RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है
(i) \(\frac{36}{100}\)
(ii) \(\frac{1}{11}\)
(iii) 4\(\frac{1}{8}\)
(iv) \(\frac{3}{13}\)
(v) \(\frac{2}{11}\)
(vi) \(\frac{329}{400}\)
हल-
(i) \(\frac{36}{100}\) = 0.36 = सांत दशमलव

(ii) \(\frac{1}{11}\)

अर्थात् \(\frac{1}{11}\) = 0.09090909...... .
= 0 . \(\overline{09}\) = अनवसानी पुनरावर्ती

(iii) 4\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{33}{8}\)

अर्थात् 4\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{33}{8}\) = 4.125 = सांत दशमलव

(iv) \(\frac{3}{13}\)

अर्थात् \(\frac{3}{13}\) = 0.230769230769.....
= \(0 . \overline{230769}\)
= अनवसानी पुनरावर्ती

(v) \(\frac{2}{11}\)

अर्थात् \(\frac{2}{11}\) = 0.1818.....
= \(0 . \overline{18}\) = अनवसानी पुनरावर्ती

(vi) \(\frac{329}{400}\)

अर्थात् \(\frac{329}{400}\) = 0.8225 = सांत

प्रश्न 2.
आप जानते हैं कि \(\frac{1}{7}\) = \(0 . \overline{142857}\) है। वास्तव में लम्बा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि \(\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) के दशमलव प्रसार क्या हैं? यदि हाँ, तो कैसे?
उत्तर:
हाँ। प्रश्न में दी गई सभी संख्याओं क्रमशः \(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\) का दशमलव प्रसार आवर्ती दशमलव है जो कि 1, 4, 2, 8, 5, 7 का ही प्रसार है।
जैसे-

अर्थात् \(\frac{1}{7}\) = 0.142857
\(\frac{2}{7}\) का मान ज्ञात करने के लिए यह जानना आवश्यक होगा कि शेषफल 2 कब आता है तथा उससे सम्बन्धित भागफल, जो कि इस प्रश्न में 2 है, तब वहाँ से आरम्भ होने वाला नया भागफल लिखना होगा। अर्थात्
\(\frac{2}{7}\) = \(0 . \overline{285714}\)
इसी प्रकार \(\frac{3}{7}\) = \(0 . \overline{428571}\), \(\frac{4}{7}\) = \(0 . \overline{571428}\),
\(\frac{5}{7}\) = \(0 . \overline{714285}\), \(\frac{6}{7}\) = \(0 . \overline{857142}\)

प्रश्न 3.
निम्नलिखित को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है
(i) \(0.\overline{6}\)
हल:
क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि \(0.\overline{6}\) क्या है, अतः माना x = \(0.\overline{6}\)
या x= 0.6666 ...........(i)
दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर
10x = 10 × (0.6666...) = 6.6666 ....
⇒ 10x = 6.6666..........(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
10x - x = (6.6666.....) - (0.6666)
या 9x = 6

(ii) \(0.\overline{47}\)
हल:
क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि \(0.\overline{47}\) क्या है, अतः माना कि
x = \(0.\overline{47}\)
या x = 0.4777 .......... (i)
दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर
10x = 10 × (0.4777.....) = 4.777.....
⇒ 10x = 4.777 ............... (ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर।
10x - x = (4.777.....) - (0.4777.....)
= 9x = 4.3
या x = \(\frac{4.3}{9}=\frac{43}{90}\)
अतः \(0.\overline{47}\) = \(\frac{43}{90}\)

(iii) \(0.\overline{001}\)
हल:
क्योंकि हम यह नहीं जानते हैं कि \(0.\overline{001}\) क्या है, अत: माना कि
x = \(0.\overline{001}\)
∴ x = 0.001001001 ................. (i)
दोनों पक्षों में 1000 से गुणा करने पर
1000x = 1000 × (0.001001001.....)
1000x = 1.001001 ................ (ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
1000 - x = (1.001001...) - (0.001001...)
⇒ 999x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{999}\)
अत: 0.001 = \(\frac{1}{999}\)

प्रश्न 4.
0.9999..... को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए।
हल:
माना कि x = 0.9999 .........(i)
दोनों पक्षों में 10 से गुणा करने पर
10x = 10 × (0.99999.....)
10x = 9.9999 ..........(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
10x - x = (9.9999....) - (0.9999....)
⇒ 9x = 9
⇒ x = \(\frac{9}{9}\) = 1
अतः 0.99999..... = 1

हाँ। हम उत्तर से आश्चर्यचकित हैं। परन्तु उत्तर सार्थक है क्योंकि प्रश्नानुसार हम देखते हैं कि 0.9999..... सतत है अर्थात् दशमलव के बाद 9 का अंक लगातार आएगा। अर्थात् 1 और 0.9999 के बीच कोई रिक्तता या शून्यता नहीं है। अत: वे समान हैं।

प्रश्न 5.
\frac{1}{17} के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए।
हल:

यहाँ शेष 1 रहने पर चरण B अर्थात् आगे का हल प्रथम चरण A के अनुसार है।
∴ \(\frac{1}{17}\) = 0.0588235294117647.....
= \(0 . \overline{0588235294117647}\)
∴ \(\frac{1}{17}\) के भागफल में अंकों की अधिकतम संख्या 16 है।
यह भागफल या दी गई संख्या \(\frac{1}{17}\) अनवसानी आवर्ती दशमलव है।

प्रश्न 6.
\(\frac{p}{q}\) (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि 4 को कौनसा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिए?
हल:
\(\frac{p}{q}\) (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याएँ क्रमश: \(\frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{639}{250}, \frac{7}{16}, \frac{11}{25}\).... आदि हो सकती हैं जिनका सात दशमलव निरूपण होता है। सात दशमलव की परिभाषा के अनुसार जब किसी परिमेय संख्या का हर 2 या 5 या दोनों की घात में हो तो ऐसी परिमेय संख्याओं से सांत दशमलव प्राप्त होता है। अन्य शब्दों में यह भी कहा जा सकता है कि परिमेय संख्या \frac{p}{q} (q ≠ 0) को सांत दशमलव रूप में निरूपित करने के लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक ऐसा लिया जाए कि के अभाज्य गुणनखण्ड में केवल 2 के घात या 5 के घात या दोनों ही हों।

प्रश्न 7.
ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
हल:
हम जानते हैं कि एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है या इसका विलोम अर्थात् वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होता है, अपरिमेय होती है।
अतः √2 = 1.41421356237 .....
√3 = 1.73205080756 .....
\(\frac{1}{\sqrt{5}}\) = 0.44721359549 .....
√10 = 3.16227766016 .....
इन उदाहरणों के अतिरिक्त छात्र स्वयं भी कुछ अन्य अपरिमेय या ऐसी संख्याएँ लिख सकते हैं जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी हों। जैसे
0.01001000100001......,
0.202002000200002.....,
0.003000300003..... आदि।

प्रश्न 8.
परिमेय संख्याओं में \(\frac{5}{7}\) और \(\frac{9}{11}\) के बीच की = तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
परिमेय संख्या \frac{5}{7} का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है-

इसके आगे हल करने की प्रक्रिया पूर्वानुसार है।
∴ \(\frac{5}{7}\) = \(0 . \overline{714285}\)
अब दूसरी संख्या \(\frac{9}{11}\) का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है-

इसको आगे हल करने की प्रक्रिया चरण E के अनुसार है।
∴ \(\frac{9}{11}\) = \(0 . \overline{81}\)
अब \(\frac{5}{7}\) = 0 . \(\overline{714285}\) तथा \(\frac{9}{11}\) = \(0 . \overline{81}\) के मध्य अनेक अपरिमित संख्याओं को ज्ञात किया जा सकता है। उनमें से कोई तीन 0.75075007500075000075....., 0.767076700767000767... तथा 0.808008000800008..... भी हो सकती हैं।

प्रश्न 9.
बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं
(i) √23
(ii) √225
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478.....
(v) 1.101001000100001.....
हल:
अपरिमेय संख्याएँ-(i) व (v) हैं।
(i) √23 अभाज्य संख्या होने के कारण अपरिमेय है क्योंकि अभाज्य संख्या एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं होती है।
(v) 1.101001000100001..... यह संख्या अपरिमेय संख्या है क्योंकि दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती है।
परिमेय संख्याएँ-(ii), (iii) व (iv) हैं।
(ii) √225 का वर्गमूल \(\sqrt{15 \times 15}\) = 15 होता है जो कि एक परिमेय संख्या है।
(iii) 0.3796 का दशमलव प्रसार सांत दशमलव होने के कारण परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478.... का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती होने के कारण एक परिमेय संख्या है।