RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखण्ड x + 1 है
(i) x³ + x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x³ + x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक - 1 है
तब p (- 1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= - 1 + 1 - 1 + 1
= 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक - 1 है
तब p (- 1) = (-1)⁴ + (- 1)³ + (- 1)² + (-1) + 1
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x⁴ + x³ + x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
हल:
माना कि p (x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
यहाँ x + 1 का शून्यक - 1 है
तब p (- 1) = (-1)⁴ + 3 (- 1)³ + 3 (-1)² + (-1) + 1
= 1 - 3 + 3 - 1 + 1
= 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iv) x³ - (2 + √2)x + √2
हल:
माना कि p (x) = x³ - (2 + √2)x + √2
यहाँ x + 1 का शून्यक - 1 है
तब p (- 1) = (- 1)³ - (- 1) - (2 + √2) (-1) + √2
= - 1 - 1 + 2 + √2 + √2
= 2√2 + 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार x + 1, बहुपद x³ - (2 + √2)x + √2 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 2.
गुणनखण्ड प्रमेय लागू करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g (x), p (x) का एक गुणनखण्ड है या नहीं
(i) p (x) = 2x³ + x² - 2x - 1, g (x) = x + 1
हल:
प्रश्नानुसार
p (x) = 2x³ + x² - 2x - 1
तथा g (x) = x + 1
अब x + 1 = 0 या x = - 1

x = - 1 का मान p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (- 1) = 2 (- 1)³ + (- 1)² - 2 (- 1) - 1
= - 2 + 1 + 2 - 1
= 0
अत: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x + दिए गए बहुपद p (x) = 2x + 2 - 2x - 1 का एक गुणनखण्ड है।

(ii) p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g (x) = x + 2
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1
तथाg (x) = x + 2
अब x + 2 = 0 या x = - 2

x = - 2 मान दिए गए p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (-2) = (-2)³ + 3 (-2)² + 3 (-2) + 1
= - 8 + 12 - 6 + 1
= - 14 + 13
= - 1 ≠ 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x + 2 दिए गए बहुपद p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 का एक गुणनखण्ड नहीं है।

(iii)p (x) = x³ - 4x² + x + 6, 8 (x) = x - 3
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ - 4x² + x + 6 तथा
g (x) = x - 3 अब x - 3 = 0 या x = 3

x = 3 मान दिए गए p (x) में प्रतिस्थापित करने पर
p (3) = (3)³ - 4(3)² + (3) + 6
= 27 – 36 + 3 + 6
= 36 - 36
= 0
अतः गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार g (x) = x - 3 दिए गए बहुपद p (x) = r - 4r + x + 6 का एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x - 1), p (x) का एक गुणनखण्ड हो
(i) p (x) = x² + x + k
हल:
प्रश्नानुसार (x - 1) बहुपद p (x) = + x + k का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।

अर्थात् (1)² + 1 + k = 0
1 + 1 + k = या
2 + k = 0
k = - 2

(ii) p (x) = 2x² + kx + √2
हल:
प्रश्नानुसार (x - 1) बहुपद p (x) = 2x² + kx + √2 का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् 2 (1)² + k (1) + √2 = 0
या 2 + k + √2 = 0
या k= -(2 + √2)

(iii) p (x) = kx² - √2x + 1
हल:
प्रश्नानुसार (x - 1) बहुपद p (x) = kx² - √2x + 1 का एक गुणनखण्ड है अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k (1)² - √2 (1) + 1 = 0
या k - √2 + 1 = 0.
k = √2 - 1

(iv) p (x) = kx² - 3x + k
हल:
प्रश्नानुसार (x - 1) बहुपद p (x) = kr - 3x + k का एक गुणनखण्ड है
अत: बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = 0 होना चाहिए।
अर्थात् k(1)² - 3 (1) + k = 0
k - 3 + k = 0
2k - 3 = 0
या k = \(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 4.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) 12x² - 7x + 1
हल:
12x² - 7x + 1
यहाँ पर x का गुणांक = - 7
∴ दो संख्याओं का योग - 4 + (-3) लेना है।
और x का गुणांक x स्थिर पद = 12 × 1 = 12
∴ दो संख्याओं का गुणा - 4 × (-3) लेना है।
= 12x² - 4x - 3x + 1
= 4x (3x - 1) - 1 (3x – 1)
= (3x - 1) (4x - 1)

(ii) 2x² + 7x + 3
हल:
2x² + 7x + 3
x का गुणांक = 7 = 1 + 6
का गुणांक x स्थिर पद = 2 × 3 = 6
∴ दो संख्याओं का गुणा 6 × 1 लेना है।
= 2x² + 6x + x + 3
= 2r (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (2x + 1)

(iii) 6x² + 5x - 6
हल:
6x² + 5x - 6
यहाँ पर x का गुणांक = 5
का गुणांक - स्थिर पद = 6 × (-6) = - 36
∴ दो संख्याओं का योग 9 + (-4) = 5 लेना है।
और दो संख्याओं का गुणनफल 9 × (-4) = - 36 लेना है।
= 6x² + 9x - 4x - 6
= 3x (2x + 3) - 2 (2x + 3)
= (2x + 3) (3x - 2)

(iv) 3x² - x - 4
हल:
3x² - x - 4
यहाँ पर x का गुणांक = - 1
x² का गुणांक x स्थिर पद
3x (-4) = - 12
∴ दो संख्याओं का योग = - 4 + 3 = - 1
और दो संख्याओं का गुणनफल = -4 × 3 = - 12..
= 3x² - 4x + 3x - 4
= x (3x - 4) + 1 (3x - 4)
= (3x - 4) (x + 1)

प्रश्न 5.
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए
(i) x³ - 2x² - x + 2
हल:
माना कि p (x) = x³ - 2x² - x + 2
दिए गए बहुपद के अचर पद 2 के समस्त 1 गुणनखण्ड क्रमशः + 1 तथा + 2 हैं। निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = - 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)³ - 2 (- 1)² - (- 1) + 2
= - 1 - 2 + 1 + 2
= 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अतः x³ - 2x² - x + 2 = (x + 1) (x² - 3x + 2)
अब x² - 3x + 2 के गुणनखण्ड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ - 2x² - x + 2
= (x + 1) (x² - 3x + 2)
= (x + 1) [x² - 2x - x + 2]
= (x + 1) [x (x - 2) - 1 (x - 2)]
= (x + 1) (x - 2) (x - 1)
= (x + 1) (x - 1) (x - 2)

(ii) x³ - 3x² - 9x - 5
हल:
माना कि p (x) = x³ - 3x² - 9x - 5
दिए गए बहुपद के अचर पद 5 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः + 1 तथा + 5 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = - 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)³ - 3 (- 1)² - 9(-1)-5
= - 1 - 3 + 9 - 5
= - 9 + 9 = 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अत: x³ - 3x² - 9x - 5 = (x + 1)(x² - 4x - 5)
अब x² - 4x - 5 के गुणनखण्ड करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ - 3x² - 9x - 5
= (x + 1) (x² - 4x - 5)
= (x + 1) [x² - 5x + x - 5]
= (x + 1) [x (x - 5) + 1 (x - 5)]
= (x + 1) (x - 5) (x + 1)
= (x + 1) (x + 1) (x - 5)

(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
हल:
माना कि p (x) = x³ + 13x² + 32x + 20
दिए गए बहुपद के अचर पद 20 के समस्त गुणनखण्ड क्रमशः + 1, + 2, + 4, + 5, + 10 तथा + 20 हैं।

निरीक्षण द्वारा बहुपद में x = – 1 रखने पर
p (- 1) = (-1)³ + 13 (-1)² + 32 (-1) + 20
= - 1 + 13 - 32 + 20
= 33 - 33
= 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (x + 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (x) को x + 1 से भाग देने पर

अत: x³ + 13x² + 32x + 20 = (x + 1) (x² + 12x + 20)
अब x² + 12x + 20 के गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए मध्य पद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् x³ + 13x² + 32x + 20
= (x + 1) (x² + 12x + 20)
= (x + 1) [x² + 10x + 2x + 20]
= (x + 1) [x (x + 10) + 2 (x+ 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
= (x + 1) (x + 2) (x + 10)

(iv) 2y³ + y² - 2y - 1
हल:
माना कि p (y) = 2y³ + y² - 2y - 1
दिए गए अचर पद 1 के समस्त गुणनखण्ड + 1 हैं।
निरीक्षण द्वारा बहुपद में y = 1 रखने पर
p (1) = 2 (1)³ + (1)² - 2 (1) - 1
= 2 + 1 - 2 - 1
= 3 - 3 = 0
अर्थात् गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार (y - 1) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है।
अब बहुपद p (y) को y - 1 से भाग देने पर

अत: 2y³ + y² - 2y - 1 = (y - 1) (2y² + 3y + 1)
अब 2y² + 3y + 1 के गुणनखण्ड ज्ञात करने के लिए मध्यपद को विभाजित कर या गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करने पर
अर्थात् 2y³ + y² - 2y - 1
= (y - 1) (2y² + 3y + 1)
= (y - 1) [2y² + 2 + y + 1]
= (y - 1) [27 (y + 1) + 1 (y + 1)]
= (y – 1) (y + 1) (2) + 1)