (y + 4) (y - 5)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = 4 तथा b = -5
अर्थात् (y + 4) (y - 5) = y² + (4 - 5)y +4. (-5)
= y² - y - 20

अब पुनः y का मान रखने पर
= (3x)² - 3x - 20
= 9x² - 3x - 20

(iv) (y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² - \(\frac{3}{2}\))
हल:
(y² + \(\frac{3}{2}\)) (y² - \(\frac{3}{2}\))
यहाँ माना y² = x
∴ दिया गया व्यंजक = (x + \(\frac{3}{2}\))(x - \(\frac{3}{2}\))

सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर,
यहाँ a = \(\frac{3}{2}\), b = -\(\frac{3}{2}\)
अर्थात् (x + \(\frac{3}{2}\))(x - \(\frac{3}{2}\)) = x² + \(\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)\)x - \(\frac{9}{4}\)
= x² - \(\frac{9}{4}\)

अब पुनः x का मान रखने पर
= (y)² - \(\frac{9}{4}\)
= y² - \(\frac{9}{4}\)

(v) (3 - 2x) (3 + 2x)
हल:
(3 - 2x) (3 + 2x)
= - (2x - 3) (2x + 3)
= - (2x + 3) (2x - 3)

यहाँ माना 2x = y
∴ दिया गया व्यंजक = - (y + 3) (v - 3)
दी गई सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर, यहाँ a = 3, b = - 3
अर्थात् - (y + 3) (y - 3)
= - [y² + (3 - 3) y - 9]
= - [y² - 9] के स्थान पर 2x मान प्रतिस्थापित करने पर
= - [(2x)²- 9] = - [4x² - 9]
= 9 - 4x²

प्रश्न 2.
सीधे गुणा किए बिना निम्नलिखित गुणनफलों के मान ज्ञात कीजिए-
(i) 103 × 107
हल:
103 × 107 = (100 + 3) x (100 + 7)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 3, b = 7 तथा x = 100 अर्थात् (100 + 3) (100 + 7)
= (100) + (3 + 7) 100 + 3 × 7 = 10000 + 1000 + 21
= 11021

(ii) 95 × 96
हल:
95 × 96 = (100 - 5) (100 - 4)
सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर
यहाँ a = - 5, b = - 4 तथा x = 100 अर्थात् (100 - 5) (100 - 4)
= (100) + (-5 - 4) 100 + -5 × - 4
= 10000 - 900 + 20 = 10020 - 900
= 9120

(iii) 104 × 96
हल:
104 × 96 = (100 + 4) (100 - 4)
= (100)² - (4)² सर्वसमिका a² - b² = (a + b) (a – b) का प्रयोग करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 4
अर्थात् (100)² - (4)²
= 10000 - 16
= 9984

प्रश्न 3.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 9x² + 6xy + y²
हल:
9x² + 6xy + y²
सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर
अर्थात् 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2 (3x) (y) + (y)²
= (3x + y) = (3x + y) (3x + y)

(ii) 4y² - 4y + 1
हल:
4y² - 4y + 1
सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर अर्थात् 4y² - 4y + 1
= (2y)² - 2 (2y) (1) + (1)²
= (2y - 1)²
= (2y - 1) (2y - 1) उत्तर

(iii) x² - \(\frac{y^{2}}{100}\)
हल:
x² - \(\frac{y^{2}}{100}\)
सर्वसमिका a² - b² = (a - b) (a + b) का प्रयोग करने पर
अर्थात् x² - \(\frac{y^{2}}{100}\)
= (x + \(\frac{y}{10}\))(x - \(\frac{y}{10}\))

प्रश्न 4.
उपयुक्त सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का प्रसार कीजिए
(i) (x + 2y + 4z)²
हल:
(x + 2y + 4z)²
सर्वसमिका (a + b + c) = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद
(x + 2y + 4z)² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
a = x, b = 2y तथा c = 4z
(x + 2y + 4z)² = (x)² + (2y)² + (4z)² + 2 . x. 2y + 2 . 2y . 4z + 2 . 4z . x
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz.

(ii) (2x - y + z)²
हल:
(2x - y + z)² = [2x + (- y) + z]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [2x + (-y) + z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[2x + (-y) + 2]² = (2x)² + (-y)² + (z)² + 2 (2x) (-y) + 2 (-y) (2) + 2 (2) (2x)
= 4 + y + z - 4xy - 2yz + 4zx

(iii) (- 2x + 3y + 2z)²
हल:
(- 2x + 3y + 2z)² = [(- 2x) + 3y + 22]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार पद [(- 2x) + 3y + 2z]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(- 2x) + 3y + 2z]² = (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2 (- 2x) (3y) + 2 (3y) (27) + 2 (25) (-2x)
= 4x² + 9y² + 4z² - 12xy + 12yz - 8x

(iv) (3a - 7b - c)²
हल:
(3a - 7b - c)² = [(3a) + (-7b) + (-c)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(3a) + (-7b) + (-c)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर
[(3a) + (-7b) + (-c)]² = (3a)² + (-7b)² + (- c)² + 2 (3a) (- 7b) + 2 (- 7b)(-c) + 2 (- c) (3a)
= 9a² + 49b² + c² - 42ab + 14bc - 6ca

(v) (- 2x + 5y - 3z)²
हल:
(- 2x + 5y - 3z)² = [(-2x) + 5y + (-3z)]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
पद [(-2x) + 5y + (-3z)]² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर [(- 2x) + 5y + (-3z)]² = (- 2x)² + (5y)² + (-3z)² + 2 (- 2x) (5y) + 2 (5y)(-3z) + 2 (-3z) (-2x)
= 4x² + 25y² + 9z² - 20xy – 30yz + 12xz.

(vi) [\(\frac{1}{4}\)a - \(\frac{1}{2}\)b + 1]²
हल:
[\(\frac{1}{4}\)a - \(\frac{1}{2}\)b + 1]²
सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार की तुलना करने पर

पद [(\(\frac{1}{4}\)a) + (- \(\frac{1}{2}\)b) + (1)² तथा (a + b + c)² की तुलना करने पर

प्रश्न 5.
गुणनखण्डन कीजिए
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy - 24yz - 16xz.
हल:
4x² + 9y² + 16z² + 12xy - 24yz - 16xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार = (2x)² + (3y)² + (-4z)² + 2 (2x) (31) + 2 (3y) (-4z) + 2 (-4z) (2x)
= (2x + 3y - 4z)² = (2x + 3y -4z) (2x + 3y - 47)

(ii) 2x² + y² + 8z² - 2√2xy + 4√2yz - 8xz.
हल:
2x² + y² + 8z² - 2√2xy + 4√2yz - 8xz.
सर्वसमिका a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के अनुसार
= (-√2x)² + (y)² + (2√2)² +2(-√2x)(y) + 2(y) (2√2z) + 2(2√2z)(-√2x)
= [(-√2x) + y + (2√2z)]
= (-√2x + y + 2√2z)
=(-√2x + y + 2√2z)(-√2x + y+2√2z)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित घनों को प्रसारित रूप में लिखिए
(i) (2x + 1)³
हल:
(2x + 1)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (2x + 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2x तथा b = 1
∴ (2x + 1)³
= (2x)³ + (1)³ + 3 (2x ). 1 . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 6x . (2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1 उत्तर

(ii) (2a - 3b)³
हल:
(2a - 3b)³
सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a - b)³ तथा [(2a) - (3b)]³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 2a तथा b = 3b
∴ (2a - 3b)³
= (2a)³ - (3b)³ -3 (2a) (3b) (2a - 3b)
= 8a³ - 27b³ - 18ab (2a - 3b)
= 8a³ - 27b³ - 36a²b + 54ab²

(iii) [\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
हल:
[\(\frac{3}{2}\)x + 1]³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (x + 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = \(\frac{3}{2}\)x तथा b = 1

(iv) [x - \(\frac{3}{2}\)y]³
हल:
[x - \(\frac{3}{2}\)y]³
सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) के अनुसार
अब पद (a - b)³ तथा (x - \(\frac{3}{2}\)y)³³ की तुलना करने पर

प्रश्न 7.
उपयुक्त सर्वसमिकाएँ प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) (99)³
हल:
(99)³ = (100 - 1)³
सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a - b)³ तथा (100 - 1)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 100 तथा b = 1
∴ (100 – 1)³ = (100)³ - (1)³ - 3(100) (1) (100 - 1)
= 1000000 - 1 - 300 (100 - 1)
= 1000000 - 1 - 30000 + 300
= 1000300 - 30001
= 970299

(ii) (102)³
हल:
(102)³ = (100 + 2)³
सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b) के अनुसार
अब पद (a + b)³ तथा (100 + 2)³ की तुलना करने पर ।
यहाँ a = 100 तथा b = 2
∴ (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100) (2) (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 600 (100 + 2)
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200
= 1061208

(iii) (998)³
हल:
(998)³ = (1000 - 2)³
सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b) के अनुसार
अब पद (a - b)³ तथा (1000 - 2)³ की तुलना करने पर
यहाँ a = 1000 तथा b = 2
:. (1000 - 2)³ = (1000)³ - (2)³ - 3(1000) (2) (1000 - 2)
= 1000000000 - 8 - 6000 (1000 – 2)
= 1000000000 -8-6000000 + 12000
= 1000012000 - 6000008
= 994011992

प्रश्न 8.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 8a³ + b³ + 12a²b+ 6ab²
हल:
8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
[सर्वसमिका x³ + y ³+ 3xy (x + y) = (x + y)³ के अनुसार]
यहाँ x = 2a तथा y = b दिए हुए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है
∴ = (2a)³ + (b)³ + 3(2a) (b) (2a + b)
= (2a + b)³

(ii) 8a³ - b³ - 12a²b + 6ab²
हल:
8a³ - b³ - 12a²b + 6ab²
सर्वसमिका x³ - y³ - 3xy (x - y) = (x - y)³ के अनुसार
यहाँ x = 2a, y = b
∴ = (2a)³ - (b)³ - 3 (2a) (b) (2a - b)
= (2a - b)³

(iii) 27 - 125a³ – 135a + 225a²
हल:
27 - 125a³ - 135a + 225a²
सर्वसमिका x³ - y³ - 3xy (x - y) = (x - y)³ के अनुसार
यहाँ x = 3, y = 5a
∴ = (3)³ – (5a)³ - 3(3) (5a) (3 - 5a)
= (3 - 5a)³

(iv) 64a³ - 27b³ - 144a²b + 108ab²
हल:
64a³ - 27b³ - 144a²b + 108ab²
सर्वसमिका x³ - y³ - 3xy (x - y) = (x - y)³ के अनुसार
यहाँ x = 4a तथा y = 3b
∴ = (4a)³ - (3b)³ - 3(4a) (3b) (4a - 3b)
= (4a - 3b)³

(v) 27p³ - \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2}\)p² + \(\frac{1}{4}\)p
हल:
27p³ - \(\frac{1}{216}-\frac{9}{2}\)p² + \(\frac{1}{4}\)p
सर्वसमिका x³ - y³ - 3xy (x - y) = (x - y)³ के अनुसार
यहाँ x = 3p तथा y = \(\frac{1}{6}\)
∴ = (3p)³ - \(\left(\frac{1}{6}\right)\)^{3} - 3(3p) (\(\frac{1}{6}\))(3p - \(\frac{1}{6}\))
= (3p - \(\frac{1}{6}\))³

प्रश्न 9.
सत्यापित कीजिए
(i) x³ + y³ = (x + y) (x² - xy + y²)
हल:
x + y = (x + y) (x² - xy + y²)
R.H.S. = (x + y) (x² - xy + y²)
= x (x² - xy + y²) + y (x² - xy + y²)
= x³ - x²y + xy² + x²y - xy² + y³
= x³ + x²y - x²y + xy² - xy² + y³
= x³ + y³
= L.H.S.

(ii) x³ - y³ = (x - y) (x² + xy + y²)
हल:
x³ - y³ = (x - y) (x² + xy + y²)
R.H.S: = (x - y) (x² + xy + y²)
= x (x² + xy + y²) - y (x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² - yx² - xy² - y³
= x³ + x²y - x²y + xy² - xy² - y³
= x³ - y³
= L.H.S.

प्रश्न 10.
निम्नलिखित में से प्रत्येक का गुणनखण्डन कीजिए
(i) 27y³ + 125z³
हल:
27y³ + 125z³
सर्वसमिका a + b = (a + b) (a² - ab + b²) । के अनुसार
यहाँ a = 3y तथा b = 5z
अर्थात् 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z) [(3y)² – (3y) (5z) + (5z)²]
= (3y + 5z) (9y² -15yz + 25z²)

(ii) 64m³ - 343n³
हल:
64m³ - 343n³
सर्वसमिका a³ – b³ = (a - b) (a² + ab + b²) के अनुसार
यहाँ a = 4m तथा b = 7n
अर्थात् 64m³ - 343n³
= (4m)³ - (7n)³
= (4m - 7n) [(4m)² + (4m) (7n) + (7n)²]
= (4m - 7n) (16m² + 28mn + 49n²)

प्रश्न 11.
गुणनखण्डन कीजिए 27x³ + y + 2z³ - 9xyz.
हल:
27x³ + y + 2z³ - 9xyz
सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² - ab - bc - ca) के अनुसार
यहाँ a = 3x, b = y, c = 2
∴ 27x³ + y³ + z³ - 9xyz = (3x)³ + (y)³ + (2)³ - 3 (3x) (y) (3)
= (3x + y + z) [(3x)² + (y)² + (z)² - (3x) (y) - (y) (2) - (3x) (2)]
= (3x + y + z) (9x² + y² + z² - 3xy - yz - 3xz)

प्रश्न 12.
सत्यापित कीजिए x³ + y³ + z³ - 3xyz = \(\frac{1}{2}\)(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
हल:
x³ + y³ + z³ - 3xyz = \(\frac{1}{2}\)(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
R.H.S. = (x + y + z) [(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]
= \(\frac{1}{2}\)(x + y + c) [x² + y² - 2xy + y² + z² - 2yz + z² + x² - 2xz]
= \(\frac{1}{2}\)(x + y + z) [2x² + 2y² + 2x² - 2xy - 2yz - 2rx]
= \(\frac{1}{2}\)(x + y + z).2 (x² + y² + z² - xy - yz - xz)
= \(\frac{1}{2}\)(x + y + z) (x² + y² + z² - zy - yz - xz)
∴ पाठ्यपुस्तक की सर्वसमिका VIII से
x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + 2) (x² + y² + z³ - xy - yz - yz) होता है।
अत: इसका मान = x³ + y³ + z³ - 3xyz. = L.H.S.

प्रश्न 13.
यदि x + y + z = 0 हो, तो दिखाइए कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है।
हल:
प्रश्नानुसार x + y + z = 0 या x + y = - z .................(i)
दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर
(x + y)³ = (-z)³
= x³ + y³ + 3xy (x + y) = -z³
= x³ + y³ + 3xy (-z) = -z³ [∵ x + y = - z (i) से]
= x³ + y³ - 3xy = -z³
= x³ + y³ + z = 3xyz. (इतिसिद्धम् )

प्रश्न 14.
वास्तव में घनों का परिकलन किए बिना निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³
हल:
(- 12)³ + (7)³ + (5)³ माना कि a = - 12, b = 7 तथा c = 5
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = – 12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³ = 3 (- 12) (7) (5)
= – 1260

(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
हल:
(28) + (- 15) + (- 13)3 माना कि a = 28, b = - 15 तथा c = - 13
सर्वसमिका के अनुसार यदि a + b + c = 0 तब a³ + b³ + c³ = 3abc
∴ a + b + c = 28 - 15 - 13 = 0
∴ (28) + (- 15) + (- 13) = 3 . (28) (- 15) (- 13)
= 16380

प्रश्न 15.
नीचे दिए गए आयतों, जिनमें उनके क्षेत्रफल दिए गए हैं, में से प्रत्येक की लम्बाई और चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिएक्षेत्रफल :
(i) क्षेत्रफल : 25a² - 35a + 12
हल:
क्षेत्रफल : 25a² - 35a + 12
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई = 25a² - 35a + 12
= 25a² - 15a - 20a + 12
= 5a (5a - 3) -4 (5a-3)
= (5a - 4) (5a - 3)
∴ (i) यदि लम्बाई (5a - 4) तो चौड़ाई (5a -3) होगी।

(ii) क्षेत्रफल : 35y² + 13y - 12
हल:
यदि लम्बाई (5a - 3) तो चौड़ाई (5a - 4) होगी।

प्रश्न 16.
घनाभों (cuboids), जिनके आयतन नीचे दिए गए हैं, की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्या हैं ?
(i) आयतन : 3x² - 12x
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 3x² - 12x
अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई = 3x (x - 4)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक
= 3, x और x - 4 हैं।

(ii) आयतन : 12ky² + 8ky - 20k
हल:
प्रश्नानुसार आयतन : 12ky² + 8ky - 20k अर्थात् लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई ।
= 4k (3y² + 2y -5)
= 4k [3y² + 5y - 3y - 5]
= 4k [y (3y + 5) - 1 (3y + 5)]
= 4k [(3y + 5) (y - 1)] या लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई
= 4k (3y + 5) (y - 1)
∴ घनाभ की विमाओं के लिए संभव व्यंजक क्रमशः 4k, (3y + 5) तथा (y - 1) हैं।