RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.1

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 9 Maths Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Solutions Chapter 1 संख्या पद्धति Ex 1.1

प्रश्न 1.
क्या शून्य एक परिमेय संख्या है? क्या इसे आप \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है?
हल:
हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है तथा इसे \(\frac{p}{q}\) के रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है-
0 = \(\frac{0}{1}\)
यहाँ p = 0 तथा q = 1 इस प्रश्न के अनुसार \(\frac{p}{q}\) में q का मान कोई भी संख्या हो सकती है जैसे 0 = \(\frac{0}{1}, \frac{0}{2}, \frac{0}{3}\) आदि। हर q को भी ऋण पूर्णांक माना जा सकता है।
अतः शून्य एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 2.
3 और 4 के बीच में छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माना कि a = 3 तथा b = 4
अब 3 तथा 4 के मध्य की संख्या
= \(\frac{a+b}{2}=\frac{3+4}{2}=\frac{7}{2}\)
अब 3 तथा \(\frac{7}{2}\) के बीच की परिमेय संख्या
\(\frac{a+b}{2}=\frac{3+\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{6+7}{2}}{2}=\frac{13}{4}\)
\(\frac{7}{2}\) तथा 4 के बीच की संख्या
= \(\frac{\frac{7}{2}+4}{2}=\frac{\frac{7+8}{2}}{2}=\frac{15}{4}\)

इस प्रकार 3 व 4 के बीच की छः परिमेय संख्याएँ क्रमशः \(\frac{13}{4}, \frac{27}{8}, \frac{7}{2}, \frac{29}{8}, \frac{59}{16}\) व \(\frac{15}{4}\) हैं। 

वैकल्पिक विधि:
हल-3 व 4 के बीच में छः परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने की यह भी विधि है कि चूँकि हम छः संख्याएँ ज्ञात करना चाहते हैं इसलिए 6 + 1 = 7 को हर के रूप में लेकर 3 और 4 को परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं
अर्थात् 3 = \(\frac{21}{6+1}=\frac{21}{7}\) तथा 4 = \(\frac{28}{6+1}=\frac{28}{7}\) तब 3 और 4 के बीच छ: परिमेय संख्याएँ क्रमशः
\(\frac{22}{7}, \frac{23}{7}, \frac{24}{7}, \frac{25}{7}, \frac{26}{7}\) व \(\frac{27}{7}\) होंगी।

प्रश्न 3.
\(\frac{3}{5}\) और \(\frac{4}{5}\) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार माना कि a = \(\frac{3}{5}\) तथा b = \(\frac{4}{5}\) किन्हीं भी दो संख्याओं a व b के बीच की परिमेय संख्या = \(\frac{a+b}{2}\)

इस प्रकार \(\frac{3}{5}\) तथा \(\frac{4}{5}\) के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ क्रमशः \(\frac{13}{20}, \frac{27}{40}, \frac{7}{10}, \frac{31}{40}\) तथा \(\frac{15}{20}\) हैं।

वैकल्पिक विधि-
हल- \(\frac{3}{5}\) और \(\frac{4}{5}\) के बीच में पाँच संख्याएँ ज्ञात करने की यह भी विधि है कि चूँकि हम पाँच संख्याएँ ज्ञात करना चाहते हैं इसलिए दोनों संख्याओं \(\frac{3}{5}\) व \(\frac{4}{5}\) में का गुणा करने पर प्राप्त संख्या-
\(\frac{3}{5} \times \frac{10}{10}=\frac{30}{50}\) तथा \(\frac{4}{5} \times \frac{10}{10}=\frac{40}{50}\) हैं।

अब \(\frac{3}{5}\) व \(\frac{4}{5}\) के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ क्रमशः \(\frac{31}{50}, \frac{32}{50}, \frac{33}{50}, \frac{34}{50}\) तथा \(\frac{35}{50}\) होंगी।

प्रश्न 4.
नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए
(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
उत्तर:
सत्य है। प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण वर्ग संख्या होती है। यह कथन सत्य है क्योंकि पूर्ण संख्याओं के संग्रह में सभी प्राकृत संख्याएँ भी होती हैं, केवल शून्य ही अतिरिक्त होता है।

पूर्ण संख्याएँ अतः यह भी कहा जा सकता है कि प्रत्येक पूर्ण संख्या प्राकृतं संख्या नहीं होती लेकिन प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।
उत्तर:
असत्य है। दिया गया कथन कि प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है सत्य नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याओं के संग्रह में 0, 1, 2, 3, ... आदि संख्याएँ ही होती हैं ऋणात्मक संख्याएँ जैसे - 3, - 2, - 1 आदि नहीं।

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
उत्तर:
असत्य है। दिया गया कथन कि प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है, सत्य नहीं है क्योंकि पूर्ण संख्याएँ परिमेय संख्याओं का ही भाग होती हैं। जैसे \(\frac{5}{7}\) में एक परिमेय संख्या है किन्तु पूर्ण संख्या नहीं है।