RBSE Class 9 Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

These comprehensive RBSE Class 9 Maths Notes Chapter 5 युक्लिड के ज्यामिति का परिचय will give a brief overview of all the concepts.

RBSE Class 9 Maths Chapter 5 Notes युक्लिड के ज्यामिति का परिचय

→ यद्यपि यूक्लिड ने बिन्दु, रेखा और तल को परिभाषित किया है, परन्तु गणितज्ञों ने इन परिभाषाओं को स्वीकार नहीं किया है। इसलिए ज्यामिति में इन्हें अब अपरिभाषित पदों के रूप में लिया जाता है।

→ यूक्लिड की परिभाषाएँ

• एक बिन्दु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता। 
• एक रेखा चौड़ाई रहित लम्बाई होती है।
• एक रेखा के सिरे बिन्दु होते हैं।
• एक सीधी रेखा ऐसी रेखा है जो स्वयं बिन्दुओं के साथ सपाट रूप से स्थित होती है।
• एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लम्बाई और चौड़ाई होती है।
• पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होती हैं।
• एक समतल पृष्ठ ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

→ अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ऐसी कल्पनाएँ हैं जो स्पष्टतः सर्वव्यापी सत्य होती हैं। इन्हें सिद्ध नहीं किया जाता है।

→ प्रमेय वे कथन हैं जिन्हें परिभाषाओं, अभिगृहीतों, पहले सिद्ध किए गए कथनों और निगमनिक तर्कण द्वारा सिद्ध किया जाता है।

→ यूक्लिड के अभिगृहीत निम्न हैं

• वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों, एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
• यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
• वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
• पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
• एक ही वस्तुओं के दुगुने परस्पर बराबर होते हैं।
• एक ही वस्तुओं के आधे परस्पर बराबर होते हैं।

→ यूक्लिड की 5 अभिधारणाएँ

• अभिधारणा1. एक बिन्दु से एक अन्य बिन्दु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
• अभिधारणा 2. एक सांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
• अभिधारणा 3. किसी को केन्द्र मानकर और किसी त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जा सकता है।
• अभिधारणा 4. सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
• अभिधारणा 5. यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक

ही ओर दो अंत:कोण इस प्रकार बनाए कि इन दोनों कोणों का योग मिलकर दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

→ यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के दो समतुल्य रूपान्तरण हैं

• प्रत्येक रेखा l और उस पर न स्थित प्रत्येक बिन्दु P के लिए, एक अद्वितीय रेखा m ऐसी होती है जो P से होकर जाती है और l के समान्तर है।
• दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समान्तर नहीं हो सकतीं।

→ यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को पहली चारों अभिधारणाओं की सहायता से सिद्ध करने के सभी प्रयत्न असफल रहे l परन्तु इनसे अन्य ज्यामितियों की खोज हुई जिन्हें अयूक्लिडीय ज्यामितियाँ कहा जाता है।