RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित पर बहुपद 5x - 4x² + 3 के मान ज्ञात कीजिए
(i) x = 0
(ii) x = - 1
(iii) x = 2
हल:
प्रश्नानुसार 5x - 4x² + 3 = p (x)
(i) x = 0
.:. p(0) = 5.0 – 4.(0)² + 3
= 0 - 0 + 3
= 3

(ii) x = - 1
p (- 1) = 5 (-1) - 4(-1)² + 3
= -5 - 4 + 3
= - 6

(iii) x = 2
p (2) = 5(2) - 4 (2)² + 3
= 10 - 16 + 3
= - 3

प्रश्न 2.
निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद के लिए p (0), p (1) और p (2) ज्ञात कीजिए
(i) p (y) = y² - y +1
(ii) p (1) = 2 + t + 2t² - t³
(iii) p (x) = x
(iv) p (x) = (x - 1) (x + 1)
हल:
(i) p (y) = y² - y + 1
p (0) = p (0) = (0)² - (0) + 1
= 1

p (1) ⇒ p (1) = (1)² - (1) + 1
= 1 - 1 + 1 = 1

p (2) ⇒ p (2) = (2)² - (2) + 1
= 4 - 2 + 1 = 3

(ii) p (t) = 2 + t + 2t² - t³
p (0) ⇒ p (0) = 2 + 0 + 2 (0)² - (0)³
= 2 + 0 + 0 - 0 = 2

p (1) ⇒ p (1) = 2 + 1 + 2(1)² - (1)³
= 2 + 1 + 2 - 1 = 4

p (2) ⇒ p (2) = 2 + 2 + 2 (2)² - (2)³
= 2 + 2 + 8 - 8 = 4

(iii) p (x) = x³
p (0) ⇒ p (0) = (0)³ = 0
p (1) ⇒ p (1) = (1)³ = 1
p (2) ⇒ p (2) = (2)³ = 8

(iv) p (x) = (x - 1) (x + 1) = x² - 1
p (0) ⇒ p (0) = (0)² - 1 = - 1
p (1) ⇒ p (1) = (1)² - 1= 0
p (2) ⇒ p (2) = (2)² - 1 = 4 - 1 = 3

प्रश्न 3.
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान निम्नलिखित स्थितियों में संगत बहुपद के शून्यक हैं
(i) p (x) = 3x + 1; x = -\(\frac{1}{3}\)
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = 3x + 1; x = -\(\frac{1}{3}\)
इस बहुपद में x = - \(\frac{1}{3}\)
प्रतिस्थापित करने पर P(-\(\frac{1}{3}\) = 3 (-\(\frac{1}{3}\) + 1 = - 1 + 1 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = -\(\frac{1}{3}\) बहुपद 3x + 1 का शून्यक है।

(ii) p (x) = 5x - π; x = \(\frac{4}{5}\)
हल:
प्रश्नानुसार p (x) = 5x - π; x = \(\frac{4}{5}\)
इस बहुपद में x = \(\frac{4}{5}\) प्रतिस्थापित करने पर
= p(\(\frac{4}{5}\)) = 20

p\(\left(\frac{4}{5}\right)\) = 5. \(\frac{4}{5}\) - π
= 4 - π
⇒ p\(\left(\frac{4}{5}\right)\) ≠ 0

अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = \(\frac{4}{5}\)
बहुपद 5x - π का शून्यक नहीं है।

(iii) p (x) = x² - 1; x = 1, x = - 1
हल:
p (x) = x² - 1; x = 1, x = - 1
सर्वप्रथम इस बहुपद में x = 1 रखने पर
p (1) = (1)² - 1 = 1 - 1 = 0 पुनः इस बहुपद में x = - 1 रखने पर
p (- 1) = (- 1)² - 1 = 1 - 1 = 0
अत: यह सत्यापित होता है कि मान x = 1 तथा - 1 बहुपद - 1 का शून्यक है।

(iv) p (x) = (x + 1) (x - 2); x = - 1, 2
हल:
p (x) = (x + 1) (x - 2); x = - 1, 2
सर्वप्रथम इस बहुलक में x = - 1 रखने पर ।
p (- 1) = (-1 + 1) (-1-2) = 0 . (-3) = 0

पुनः इस बहुपद में x = 2 रखने पर
p (2) = (2 + 1) (2 - 2) = 3.0 = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = - 1 व 2 बहुपद (x + 1) (x - 2) का शून्यक है।

(v). p (x) = x²; x = 0
हल:
p (x) = x²; x = 0 इस बहुपद में x = 0 मान प्रतिस्थापित करने पर
p (0) = (0)² = 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = 0 बहुपद p (x) = x का शून्यक है।

(vi) p (x) = lx + m; x = - \(\frac{m}{l}\)
हल:
p (x) = lx + m; x = -\(\frac{m}{l}\)
इस बहुपद में x = -\(\frac{m}{l}\) प्रतिस्थापित करने पर

p (x) = l. (-\(\frac{m}{l}\)) + m = - m + m = 0
अत: यह सत्यापित होता है कि मान x = -\(\frac{m}{l}\) बहुपद p (x) = lx + m का एक शून्यक है।

(vii) p (x) = 3x² - 1; x = - \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
हल:
p (x) = 3x² - 1; x = - \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\)
इस बहुपद में सर्वप्रथम x = - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) प्रतिस्थापित करने पर
p(- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) = 3. (- \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))² - 1
= 3. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) - 1 = 1 - 1 = 0
अत: यह सत्यापित होता है कि मान x = - \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) इस बहुपद 3x² - 1 का एक शून्यक है।

अब पुन: इस बहुपद में x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) प्रतिस्थापित करने पर
p(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) = 3.(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))² - 1
= 3. \(\frac{4}{3}\) - 1 = 3
अर्थात् P(\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) ≠ 0
अतः यह सत्यापित होता है कि मान x = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) इस बहुपद 3x² – 1 का एक शून्यक नहीं है।

(vii) P (x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{2}\)
हल:
p (x) = 2x + 1; x = \(\frac{1}{2}\)
इस बहुपद में x = \(\frac{1}{2}\) प्रतिस्थापित करने पर
p(\(\frac{1}{2}\)) = 2 . (\(\frac{1}{2}\)) + 1 = 1 + 1 = 2 अर्थात् p (\(\frac{1}{2}\)) ≠ 0
अतः यह सत्यापित होता है कि x = \(\frac{1}{2}\) इस बहुपद 2x + 1 का एक शून्यक नहीं है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए
(i) p (x) = x + 5
हल:
p (x) = x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x + 5 = 0
या x = -5
अतः - 5 बहुपद x + 5 का एक शून्यक है।

(ii) p (x) = x - 5
हल:
p (x) = x - 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् x - 5 = 0
या x = 5
अत: 5 बहुपद x - 5 का एक शून्यक है।

(iii) p (x) = 2x + 5
हल:
p (x) = 2x + 5
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 2x + 5 = 0
या 2x = - 5 ⇒ x = -\(\frac{5}{2}\)
अतः -\(\frac{5}{2}\) इस बहुपद का एक शून्यक है।

(iv) p (x) = 3x - 2
हल:
p (x) = 3x - 2
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x - 2 = 0
या 3x = 2 ⇒ x = \(\frac{2}{3}\)
अतः = \(\frac{2}{3}\) इस बहुपद का एक शून्यक है।

(v) p (x) = 3x
हल:
p (x) = 3x
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् 3x = 0
या x = 0
अतः x = 0 इस बहुपद का एक शून्यक है।

(vi) p (x) = ax; a ≠ 0
हल:
p (x) = ax; a ≠ 0
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् ax = 0
या x= 0 ⇒ 0
अतः 0 बहुपद ax का शून्यक है।

(vii) p (x) = cx + d; c ≠ 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
हल:
p (x) = cx + d; c # 0, c, d वास्तविक संख्याएँ हैं।
इस पद में p (x) का शून्यक ज्ञात करना वैसा ही है जैसा कि समीकरण p (x) = 0 को हल करना।
अर्थात् cx + d = 0
या cx = -d
या x = -\(\frac{d}{c}\)
अत: -\(\frac{d}{c}\) बहुपद cx + d का एक शून्यक है।