RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 8 चतुर्भुज

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 8 चतुर्भुज Important Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Chapter 8 Important Questions चतुर्भुज

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में, ABCD एक समचतुर्भुज है। यदि AC = 8 सेमी. और DB = 6 सेमी. हो, तो BC का मान होगा

(A) 5 सेमी.
(B) 4 सेमी
(C) 7 सेमी
(D) 3.5 सेमी.
उत्तर:
(A) 5 सेमी.

प्रश्न 2.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, तोx का मान होगा

(A) 25°
(B) 60°
(C) 75°
(D) 45
उत्तर:
(D) 45

प्रश्न 3.
चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर हों, तो वह चतुर्भुज है
(A) आयत
(B) समचतुर्भुज
(C) वर्ग
(D) समान्तर चतुर्भुज
उत्तर:
(C) वर्ग

प्रश्न 4.
चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर हों, लेकिन सभी कोण बराबर नहीं हों, वह चतुर्भुज है
(A) वर्ग
(B) समचतुर्भुज
(C) आयत
(D) समान्तर चतुर्भुज
उत्तर:
(B) समचतुर्भुज

प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुज क्षेत्रफल में समान हैं और एक ही आधार पर स्थित हैं। यदि समान्तर चतुर्भुज की ऊँचाई 2 सेमी. हो, तो त्रिभुज की ऊँचाई है
(A) 4 सेमी.
(B) 1 सेमी.
(C) 2 सेमी.
(D) 3 सेमी.
उत्तर:
(A) 4 सेमी.

प्रश्न 6.
चित्र में, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में, आसन्न कोणों A और B के समद्विभाजक परस्पर 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं, ∠AOB का मान होगा

(A) समकोण
(B) न्यून कोण
(C) अधिक कोण
(D) सरल कोण
उत्तर:
(A) समकोण

प्रश्न 7.
यदि समान्तर चतुर्भुज के दो विकर्ण समान हों, तो यह होगा
(A) चतुर्भुज
(B) आयत
(C) समचतुर्भुज
(D) समलम्ब चतुर्भुज
उत्तर:
(B) आयत

प्रश्न 8.
यदि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण समान और परस्पर लम्बवत् हों, तो यह होगा.
(A) आयत
(B) समचतुर्भुज
(C) समलम्ब चतुर्भुज
(D) वर्ग
उत्तर:
(D) वर्ग

प्रश्न 9.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70° हो, तो ∠B का मान है
(A) 10°
(B) 110°
(C) 70°
(D) 90°
उत्तर:
(B) 110°

प्रश्न 10.
चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ और कोण परस्पर बराबर हों, वह चतुर्भुज है
(A) आयत
(B) समान्तर चतुर्भुज
(C) वर्ग
(D) समचतुर्भुज
उत्तर:
(C) वर्ग

प्रश्न 11.
PQRS एक चतुर्भुज है। PR तथा QS एक-दूसरे को 0 पर मिलते हैं। निम्न में से किस स्थिति में PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है
(A) ∠P = 100°, ∠Q = 80°, ∠R = 100°
(B) ∠P = 85°, ∠Q = 85°, ∠R = 95°
(C) PQ = 7 cm, QR = 7 cm, RS = 8 cm, SP = 8 cm
(D) OP = 6.5 cm, OQ = 6.5 cm, OR = 5.2 cm, OS = 5.2 cm
उत्तर:
(A) ∠P = 100°, ∠Q = 80°, ∠R = 100°

प्रश्न 12.
चतुर्भुज जिसमें विकर्ण सम्मुख कोण को समद्विभाजित करते हैं
(A) आयत
(B) समान्तर चतुर्भुज
(C) समलम्ब चतुर्भुज
(D) वर्ग
उत्तर:
(D) वर्ग

प्रश्न 13.
चतुर्भुज जिसमें दोनों विकर्ण बराबर होते हैं
(A) समान्तर चतुर्भुज
(B) समचतुर्भुज
(C) आयत
(D) समलम्ब चतुर्भुज
उत्तर:
(C) आयत

प्रश्न 14.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं। यदि ∠BOC = 90° और ∠BDC = 50°, तब ∠OAB =
(A) 40°
(B) 50°
(C) 10°
(D) 90°
उत्तर:
(A) 40°

प्रश्न 15.
एक समचतुर्भुज ABCD में, यदि ∠ACB = 40°, तब ∠ADB =
(A) 70°
(B) 45°
(C) 50°
(D) 60°
उत्तर:
(C) 50°

प्रश्न 16.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में, यदि ∠DAB = 75° और ∠DBC = 60°, तब ∠BDC =
(A) 75°
(B) 60°
(C) 45°
(D) 55°
उत्तर:
(C) 45°

प्रश्न 17.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। M, BD का मध्य बिन्दु है और BM ∠B को समद्विभाजित करता है। तब ∠AMB =
(A) 45°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 75°
उत्तर:
(C) 90°

प्रश्न 18.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और E, BC का मध्य बिन्दु है। DE और AB, जब बढ़ते हैं तब F पर मिलते हैं। तब, AF =
(A) \(\frac{3}{2}\)AB
(B) 2 AB
(C) 3 AB
(D) \(\frac{5}{2}\)AB
उत्तर:
(B) 2 AB

प्रश्न 19.
एक चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠C = 2(∠B + ∠D), और यदि ∠A = 140° और ∠D = 60° तब ∠B =
(A) 60°
(B) 80°
(C) 120°
(D) 150°
उत्तर:
(A) 60°

प्रश्न 20.
यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण 18 सेमी. एवं 24 सेमी. हैं तब उसकी भुजा होगी
(A) 16 सेमी.
(B) 15 सेमी.
(C) 20 सेमी.
(D) 17 सेमी.
उत्तर:
(B) 15 सेमी.

प्रश्न 21.
किसी आयत ABCD के विकर्ण एक-दूसरे को P पर काटते हैं। यदि ∠ABD = 50°, तब ∠DPC =
(A) 70°
(B) 90°
(C) 80°
(D) 100°
उत्तर:
(C) 80°

प्रश्न 22.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC, ∠BAD को समद्विभाजित करता है। यदि ∠BAC = 35° तब ∠ABC =
(A) 70°
(B) 110°
(C) 90°
(D) 120°
उत्तर:
(B) 110°

प्रश्न 23.
किसी आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बनने वाली आकृति है
(A) वर्ग
(B) समचतुर्भुज
(C) समलम्ब चतुर्भुज
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(B) समचतुर्भुज

प्रश्न 24.
किसी समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बनने वाली आकृति है
(A) वर्ग
(B) आयत
(C) समलम्ब चतुर्भुज
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तर:
(B) आयत

प्रश्न 25.
किसी वर्ग की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बनने वाली आकृति है
(A) समचतुर्भुज
(B) वर्ग
(C) आयत
(D) समान्तर चतुर्भुज
उत्तर:
(B) वर्ग

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो

प्रश्न 1.
किसी चतुर्भुज की भुजाओं के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को _________ कहते हैं।
उत्तर:
शीर्ष

प्रश्न 2.
चतुर्भुज में जिन भुजाओं में उभयनिष्ठ शीर्ष हों उन्हें _________ भुजाएँ कहते हैं।
उत्तर:
आसन्न

प्रश्न 3.
किसी वर्ग के विकर्ण आपस में _________ समद्विभाग होते हैं।
उत्तर:
समकोण

प्रश्न 4.
किसी भी चतुर्भुज के अन्त:कोणों का योग = _________
उत्तर:
समकोण

प्रश्न 5.
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ एवं सम्मुख कोण _____________ होते हैं।
उत्तर:
बराबर

प्रश्न 6.
समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर _________ कटते हैं।
उत्तर:
समद्विभाग

प्रश्न 7.
यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक जोड़ा समान्तर हो, तो उसे _________ चतुर्भुज कहते हैं।
उत्तर:
समलम्ब

प्रश्न 8.
उन कोणों को जिनमें कोई भुजा उभयनिष्ठ न हो, _________ कोण कहते हैं।
उत्तर:
सम्मुख

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए

प्रश्न 1.
चतुर्भुज में जिन भुजाओं में उभयनिष्ठ शीर्ष हों उन्हें सम्मुख भुजाएँ कहते हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 2.
चतुर्भुज की एक ही भुजा पर बनने वाले कोण आसन्न कोण कहलाते हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को एक क्रम से मिलाने वाले रेखाखण्डों द्वारा बना चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज होता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। 
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 6.
किसी वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर एवं सभी कोण समकोण होते हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 7.
एक आयत या समचतुर्भुज वर्ग होते हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 8.
प्रत्येक समचतुर्भुज एक आयत होता है।
उत्तर:
असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी चतुर्भुज के तीन कोण क्रमश: 120°, 70° और 60° के हों तो चौथा कोण लिखिए।
हल:
360° – (120° + 70° + 60°) = 110°

प्रश्न 2.
किसी चतुर्भुज में दो कोणों का योग 180° तथा तीसरा कोण 60° का है तो शेष कोण का मान क्या होगा?
हल:
360° - (180° + 60°) = 120°

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में BC = AD तथा AB = CD हो तो ∠ABC और ∠ADC बराबर होंगे, क्यों?

हल:
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। इसलिए सम्मुख कोण बराबर होंगे।

प्रश्न 4.
'यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠A = ∠B + 60° हो, तो ∠A व ∠B के मान लिखिए।
हल:
(i) ∠A = 120°
(ii) B = 60°

प्रश्न 5.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में ∠A तथा ∠B के अर्द्धक परस्पर बिन्दु 0 पर काटते हैं तो ∠AOB का मान बताओ।
हल:
समान्तर चतुर्भुज के अर्द्धक परस्पर समकोण पर काटते हैं अत: ∠AOB = 90° होगा।

प्रश्न 6.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में AC विकर्ण है। यदि ∠CAB = 30° तथा ∠ACB = 50° हो तो ∠ADC का माप लिखिए।

हल:
∠B = ∠D
∴ ∠B = 180 - 80 = 100
अतः ∠D = 100°

प्रश्न 7.
चित्रानुसार समान्तर चतुर्भुज DEFG में DF = 6.4 सेमी. तथा GE = 4.2 सेमी. है। (AD + AE) का माप लिखिए।

हल:
AD = \(\frac{1}{2}\)DF = \(\frac{1}{2}\) × 6.4 = 3.2 सेमी.
AE = \(\frac{1}{2}\)GE = \(\frac{1}{2}\) × 4.2 = 2.1 सेमी.
अत: AD + AE = 5.3 सेमी.

प्रश्न 8.
दिये गये चित्र में ∠GDE + ∠DEF = 180°, इस स्थिति में कौनसी रेखाएँ समान्तर होंगी?

हल:
GD ∥ EF.

प्रश्न 9.
यदि एक आयत की आसन्न भुजाएँ समान हों तो आकृति कहलाती है
हल:
वर्ग।

प्रश्न 10.
आयत, समान्तर चतुर्भुज, वर्ग, समचतुर्भुज, समलम्ब चतुर्भुज में से किन में "विकर्ण उन कोणों के अर्द्धक होते हैं जिनमें से होकर वे गुजरते हैं ?" उनके नाम लिखो।
हल:
वर्ग समचतुर्भुज।

प्रश्न 11.
किसी आयत ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेदित करते हैं। यदि ∠BOC = 40° हो तो ∠OAD का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∠OAD = 45°

प्रश्न 12.
समान्तर चतुर्भुज ABCD में यदि ∠D = 115° हो तो ∠A तथा ∠B ज्ञात कीजिए।
हल:
∠A = 65° तथा ∠B = 115°

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में ∠A, ∠B, ∠C तथा ∠D का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

प्रश्न 14.
संलग्न समान्तर चतुर्भुजाकार आकृति में ∠DAB = 75° और ∠DBC = 60° है, तो ∠CDB और ∠ADB का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
∠CDB = 45° तथा ∠ADB = 60°

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
AB और CD दो समान्तर रेखाएँ हैं। एक तिर्यक रेखा EF, AB को X पर तथा CD को Y पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि अन्तःकोणों के समद्विभाजक एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं जिसका प्रत्येक कोण समकोण है।
हल:
दिया है - AB व CD समान्तर रेखाएँ हैं तथा EF तिर्यक रेखा है।
रचना - अन्त:कोण के समद्विभाजक को MN पर मिलाया।

उपपत्ति - AB ∥ CD अत:
∠AXY = ∠XYD
∵ XM ∠AXY और YN ∠XYD का समद्विभाजक है।
∴ ∠1 = ∠2
अत: XM ∥ YN इसी प्रकार MY ∥ XN
∵ XM तथा XN दो सम्पूरक आसन्न कोणों के समद्विभाजक हैं।
∵ ∠MXN = एक समकोण है तथा MXNY एक समान्तर चतुर्भुज या आयत है।

प्रश्न 2.
यदि एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो, तो वह एक समान्तर चतुर्भुज होता है।

हल:
मान लिया चतुर्भुज ABCD की भुजायें AB तथा CD बराबर हैं और साथ ही AD = BC है। जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। विकर्ण AC को खींचिये।

स्पष्ट है ΔABC ≅ ΔCDA होगा।
अतः ∠BAC = ∠CDA
और ∠BCA = ∠DAC
अतः हम कह सकते हैं कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

हमने यह देखा कि एक समान्तर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर होता है और विलोमतः यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का प्रत्येक युग्म बराबर हो तो वह एक समान्तर चतुर्भुज होता है।

प्रश्न 3.
नीचे के चित्र में ABCD कोई चतुर्भुज है। H, E, F और G क्रमश: AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। क्या BEFG एक समान्तर चतुर्भुज है, क्यों?
[संकेत-GF ∥ AC और GF = \(\frac{1}{2}\)AC क्यों? HE ∥ AC और HE = FAC क्यों ? GF ∥ HE और GF = HE]

हल:
उपपत्ति - ΔABC में H, E क्रमशः AB तथा BC के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है।
HE = \(\frac{1}{2}\)AC तथा HE ∥ AC .....(i)

ΔDAC में G, F क्रमश: AD तथा CD के मध्य-बिन्दु हैं।
∴ GF = \(\frac{1}{2}\)AC तथा GF ∥ AC .....(ii)

(i) व (ii) से
HE = GE तथा HE ∥ GF
चतुर्भुज HEFG एक समान्तर चतुर्भुज है।
(इति सिद्धम् )

प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B के समद्विभाजक 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠AOB का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है - ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

अतः ∠A + ∠B = 180°
⇒ \(\frac{1}{2}\)∠A + \(\frac{1}{2}\)∠B = 90° .....(1)

ΔABO में
\(\frac{1}{2}\)∠A + \(\frac{1}{2}\)∠B + 20 = 180°
20 = 180° - \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B) 
समीकरण (1) से मान रखने पर
∠O = 180° - 90° = 90°

प्रश्न 5.
दिये गये चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। P और Q क्रमशः सम्मुख भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि PRQS एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल:
दिया हुआ है-ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जहाँ P, AB का तथा Q, DC का मध्यबिन्दु है।
सिद्ध करना है-PRQS एक समान्तर चतुर्भुज है। चतुर्भुज APCQ में,
AP = PB तथा DQ = QC 
∵ DC = AB तथा DC ∥ AB
∴ AP = QC एवं AP ∥ QC

इसी प्रकार
PR ∥ SQ
एवं PR = SQ .....(1)

चतुर्भुज PBQD में,
PB = DQ तथा PB ∥ DQ 
QB = DP तथा QB ∥ DP
अतः QR = SP एवं QR ∥ SP .....(2)

समीकरण (1) तथा (2) से, PRQS एक समान्तर चतुर्भुज होगा। (यही सिद्ध करना था)

प्रश्न 6.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें P और Q क्रमशः सम्मुख भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। यदि AQ, DP को S पर प्रतिच्छेद करे और BQ, CP को R पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि

(i) ARCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) DPBQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) PSQR एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल:
(i) चतुर्भुज APCQ में, 
AP ∥ QC (चूँकि AB ∥ CD) .....(1)
AP = \(\frac{1}{2}\)AB. CQ = \(\frac{1}{2}\)CD (दिया है)

साथ ही, AB = CD (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
इसलिए, AP = QC ......(2)
अत: APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है। [(1) और (2) से]

(ii) इसी प्रकार, DPBQ एक समान्तर चतुर्भुज क्योंकि DQ ∥ PB और DQ = PB है।

(iii) चतुर्भुज PSQR में, SP ∥ QR (SP, DP का एक भाग है और QR, QB का एक भाग है) इसी प्रकार, SQ ∥ PR है। अतः PSOR एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7.
सिद्ध करो कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
हल:
दिया है - एक समान्तर चतुर्भुज ABCD

सिद्ध करना है- AB = CD तथा
AD = BC

रचना - समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण A तथा C को मिलाया।

उपपत्ति - चित्रानुसार AB ∥ DC तथा AC एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
∠DCA = ∠BAC (एकान्तर कोण)

पुन: AD ∥ BC तथा AC एक तिर्यक रेखा इन्हें काटती है।
∴ ∠DAC = ∠BCA (एकान्तर कोण)

अब ΔABC तथा ΔADC में
∠BAC = ∠DCA

तथा AC = AC (दोनों में उभयनिष्ठ)
∠BCA = ∠DAC

अत: ΔABC ≅ ΔCDA
(सर्वांगसमता के नियम ASA के अनुसार)

अतः AB = CD तथा AD = BC (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं) (इति सिद्धम्)

प्रश्न 8.
सिद्ध करो कि किसी आयत के विकर्ण समान लम्बाई के होते हैं।
हल:
दिया है-चित्रानुसार एक आयत ABCD है, जिसमें AC तथा BD इसके विकर्ण हैं।

सिद्ध करना है - AC = BD
उपपत्ति - चूँकि ABCD एक आयत है

अतः ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण है। अब मान लिया कि
∠A = 90° .....(i)
साथ ही ∠A + ∠B = 180° [ये क्रमागत अंत:कोण हैं क्योंकि AD ∥ BC] .....(ii)
 ∠A = D∠B = 90°
 
 अब ΔACD तथा ΔABC में
AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा)
∠A = ∠B (प्रत्येक समकोण)
AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)

∴ ΔABD ≅ ΔBAC (सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार)
अतः BD = AC (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं।) (इति सिद्धम् )

प्रश्न 9.
दर्शाइए कि एक आयत का प्रत्येक कोण एक समकोण होता है।
हल:
मान लिया कि ABCD एक आयत है जिसमें ∠A = 90° है।

हमें यहाँ पर सिद्ध करना है कि ∠B = ∠C = ∠D = 90° है।
आकृति में AD ∥ BC और AB एक तिर्यक रेखा
अब
∴ ∠A + ∠B = 180° (∵ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्त:कोण) लेकिन ∠A = 90° है।
∠B = 180° - ∠A
= 180° - 90° = 90°
∠C = ∠A और ∠D = ∠B (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠C = 90° और ∠D = 90°
अतः आयत का प्रत्येक कोण 90° है।

प्रश्न 10.
सिद्ध करो कि समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
हल:
दिया है-एक समान्तर चतुर्भुज ABCD

सिद्ध करना है - ∠A = ∠C तथा
∠B = ∠D उपपत्ति-चित्रानुसार AB तथा DC समान्तर रेखाएँ हैं
तथा AD इनको प्रतिच्छेद करती है। 
∠A + ∠D = 180° .....(i) (क्रमागत अंत:कोण)

पुनः ∵AD ∥ BC तथा DC इनको प्रतिच्छेदित करती है।
∴ ∠C + ∠D = 180° .....(ii) (क्रमागत अंत:कोण)

समीकरण (i) व (ii) से
∠A + ∠D = ∠D + ∠C या
∠A = ∠C इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
∠B = ∠C (इति सिद्धम् )

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब होते हैं।
हल:
दी गई आकृति में ABCD एक समचतुर्भुज

∴ AB = BC = CD = DA 

अब ΔAOD और ΔCOD में
OA = OC (समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।)
OD = OD (उभयनिष्ठ)
AD = CD (दिया है)

अतः ΔAOD ≅ ΔCOD (Sss सर्वांगसमता नियम से)
∴ ∠AOD = ∠COD (CPCT)
परन्तु ∠AOD + ∠COD = 180° (रैखिक युग्म)

∴ 2∠AOD = 180°
या ∠AOD = 90°
अतः समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं।

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। AD बहिष्कोण PAC को समद्विभाजित करता है और CD ∥ BA है। (आकृति में देखिये)
दर्शाइए कि
(i) ∠DAC = ∠BCA
(ii) ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

हल:
(i) ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC (दिया है)
∠ABC = ∠ACB (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
साथ ही, ∠PAC = ∠ABC + ∠ACB (त्रिभुज का बहिष्कोण)
या ∠PAC = ∠ACB + ∠ACB
∠PAC = 2 ∠ACB .....(i)
अब, AD कोण PAC को समद्विभाजित करती है।

∴ PAC = 2 ∠DAC .....(ii)
अतः 2∠DAC = 2∠ACB
(समीकरण (i) और (ii) से)

या ∠DAC = ∠ACB
(ii) अब ये दोनों बराबर कोण वे एकान्तर कोण हैं जो रेखाखण्डों BC और AD को तिर्यक रेखा AC द्वारा प्रतिच्छेद करने से बनते हैं।

∴ BC ∥ ĄD साथ ही BA ∥ CD है।
इस प्रकार, चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समान्तर हैं।
अतः ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 2.
दो समान्तर रेखाओं l और m को एक तिर्यक रेखा P प्रतिच्छेद करती है ( देखिये आकृति)। दर्शाइए कि अंतःकोणों के सम-द्विभाजकों से बना चतुर्भुज एक आयत है।

हल:
दिया गया है कि l ∥ m है और तिर्यक रेखा P इन्हें क्रमशः बिन्दुओंA और C पर प्रतिच्छेद करती है।
∠PAC और ∠ACQ के समद्विभाजक B पर प्रतिच्छेद करते हैं और ∠ACR और ∠SAC के समद्विभाजक D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है - चतुर्भुज ABCD एक आयत है। 

अब ∠PAC = ∠ACR (l ∥ m और तिर्यक रेखा P से बने एकान्तर कोण)
∴ \(\frac{1}{2}\)∠PAC = \(\frac{1}{2}\)∠ACR 
अर्थात् ∠BAC = ∠ACD

ये बराबर कोण रेखाओं AB और DC के तिर्यक रेखा AC द्वारा प्रतिच्छेद करने से बनते हैं और ये एकान्तर कोण हैं।
AB ∥ DC इसी प्रकार BC ∥ AD (∠ACB और ∠CAD लेने पर)

अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। साथ ही,
∠PAC + ∠CAS = 180° (रैखिक युग्म)
\(\frac{1}{2}\)∠PAC + \(\frac{1}{2}\)∠CAS = \(\frac{1}{2}\) × 180°
= 90°

या ∠BAC + ∠CAD = 90°
या ∠BAD = 90°
∴ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण समकोण है।
अत: ABCD एक आयत है।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।
हल:
माना, P, Q, R तथा S क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD के ∠A और ∠B. ∠B और ∠C, ∠C और ∠D तथा ∠D तथा ∠A के समद्विभाजकों के प्रतिच्छेद बिन्दु हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

ΔASD में, चूँकि DS कोण D को और AS कोण A को संमद्विभाजित करते हैं, इसलिए
∠DAS + ∠ADS = \(\frac{1}{2}\)∠A + \(\frac{1}{2}\)∠D
= \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠D)
= \(\frac{1}{2}\) × 180° = 90° (∠A और ∠D तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तःकोण हैं)

∠DAS + ∠ADS + ∠DSA = 180°
90° + ∠DSA = 180°
या ∠DSA = 180° - 90° = 90°
अतः ∠PSR = 90° (∠DSA का शीर्षाभिमुख कोण)

इसी प्रकार से यह दिखाया जा सकता है कि
∠APB = 90° या ∠SPQ =  90° (जैसा कि ∠DSA के लिए किया था)
इसी प्रकार, ∠PQR = 90° और ∠SRQ = 90° है।
इसलिए, PQRS एक ऐसा चतुर्भुज है जिसके सभी कोण समकोण हैं।

अतः हम यह सिद्ध कर चुके हैं कि
∠PSR = ∠PQR = 90°
और ∠SPQ = ∠SRQ = 90° है।
अर्थात् सम्मुख कोणों के दोनों युग्म बराबर हैं। 

अतः PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है, जिसमें एक कोण
(वास्तव में सभी कोण) समकोण हैं। इसलिए PQRS एक आयत है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के समान्तर होता है।
हल:
दिया गया है
दी गई आकृति में E और F क्रमश: ΔABC की भुजाओं AB तथा AC के मध्यबिन्दु हैं।

रचना से-CD ∥ BA की गई है।

उपपत्ति- AE = BE
AF = FC दिया है
AE = DC दिया है
ΔAEF ≅ ΔCDF (ASA नियम से)

अत: BCDE एक समान्तर चतुर्भुज है।
इससे EF ∥ BC प्राप्त होता है।
EF = \(\frac{1}{2}\)ED = \(\frac{1}{2}\)BC है।

प्रश्न 5.
ΔABC में, D, E और F क्रमशः भुजाओं AB, BC और CA के मध्य-बिन्दु हैं ( देखिये आकृति)। दर्शाइए कि बिन्दुओं D, E और F को मिलाने पर ΔABC चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है।

हल:
चूँकि D और E क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य-बिन्दु हैं, इसलिए मध्यमान प्रमेय से
DE ∥ AC इसी प्रकार, DF ∥ BC और EF ∥ AB है।
इसलिए, ADEE, BDFE और DFCE में से प्रत्येक एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब, DE समान्तर चतुर्भुज BDEF का एक विकर्ण है।
ΔBDE ≅ ΔFED
इसी प्रकार ΔDAF ≅ ΔFED
और ΔEFC ≅ ΔFED
अतः चारों त्रिभुज सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 6.
दिए गए चित्र में, D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्द हैं। यदि AB = 4.3 सेमी., BC = 5.6 सेमी. और AC = 3.9 सेमी. हों, तो निम्नलिखित का परिमाप ज्ञात कीजिए

(i) ΔDEF और
(ii) चतुर्भुज BDEF.
हल:
(i) ΔDEF का परिमाप
= DE + EF + FD 
लेकिन चित्र में D, E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिन्दु हैं ।
DE = \(\frac{1}{2}\)AB
FD = \(\frac{1}{2}\)AC
EF = \(\frac{1}{2}\)BC

∴ ΔDEF का परिमाप
= \(\frac{1}{2}\)AB + \(\frac{1}{2}\)BC + \(\frac{1}{2}\)AC
= (AB + BC + CA)

मान रखने पर = \(\frac{1}{2}\)(4.3 + 5.6 + 3.9)
= \(\frac{1}{2}\)(13.8) = 6.9 सेमी.

(ii) चतुर्भुज BDEF का परिमाप
= BD + DE + EF + FB
= \(\frac{1}{2}\)BC + \(\frac{1}{2}\)AB + \(\frac{1}{2}\)BC + \(\frac{1}{2}\)AB (:: D, E, F, ΔABC की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं।)
= AB + BC = 4.3 + 5.6 = 9.9 सेमी.

प्रश्न 7.
दिए गए चित्र में ABCD और AEFG दो समान्तर चतुर्भुज हैं। यदि ∠C = 60° हो, तो ∠GFE और ∠AGF का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
दिए हुए समान्तर चतुर्भुज ABCD और AEFG की भुजायें समान्तर हैं। यानी
GF ∥ DC
और FE ∥ CB
∠GFE = ∠DCB
= ∠C
= 60°
∴∠C = 60° दिया हुआ है।
पुनः ∠AGF और ∠GFE

समान्तर चतुर्भुज AGFE में एक ही भुजा GF पर बने कोण हैं।
∴ ∠AGF + ∠GFE = 180°
∠AGF + ∠C = 180°
∠AGF + 60° = 180°
∠AGF = 180° - 60°
= 120° 

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि एक आयत की भुजाओं के युग्मों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से एक समचतुर्भुज बनता है।
हल:
दिया है - आयत ABCD जिसमें भुजा AB, BC, CD व DA के मध्य बिन्दु क्रमश: E, F, G व H हैं।

रचना - EFGH को मिलाया तथा AC विकर्ण खींचा।
उपपत्ति - ΔABC में EF = \(\frac{1}{2}\)AC
तथा GH = \(\frac{1}{2}\)AC अत: EF = GH इसी प्रकार
HE = GF क्योंकि आयत के विकर्ण समान होते हैं AC = BD
इसी प्रकार HG = EF आयत के विकर्ण बराबर होते हैं 
अतः HE = EF = GH = HG
अतः HEFG एक समचतुर्भुज होगा।

प्रश्न 9.
l, m और n तीन समान्तर रेखाएँ हैं जो तिर्यक रेखाओंp और द्वारा इस प्रकार प्रतिच्छेदित हैं कि l, m और n रेखा p पर समान अंत:खण्ड AB और BC काटती हैं। दर्शाइए कि !, m और n रेखा पर भी समान अंतःखण्ड DE और EF काटती हैं।
हल:
प्रश्नानुसार दिया गया है कि AB = BC तथा हमें यह सिद्ध करना है कि DE = EF.

अब बिन्दु A को F से मिलाया तथा इससे AF रेखा m को G पर प्रतिच्छेद करती है तथा समलम्ब ACFD दो त्रिभुजों ΔACF और ΔAFD में विभाजित हो जाता है।
ΔACF में यह दिया है कि B, भुजा AC का मध्य-बिन्दु है ।
(AB = BC) साथ ही, BG ∥ CF (चूँकि m ∥ n है)
अतः G भुजा AF का मध्य-बिन्दु है। (प्रमेय 8.10 द्वारा)
अब ΔAFD में भी हम इसी तर्क का प्रयोग कर सकते हैं क्योंकि G भुजा AF का मध्य-बिन्दु है और GE ∥ AD है,
इसलिए प्रमेय 8.10 से E भुजा DF का मध्य-बिन्दु है।
अर्थात् DE = EF है।
दूसरे शब्दों में, 1, m और n तिर्यक रेखा q पर भी बराबर अंत:खण्ड काटती हैं।