RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 10 वृत्त Important Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Chapter 10 Important Questions वृत्त

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
लघुचाप का डिग्री में माप होता है
(A) 180° से कम
(B) 180° से अधिक
(C) 360°
(D) 270°
उत्तरः
(A) 180° से कम

प्रश्न 2.
दीर्घचाप का डिग्री में माप होता है
(A) 180° से कम
(B) 180° से अधिक
(C) 360°
(D) 90°
उत्तरः
(B) 180° से अधिक

प्रश्न 3.
एक वृत्त में केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ एक-दूसरे की होती हैं
(A) दुगुनी
(B) तिगुनी
(C) आधी
(D) बराबर
उत्तरः
(D) बराबर

प्रश्न 4.
एक वृत्त के किसी चाप का डिग्री माप 180° है, वह चाप है
(A) दीर्घचाप
(B) लघुचाप
(C) वृत्त
(D) अद्धवृत्त
उत्तरः
(D) अद्धवृत्त

प्रश्न 5.
तीन सरेख बिन्दुओं से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या है-
(A) एक
(B) दो
(C) शून्य
(D) अनन्त
उत्तरः
(C) शून्य

प्रश्न 6.
दिए गए चित्र में ∠ABO = 35°, ∠CDE = x° तथा DE वृत्त की स्पर्श रेखा है। x का मान होगा

(A) 35°
(B) 55°
(C) 70°
(D) 90°
उत्तरः
(B) 55°

प्रश्न 7.
दिए गए चित्र में चतुर्भुज ABCD के परिगत एक वृत्त खींचा गया है। इसमें सही सम्बन्ध है-

(A) ∠A = ∠C
(B) ∠A = ∠B
(C) ∠A = 90° - ∠C
(D) ∠A = 180° - ∠C
उत्तरः
(D) ∠A = 180° - ∠C

प्रश्न 8.
दिए गए चित्र में, ∠BAC का मान होगा-

(A) 80°
(B) 160°
(C) 90°
(D) 200°
उत्तरः
(A) 80°

प्रश्न 9.
दिए गए चित्र में, यदि वृत्त का केन्द्र 0 हो, तो ∠AOB का मान होगा

(A) 70°
(B) 110°
(C) 120°
(D) 140°
उत्तरः
(D) 140°

प्रश्न 10.
दिए गए चित्र में, यदि वृत्त का केन्द्र 0 हो और ∠AOC = 160° हो तो ∠ABC का मान होगा

(A) 160°
(B) 200°
(C) 80°
(D) 100°
उत्तरः
(D) 100°

प्रश्न 11.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज इस प्रकार है कि ∠ADB = 30° और ∠DCA = 80° तब ∠DAB =
(A) 70°
(B) 100°
(C) 125°
(D) 150°
उत्तरः
(A) 70°

प्रश्न 12.
किसी वृत्त की जीवा 10 सेमी. की है। तब इस वृत्त की त्रिज्या होगी
(A) 7 सेमी.
(B) 5 सेमी.
(C) 5 सेमी. से ज्यादा या बराबर
(D) 5 सेमी. से कम
उत्तरः
(B) 5 सेमी.

प्रश्न 13.
यदि AB, BC और CD किसी वृत्त की समान जीवाएँ हैं, 0 वृत्त केन्द्र है और AD व्यास है, तब ∠AOB =
(A) 60°
(B) 90°
(C) 120°
(D) इनमें से कोई नहीं
उत्तरः
(A) 60°

प्रश्न 14.
एक वृत्त में एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC बनाया गया है। 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠BOC का माप
(A) 30°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 120°
उत्तरः
(D) 120°

प्रश्न 15.
एक वृत्त, जिसका केन्द्र 0 है, में AB और CD दो परस्पर लम्बवत् व्यास हैं। जीवा AC की लम्बाई है
(A) 2AB
(B) √2
(C) \(\frac{1}{2}\)AB
(D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)AB
उत्तरः
(D) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)AB

प्रश्न 16.
किसी वृत्त में AB एक जीवा है। वृत्त पर दो बिन्दु P और Q हैं जो कि A व B से भिन्न हैं, तब
(A) ∠APB = ∠AQB
(B) ∠APB + ∠AQB = 180° या ∠APB = ∠AQB
(C) ∠APB + ∠AQB = 90°
(D) ∠APB + ∠AQB = 180°
उत्तरः
(B) ∠APB + ∠AQB = 180° या ∠APB = ∠AQB

प्रश्न 17.
किसी वृत्त पर एक चाप ABC और ∠ABC = 135° है। तब चाप ABC और परिधि का अनुपात है-
(A) 1 : 4
(B) 3 : 4
(C) 3 : 8
(D) 1 : 2
उत्तरः
(A) 1 : 4

प्रश्न 18.
PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज इस प्रकार है कि PR, वृत्त का एक व्यास है। यदि ∠QPR = 67° और ∠SPR = 72°, तब ∠QRS =
(A) 41°
(B) 23°
(C) 67°
(D) 18°
उत्तरः
(A) 41°

प्रश्न 19.
किसी वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को कहते हैं
(A) त्रिज्या
(B) छेदन रेखा
(C) व्यास
(D) चाप
उत्तरः
(C) व्यास

प्रश्न 20.
चित्र में, वृत्त की जीवाएँ AB और CD एक दूसरे को लम्बवत् प्रतिच्छेदित कर रही हैं, तब x + y =

(A) 45°
(B) 60°
(C) 75°
(D) 90°
उत्तरः
(D) 90°

प्रश्न 21.
चित्र में ∠ABC = 45°, तब ∠AOC =

(A) 45°
(B) 60°
(C) 75°
(D) 90°
उत्तरः
(D) 90°

प्रश्न 22.
किसी वृत्त की जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस जीवा द्वारा वृत्त के लघुचाप पर बनाया गया कोण है-
(A) 60°
(B) 75°
(C) 120°
(D) 150°
उत्तरः
(D) 150°

प्रश्न 23.
यदि A, B व C किसी वृत्त पर तीन बिन्दु हैं तथा 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠AOB = 90° और ∠BOC = 120°, तब ∠ABC =
(A) 60°
(B) 75°
(C) 90°
(D) 135°
उत्तरः
(B) 75°

प्रश्न 24.
समान त्रिज्या r के दो वृत्त एक-दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेदित करते हैं कि वे एक-दूसरे के केन्द्र से गुजरते हैं। तब दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई होगी
(A) √r
(B) √2 r AB
(C) √3r
(D) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)r
उत्तरः
(C) √3r

प्रश्न 25.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है और ∠BDC = 42°, तब ∠ACB का माप है-

(A) 42°
(B) 48°
(C) 58°
(D) 52°
उत्तरः
(B) 48°

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो

प्रश्न 1.
जिस कोण का शीर्ष वृत्त का केन्द्र हो उसे ....................... कोण कहते हैं।
उत्तर:
केन्द्रीय

प्रश्न 2.
लघु चाप का डिग्री माप ......................... से कम होता है तथा दीर्घ चाप का डिग्री माप ....................... से अधिक होता है।
उत्तर:
180°, 180°

प्रश्न 3.
एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज एक .......................... :
उत्तर:
आयत

प्रश्न 4.
वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र पर ........................... कोण अन्तरित करती हैं।
उत्तर:
समान

प्रश्न 5.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों तो वह एक .......................... होता है।
उत्तर:
आयत

प्रश्न 6.
एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण .......................... होते हैं।
उत्तर:
सम्पूरक

प्रश्न 7.
एक अर्द्धवत्त में बना कोण ........................... होता है।
उत्तर:
समकोण

प्रश्न 8.
वृत्त के एक ही वृत्तखण्ड में स्थित कोण ......................... होते हैं।
उत्तर:
समान

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए

प्रश्न 1.
सर्वांगसम वृत्तों (या एक ही वृत्त) में दो चाप बराबर हों तो उनकी संगत जीवाएँ समान लम्बाई की होती हैं।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब उस जीवा को समद्विभाजित करता है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
वृत्त के केन्द्र और जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा के समान्तर होती है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 4.
तीन असंरेख बिन्दुओं से होकर अनेक वृत्त गुजर सकते हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
चतुर्भुज जिसमें सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों, चक्रीय चतुर्भुज कहलाता है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 6.
एक वृत्त का वह चाप जो वृत्त के शेष भाग पर न्यूनकोण अन्तरित करता है, एक अर्द्धवृत्त होता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 7.
वृत्त के किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 8.
किसी वृत्त की जीवाएँ जो वृत्त के केन्द्र से बराबर दूरी पर हैं, परस्पर लम्बवत् होती हैं।
उत्तर:
असत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 4 सेमी. है। इस वृत्त में दो | समान्तर जीवाओं के मध्य-बिन्दुओं से गुजरने वाली जीवा की लम्बाई लिखिए।
हल:
समान्तर जीवाओं का मध्य बिन्दु केन्द्र से जाता है। अत: वृत्त का व्यास इसकी जीवा होगी।
जीवा की लम्बाई = 2 × त्रिज्या
= 2 × 4 = 8 सेमी.

प्रश्न 2.
दी गई आकृति में 0 वृत्त का केन्द्र है तथा जीवाएँ AB = BC हैं। यदि ∠BOC = 100° है, तो ∠AOB का मान लिखिए।

उत्तर:
∠AOB = 100° ∵ AB = BC है।

प्रश्न 3.
यदि 16 सेमी. लम्बाई की एक जीवा वृत्त के केन्द्र से 6 सेमी. की दूरी पर है, तो उस वृत्त के व्यास की लम्बाई लिखिए।
हल:
(AO)² = (AP)² + (OP)².
(AO)² = (8)² + (6)²
= 64 + 36
(AO)² = 100

∴ AO = √100 = 10 सेमी.
अतः वृत्त की त्रिज्या = 10 सेमी.
∴ वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 × 10 = 20 सेमी.

प्रश्न 4.
वृत्त C (O. 5) तथा C (O', 5) में जीवा AB = जीवा CD है। यदि m (\(\overline{\mathrm{AB}}\)) = 60° है, तो m (\(\overline{\mathrm{CD}}\)) का मान लिखिए।
हल:
m (\(\overline{\mathrm{CD}}\)) = 60°

प्रश्न 5.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB तथा CD हैं जो परस्पर समान्तर और बराबर हैं। यदि प्रत्येक की लम्बाई 8 सेमी. हो और वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. हो तो उनके बीच की दूरी लिखो।
हल:
केन्द्र से AB की दूरी = \(\sqrt{5^{2}-4^{2}}\) = √5 = 3 सेमी.
अतः दोनों के मध्य की दूरी = 3 × 2 = 6 सेमी.

प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी. और वृत्त के केन्द्र से एक जीवा पर लम्ब की लम्बाई 4 सेमी. है तो जीवा की लम्बाई ज्ञात करो।
हल:
2 \(\sqrt{5^{2}-4^{2}}\) = 2 × 3 = 6 सेमी.

प्रश्न 7.
एक वृत्त की जीवा 7 सेमी. है और केन्द्र से जीवा की दूरी 1.2 सेमी. है तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो।
हल:
त्रिज्या = \(\sqrt{(3.5)^{2}+(1.2)^{2}}\)
= \(\sqrt{12.25+1.44}\)
= \(\sqrt{13.69}\)
= 3.7 सेमी.

प्रश्न 8.
एक वृत्त 5 सेमी. त्रिज्या का है, इसकी सबसे बड़ी जीवा की लम्बाई बताइए।
उत्तर:
10 सेमी.

प्रश्न 9.
दी गई आकृति में, AOB वृत्त का व्यास है तथा ∠ROS = 42° है, तो ∠RTS की माप ज्ञात कीजिए।

हल:
∠RTS = 69°

प्रश्न 10.
दी गई आकृति में AB वृत्त का व्यास है। यदि ∠ABC = 59° है तो ∠BAC का मान लिखिए।

हल:
∠BAC = 90° - 59° = 31° क्योंकि ∠ACB = 90° है।

प्रश्न 11.
दिए गए चित्र में 'O' वृत्त का केन्द्र है। ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। ∠PCB = 70° है, तो ∠BOD का मान लिखिए।

हल:
∠DCB = 180° – 70° = 110°
∴ ∠DAB = 180° - 110° = 70° 
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠BOD = 2 × 70° = 140°

प्रश्न 12.
दिए गए चित्र में, 'O' वृत्त का केन्द्र है तथा ∠CAO = 30° है, तो ∠AOD का मान है-

हल:
∠AOD = 2∠CAO = 60°

प्रश्न 13.
दिए गए चित्र में ∠x व ∠y का मान ज्ञात करो।

हल:
∠x = 2 × 54 = 108°
तथा ∠x = ∠y
अतः y = \(\frac{108}{2}\) = 54°

प्रश्न 14.
दिए गए चित्र में, '0' वृत्त का केन्द्र है। ∠OAB = 25° है तथा ∠ACB = θ है, तो θ का मान लिखिए।

हल:
∠ABO = 25°
∵ OA = OB
∴ ∠AOB = 180° - (25° + 25°)
= 130°
और ∠ACB = \(\frac{1}{2}\) ∠AOB
= \(\frac{1}{2}\) × 130° = 65°
∴ θ = 65°

प्रश्न 15.
दिए गए चित्र में ∠DBC = 36° हो, तो ∠BAC का मान लिखिए।

हल:
54°

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए वृत्त की बराबर जीवायें केन्द्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल:
उपपत्ति-एक वृत्त जिसका केन्द्र 0 है। इसकी दो जीवायें AB और CD दी गई हैं जो आपस में बराबर हैं। हमें यहाँ पर सिद्ध करना है कि ∠AOB = ∠COD होगा।

त्रिभुज AOB तथा COD में,
OA = OC
एक ही वृत्त की त्रिज्यायें हैं।
OB = OD (एक वृत्त की त्रिज्यायें)
AB = CD दिया है
अत: ∆ AOB ≅ ∆ COD (SSS नियम)
इस प्रकार से हम पाते हैं कि
∠AOB = ∠COD
(सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
(इति सिद्धम्)

प्रश्न 2.
एक वृत्त के केन्द्र से एक जीवा को समद्विभाजित करने के लिए खींची गई रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
हल:

दिया है- एक वृत्त जिसका केन्द्र 0 है। इसकी AB एक जीवा है और O को AB के मध्य-बिन्दु M से मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: OM ⊥ AB
रचना: OA तथा OB को मिलाया गया है।
उपपत्ति: ∆ OAM तथा ∆ OBM में OA = OB
एक ही वृत्त की त्रिज्यायें हैं।
AM = BM दिया है
और OM = OM (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ OAM ≅ ∆OBM
इससे प्राप्त होता है
∠OMA = ∠OMB = 90° (इति सिद्धम्)

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, ABCDE अर्धवृत्त में बना पंचभुज है, तो सिद्ध कीजिए- ∠ABC + ∠CDE = 3 समकोण। (केवल उपपत्ति के पद लिखिए)।

हल:
अर्द्धवृत्त की परिधि पर बना कोण समकोण होता है।
अतः ∠ADE = 90° ...... (i)
चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं।
∴ ∠ABC + ∠CDA = 180° ....... (ii)
(i) व (ii) को जोड़ने पर
∠ADE + ∠CDA + ∠ABC = 90° + 180°
∠CDE + ∠ABC = 270°
या ∠ABC + ∠CDE = 90 × 3
या ∠ABC + ∠CDE = 3 समकोण
(इति सिद्धम्)

प्रश्न 4.
दी गई आकृति में AB वृत्त का एक व्यास है और CD त्रिज्या के बराबर एक जीवा है। AC और BD बढ़ाए जाने पर एक बिन्दु E पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AEB = 60° है।

हल:
भुजा OC, OD तथा BC को मिलाइए। आकृति के अनुसार ∆ODC एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः ∠COD = 60°
अब ∠CBD = \(\frac{1}{2}\)∠COD
क्योंकि एक चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।
∴ ∠CBD = 30°
पुनः ∠ACB = 90°
(∵ अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∴ ∠BCE = 180° - ∠ACB = 90°
जिससे ∠CEB = 90° - 30° = 60°, अर्थात् ∠AEB = 60° प्राप्त होता है।

प्रश्न 5.
आकृति में, ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें AC और BD विकर्ण हैं। यदि ∠DBC = 55° तथा ∠BAC = 45° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए।

हल:
∠CAD = ∠DBC = 55° (एक वृत्तखण्ड के कोण)
अतः ∠DAB = ∠CAD + ∠BAC
= 55° + 45° = 100°
परन्तु, ∠DAB + ∠BCD = 180°
(चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
इसलिए, ∠BCD = 180° - 100° = 80°

प्रश्न 6.
दो वृत्त दो बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। AD और AC दोनों वृत्तों के व्यास हैं। सिद्ध कीजिए कि B रेखाखण्ड DC पर स्थित है।

हल:
AB को मिलाइए। अब,
∠ABD = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
∠ABC = 90° (अर्धवृत्त का कोण)
इसलिए, ∠ABD + ∠ABC = 90° + 90° = 180°
अत: DBC एक रेखा है। अर्थात् B रेखाखण्ड DC पर स्थित है।

प्रश्न 7.
चित्र में, दो समान जीवाएँ AB और CD एक-दूसरे को E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि, \(\overparen{\mathrm{DA}} = \overparen{\mathrm{CB}}\)
हल:
दिया है-वृत्त C (O, r) में जीवा AB = जीवा CD, परस्पर E प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है- \(\overparen{\mathrm{DA}} = \overparen{\mathrm{CB}}\)

प्रश्न 8.
दी गई आकृति में 0 वृत्त का केन्द्र है। जीवा AB = CD एवं ∠OBA = 40° हो तो ∠COD की माप ज्ञात कीजिए।

हल:
दिया है-AB = CD
वृत्त की त्रिज्या = OB = OD
∴ ∠OBA = ∠ODC = 40°
∆ OCD में OD = OC (वृत्त की त्रिज्या)
∴ ∆ OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠OCD = ∠ODC = 40°
∆ OCD में
∠ODC + ∠OCD + ∠COD = 180°
40° + 40° + ∠COD = 180°
∠COD = 180 - 40 - 40
∠COD = 180° - 80°
∠COD = 100°

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए
"अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है।"
हल:
दिया है-PQ व्यास का वृत्त C (O, r) है।
सिद्ध करना है- ∠PRQ = 90°

उपपत्ति- ∵वृत्त के किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अन्तरित कोण उसी चाप के सापेक्ष वृत्त के एकान्तर खण्ड के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दुगुना होता है
अतः ∠POQ = 2 ∠PRQ
⇒ 180° = 2 ∠PRQ
(∵ ∠POQ = अर्धवृत्त का डिग्री माप = 180°)
⇒ ∠PRQ = \(\frac{180^{\circ}}{2}\) = 90°
अत: ∠PRO = 90° (इति सिद्धम् )

प्रश्न 10.
दिए गए चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। केवल उपपत्ति के पद लिखकर सिद्ध कीजिए
∠CBE - ∠ADC
अथवा
चित्र में ABCD चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB को E तक बढ़ाया गया है। सिद्ध कीजिए ∠ADC = ∠CBE केवल उपपत्ति के पद लिखिए।

हल:
उपपत्ति
∠ADC + ∠ABC = 2 समकोण
(चक्रीय चतुर्भुज के अभिमुख कोण सम्पूरक होते ......(i)
तथा ABE एक सीधी रेखा है, अतः बिन्दु B पर बने आसन्न कोण
∠ABC + ∠CBE = 2 समकोण .........(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
∠ADC + ∠ABC = ∠ABC + ∠CBE
अतः ∠ADC = ∠CBE (इति सिद्धम् )

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में दो चाप सर्वांगसम होते हैं, यदि उनके द्वारा केन्द्र पर बने कोण समान हों।
हल:
दिया है- वृत्त C (O, r) में दो चाप \(\widehat{A B}\) व \(\widehat{C D}\) इस प्रकार हैं कि
∠AOB = ∠COD
सिद्ध करना है
\(\widehat{A B}\) ≅ \(\widehat{C D}\)
रचना: AB व CD को मिलाइए।

उपपत्ति: ∆ AOB तथा ∆ OCD में
∵ OA = OC (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
OB = OD (एक ही वृत्त की त्रिज्या)
∠AOB = ∠COD (दिया है)
∴ ∆ OAB ≅ ∆ OCD (भुजा-कोण भुजा सर्वांगसमता अभिगृहीत)
⇒ AB = CD
∵ वृत्त की दी जीवाएँ बराबर हैं ⇒ \(\widehat{A B}\) ≅ \(\widehat{C D}\)

प्रश्न 12.
यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी. है। यदि इसकी एक जीवा की लम्बाई 10 सेमी. हो, तो इस जीवा की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ ∆ OPB में OB = 13 सेमी.
तथा PB = \(\frac{\mathrm{AB}}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5 सेमी.

अत: पाइथागोरस प्रमेय से
OP² = OB² - PB²
या OP² = 13² - 5²
या OP² = 169 - 25
OP = √144 = 12 सेमी.
अतः जीवा की केन्द्र से दूरी = 12 सेमी.

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD जिनकी लम्बाइयाँ क्रमश: 6 सेमी. और 12 सेमी. हैं, एक-दूसरे के समान्तर हैं तथा वे वृत्त के केन्द्र के एक ही ओर स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच 3 सेमी. की दूरी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया है-
AB = 6 सेमी.
CD = 12 सेमी.
PQ = 3 सेमी.
माना वृत्त की त्रिज्या = x सेमी

समकोण त्रिभुज CPO में
माना OP = y सेमी.
CP = \(\frac{12}{2}\) = 6 सेमी.
(CO)² = (CP)² + (OP)²
x² = (6)² + y²
x² = 36 + y² ............... (i)
समकोण त्रिभुज OQA में
OA = x
OQ = 3 + y
और AQ = \(\frac{6}{2}\) = 3 सेमी.
अतः
(AO)² = (AQ)² + (OQ)²
(x)² = (3)² + (3 + y)²
x² = 9 + (3 + y)² .....(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को बराबर करने पर।
36 + y² = 9 + (3 + y)²
⇒ 36 + y² = 9 + 9 + 6y + y²
⇒ 36 = 18 + 6y
⇒ 18 = 6y
⇒ y = \(\frac{18}{6}\) = 3 सेमी.
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x² = 36 + (3)² = 36 + 9
x² = 45
x = \(\sqrt{45}=\sqrt{9 \times 5}=3 \sqrt{5}\)
अतः वृत्त की त्रिज्या = 3√5 सेमी. उत्तर

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त की जीवा का लम्ब समद्विभाजक संगत चाप को समद्विभाजित करता है।
हल: O केन्द्र वाले वृत्त की AB एक जीवा है जिसका CD लम्ब समद्विभाजक है, जो AB के M बिन्दु से गुजरता है।
सिद्ध करना है-चाप AC = चाप CB
या \(\overparen{\mathrm{AC}} = \overparen{\mathrm{CB}}\)
रचना: OA और OB को मिलाओ।

उपपत्ति: ∵ CD जीवा AB का लम्ब समद्विभाजक है, जो AB के M बिन्दु से गुजरता है।
∴ M जीवा AB का मध्य बिन्दु है।
आगे CD, AB के लम्ब है और उसके मध्य बिन्दु से गुजरता है। ∴ CD वृत्त के केन्द्र से गुजरता है।
अत: ∆^s OMA और ∆^s OMB में
OA = OB एक ही वृत्त की त्रिज्यायें हैं।
AM = MB (M, AB का मध्य बिन्दु है)
∠OMA = ∠OMB = 90°
∴ ∠OMA = ∠OMB
∴ ∠OMA = ∠OMB
कोण OMA और कोण OMB क्रमशः वृत्त के केन्द्र 0 पर चाप \(\overparen{\mathrm{AC}}\) और चाप \(\overparen{\mathrm{CB}}\) द्वारा बनाये गये कोण हैं।
∵ समान लम्बाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर समान कोण बनाती है।
∴ चाप AC = चाप CB (इति सिद्धम्)

प्रश्न 3.
चित्र में, AB और CD एक वृत्त की समान जीवाएँ हैं। वृत्त का केन्द्र 0 है। OM ⊥ AB और ON ⊥ CD हों, तो सिद्ध कीजिए कि
∠OMN = ∠ONM

हल:
दिया हुआ है- AB और CD एक वृत्त की समान लम्बाई की दो जीवाएँ हैं, जिन पर क्रमशः OM और ON वृत्त के केन्द्र 0 से लम्ब हैं। MN लम्ब पादों को मिलाने वाला रेखाखण्ड है।
सिद्ध करना है: ∠OMN = ∠ONM
उपपत्ति: AB व CD वृत्त की समान जीवाएँ हैं।
∴ OM = ON
(किसी वृत्त की समान लम्बाई की जीवाओं पर वृत्त के केन्द्र से उन पर लम्बों की लम्बाई बराबर होती है)।
अब ∆ OMN में
OM = ON
OMN समद्विबाहु त्रिभुज है।
पुनः समद्विबाहु त्रिभुज में समान लंबाई की भुजाओं के कोण बराबर होते हैं।
∴∠OMN = ∠ONM (इति सिद्धम्)

प्रश्न 4.
चित्र में, 0 और O' दिए गए वृत्तों के केन्द्र हैं। AB || OO', OD ⊥ AB और O'E ⊥AB हैं। सिद्ध कीजिए कि AB = 200'.

हल:
उपपत्ति-
AB || OO', OD ⊥ AB, O'E ⊥ AB
∴ BE = EC
∴ BC = 2EC. .....(1)
इसी प्रकार से OD ⊥CA
∴ CD = DA
∴ CA = 2CD ........(2).
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
BC + CA = 2EC + 2CD = 2 (EC + CD)
⇒ AB = 2ED ....(3)
परन्तु रचनानुसार O'OED एक आयत है।
∵ ED = O'O
∴ AB = 2OO' (इति सिद्धम्)

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि एक चाप का अंश माप उसी चाप के सापेक्ष वृत्त के एकान्तर खण्ड के किसी बिन्दु पर इस चाप द्वारा अन्तरित कोण का दुगुना होता है।
हल:
दिया है-ABC एक वृत्त है, जिसका केन्द्र O है तथा उसका चाप AB केन्द्र पर ∠AOB तथा शेष परिधि के किसी बिन्दु C पर ∠ACB अन्तरित करता
सिद्ध करना है- ∠AOB = 2 ∠ACB
रचना-C को O से मिलाया और बिन्दु D तक बढ़ाया।

उपपत्ति: ∆ AOC में OA = OC (त्रिज्यायें)
∴ ∠ACO = ∠OAC
∴ बहिष्कोण∠AOD = ∠OAC + ∠OCA .....(i)
∴ ∠AOD = 2 ∠OCA
इसी प्रकार ∠BOC में,
OB = OC (त्रिज्यायें)
∴ ∠OBC = ∠ OCB
∴ बहिष्कोण BOD = ∠ OBC + ∠ OCB
∴ BOD = 2 ∠ OCB ....... (ii)
(i) व (ii) के योग से
∵ ∠AOD + ∠BOD = 2 ∠OCA + 2 20CB
∴ ∠AOB = 2 ∠ ACB यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के किसी भी युग्म का क्षेत्रफल 180° होता है।
अथवा
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय चतुर्भुज के अभिमुख कोण सम्पूरक होते हैं।
हल:
दिया है- ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है और 0 इसके वृत्त का केन्द्र है।
सिद्ध करना है- ∠1 + ∠2 = 2 समकोण; ∠3 + ∠4 = 2 समकोण
रचना: केन्द्र O को B और D से क्रमशः मिला दिया और इस प्रकार बने केन्द्र पर कोणों का ∠5 और ∠6 से नामांकन किया।

उपपत्ति: चाप BD द्वारा केन्द्र पर अन्तरित ∠5 और परिधि के शेष भाग पर ∠1 अंतरित होता है।
अतः ∠1 = \(\frac{1}{2}\)∠5
∵ केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है।
इसी प्रकार ∠2 = \(\frac{1}{2}\) ∠6
जोड़ने पर
∴∠1 + ∠ 2 = \(\frac{1}{2}\)(∠ 5 + ∠ 6)
परन्तु ∠5 + ∠6 = 4 समकोण
∴ ∠1 + ∠2 = \(\frac{1}{2}\) + 4 समकोण = 2 समकोण
इसी प्रकार ∠3 + ∠4 = 2 समकोण (इति सिद्धम्)

प्रश्न 7.
यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ प्रतिच्छेद बिन्दु से जाने वाले व्यास से समान कोण बनाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि वे जीवाएँ बराबर हैं।
हल:
एक वृत्त दिया है जिसका केन्द्र 0 है। इस वृत्त की दो जीवाएँ क्रमश: AB तथा CD बिन्दु E पर प्रतिच्छेदित करती हैं।

E से जाने वाला PQ एक ऐसा व्यास है कि
∠AEQ = ∠DEQ.
अब सिद्ध करना है कि AB = CD
अब जीवाओं AB तथा CD पर क्रमशः OL तथा OM लम्ब खींचिए।
∠LOE = 180° - 90° - ∠LEO
= 90° - ∠LEO
(त्रिभुज के कोणों के योग का गुण)
= 90° - ∠AEQ = 90° - ∠DEQ
= 90° - ∠MEO = ∠MOE
त्रिभुजों OLE तथा OME में,
∠LEO = ∠MEO (दिया है)
∠LOE = ∠MOE
(ऊपर सिद्ध किया है)
EO = EO (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ OLE ≅ ∆ OME
इससे प्राप्त होता है
OL = OM (CPCT)
इसलिए, AB = CD

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि किसी चतुर्भुज के अंत:कोणों के समद्विभाजकों से बना चतुर्भुज (यदि सम्भव हो) चक्रीय होता है।
हल:
आकृति में, ABCD एक चतुर्भुज है जिसके अंत:कोणों A, B, C और D के क्रमशः कोण समद्विभाजक AH, BE CF और DH एक चतुर्भुज EFGH बनाते हैं।

अब ∠FEH = ∠AEB
= 180° - ∠EAB - ∠EBA
= 180° - \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B)
तथा ∠FGH = ∠CGD
= 180° - ∠GCD - ∠GDC
= 180° - \(\frac{1}{2}\)(∠C + ∠D)
अतः ∠FEH + ∠FGH
= 180° - \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B) + 180° - \(\frac{1}{2}\)(∠C + ∠D)
= 360° - \(\frac{1}{2}\)(∠A + ∠B + ∠C + ∠D)
= 360° - \(\frac{1}{2}\)× 360°
= 360° - 180° = 180°
इसलिए, चतुर्भुज EFGH चक्रीय है क्योंकि यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180° हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज होता है।

प्रश्न 9.
AB और CD वृत्त की दो जीवाएँ इस प्रकार हैं कि AB = 10 सेमी., CD = 24 सेमी. और AB || CD है। AB एवं CD के बीच की दूरी 17 सेमी. है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 0 वृत्त का केन्द्र है। इसमें AB = 10, CD = 24 सेमी. वृत्त की दो जीवाएँ हैं। इनके बीच की दूरी 17 सेमी. है।

माना वृत्त की त्रिज्या = r सेमी.
और OP = x सेमी.
AP = \(\frac{10}{2}\) = 5 सेमी.
CQ = \(\frac{24}{2}\) = 12 सेमी.
समकोण त्रिभुज APO में
(AO)² = (AP)² + (OP)²
(r)² = (5)² + (x)² .....(i)
समकोण त्रिभुज OQC में
(CO)² = (OQ)² + (CQ)²
r² = (17 - x)² + (12)² .....(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को बराबर करने पर
(5)² + (x) ² = (17 - x)² + (12)²
⇒ 25 + x² = 289 - 34x + x² + 144
⇒ 25 = - 34x + 433
⇒ 34x = 408
⇒ x = \(\frac{408}{34}\) = 12 सेमी.
x का मान समीकरण (i) में रखने पर
(r)² = (5)² + (x)²
r² = (5)² + (12)²
= 25 + 144 = 169
r = √169 = 13 सेमी.
अत: वृत्त की त्रिज्या = 13 सेमी. उत्तर