RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
x³ + 3x² + 3x + 1 को निम्नलिखित से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए
(i) x + 1
हल:
प्रश्नानुसार x³ + 3x² + 3x + 1 = x + 1

यहाँ शेषफल 0 है।

वैकल्पिक विधि-x + 1 का शून्यक - 1 है।
अत: p (x) में x = - 1 रखने पर
p (- 1) = (-1)³ +3 (-1)² +3 (-1) + 1
= - 1 + 3 - 3 + 1 = 0 जो कि शेषफल है।

(ii) x - \(\frac{1}{2}\)
हल:
प्रश्नानुसार x³ + 3x² + 3x + 1 ÷ x - \(\frac{1}{2}\)
यहाँ x - \(\frac{1}{2}\) का शून्यक \(\frac{1}{2}\) है
अर्थात् x - \(\frac{1}{2}\) = 0 या x = \(\frac{1}{2}\)
अत: p (x) में x = \(\frac{1}{2}\) रखने पर

अतः शेषफल \(\frac{27}{8}\) है।

(iii) x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x²+ 3x + 1
यहाँ भाजक x है अत: x = 0 लेने पर
p (0) = (0) + 3 (0) + 3 (0) + 1
= 0 + 0 + 0 + 1 = 1
अर्थात् p (0) = 1
अतः शेषफल 1 है।

(iv) x + π
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 यहाँ x + π भाजक है ।
अतः x + π = 0 लेने पर या x = - π
अब p (x) में x = – π प्रतिस्थापित करने पर
p (- π) = (-π)³ + 3 (-π)² + 3 (-π) + 1
= - π³ + 3π² - 3π + 1
अतः शेषफल - π³ + 3π² - 3π + 1 है।

(v) 5 + 2x
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = x³ + 3x² + 3x + 1 यहाँ भाजक 5 + 2x है।
अत: 5 + 2x = 0 लेने पर
2x = -5
या x = -\(\frac{5}{2}\)

अतः p (x) में x = -\(\frac{5}{2}\) प्रतिस्थापित करने पर

अतः शेषफल -\(\frac{27}{8}\) है।

प्रश्न 2.
x³ - ax² + 6x - a को x - a से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि p (x) = x³ - ax² + 6x - a यहाँ भाजक x - a है
∴ माना x - a = 0
या x = a अब बहुपद में x = a

प्रतिस्थापित करने पर
p (a) = (a)³ - a (a)² + 6 (a)- a
= a³ - a² + 6a - a
= 5a
अतः शेषफल 5a है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं?
हल:
हम जानते हैं कि दिया हुआ बहुपद p (x) = 7 + 3x का गुणज केवल तब होगा जबकि 7 + 3x से p (x) को भाग देने पर कुछ भी शेष न बचे।
अब 7 + 3x = 0 लेने पर
7+ 3x = 0
या 3x = - 7
या x = -7
दिए हुए बहुपद में x का यह मान प्रतिस्थापित करने पर

अतः p\(\left(-\frac{7}{3}\right)\) का मान इस बहुपद में शून्य प्राप्त न होकर \(\frac{-490}{9}\) प्राप्त होता है। अतः यह कहा जा सकता है कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखण्ड नहीं है।