RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति

Rajasthan Board RBSE Class 9 Maths Important Questions Chapter 1 संख्या पद्धति Important Questions and Answers.

RBSE Class 9 Maths Chapter 1 Important Questions संख्या पद्धति

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
\(\frac{3}{\sqrt{48}-\sqrt{75}}\) का मान है
(A) -√3
(B) +√3
(C) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(D) -\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
उत्तर:
(A) -√3

प्रश्न 2.
\(\sqrt{32} \div \sqrt{2} \)बराबर है
(A) \(\sqrt{30}\)
(B) 4
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) 16
उत्तर:
(B) 4

प्रश्न 3.
\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})\) बराबर है
(A) 2(√5 + √3)
(B) \(\frac{1}{2}(√5 - √3)\)
(C) \(\frac{1}{3}(√5 - √3)\)
(D) (√5 - √3)
उत्तर:
(D) (√5 - √3)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय है?
(A) √9 - 2
(B) (2 - √2)(2 + √2)
(C) (√5 +2)
(D) \(-\sqrt{64}\)
उत्तर:
(C) (√5 +2)

प्रश्न 5.
\(\sqrt{8} \times \sqrt{18} \times \sqrt{400}\) बराबर है
(A) 120
(B) 180
(C) 240
(D) 300
उत्तर:
(C) 240

प्रश्न 6.
\(\frac{1}{3+\sqrt{2}}\) के बराबर निम्न विकल्प में से एक है
(A) \(\frac{3+\sqrt{2}}{7}\)
(B) \(\frac{3-\sqrt{2}}{7}\)
(C) \(\frac{3+\sqrt{2}}{11}\)
(D) \(\frac{3-\sqrt{2}}{11}\)
उत्तर:
(B) \(\frac{3-\sqrt{2}}{7}\)

प्रश्न 7.
निम्न में से धनात्मक परिमेय संख्या है
(A) \(\frac{-7}{8}\)
(B) \(\frac{7}{-8}\)
(C) \(\frac{-7}{-8}\)
(D) \(\frac{-8}{7}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{-7}{-8}\)

प्रश्न 8.
\(\frac{5}{6}\) को ऐसी परिमेय संख्या के रूप में जिसका हर 18 हो, में बदलने पर संख्या प्राप्त होगी
(A) \(\frac{18}{5}\)
(B) \(\frac{18}{15}\)
(C) \(\frac{15}{18}\)
(D) \(\frac{5}{18}\)
उत्तर:
(C) \(\frac{15}{18}\)

प्रश्न 9.
0.01 को परिमेय संख्या में बदलने पर मान होगा
(A) \( \frac{1}{10}\)
(B) \(\frac{1}{100}\)
(C) \(\frac{1}{1000}\)
(D) \(\frac{1}{10000}\)
उत्तर:
(B) \(\frac{1}{100}\)

प्रश्न 10.
\(\frac{327}{500} \)का दशमलव रूप होगा
(A) 65.4
(B) 654
(C) 6.54
(D) 654
उत्तर:
(D) 654

रिक्त स्थानों की पूर्ति करो

प्रश्न 1.
29.999..... का \(\frac{p}{q}\) रूप _____________
उत्तर:
30

प्रश्न 2.
(x^-1 + y^-1)^-1 का सरल रूप _____________ है।
उत्तर:
\(\frac{x y}{x+y}\)

प्रश्न 3.
यदि (16)^2x+3 = (64)^x+3, तब 4^2x-2 = ___________
उत्तर:
256

प्रश्न 4.
यदि a, m, n धनात्मक पूर्णांक हैं तब \(\{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\}^{m n}\) = ___________ है।
उत्तर:
a

प्रश्न 5.
यदि \(\frac{5-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\) = x + y√3, तब x = ___________ और y = ___________
उत्तर:
13, -7

प्रश्न 6.
\(\sqrt[4]{(256)^{-2}}\) का मान ___________ है।
उत्तर:
\(\frac{1}{16}\)

प्रश्न 7.
\(\sqrt{3-2 \sqrt{2}}\) का मान ___________ है।
उत्तर:
√2 - 1

प्रश्न 8.
यदि x = \(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\), तब x³ + \(\frac{1}{x^{3}} \)= ___________
उत्तर:
4

सत्य/असत्य-निम्नलिखित कथनों के लिए सत्य अथवा असत्य लिखिए

प्रश्न 1.
यदि x² = 0.4, तब x एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 2.
दो अपरिमेय संख्याओं के बीच कोई परिमेय संख्या नहीं होती।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
a^pb^p = (ab)^p
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
दो संयुग्मी अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 5.
2.02002000200002...... एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 6.
यदि परिमेय और 5 अपरिमेय है, तब r ± s परिमेय संख्याएँ हैं।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 7.
0 एक अपरिमेय संख्या है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 8.
द्विपदी द्विघाती अपरिमेय संख्या का सरलतम परिमेयकरण गुणनखण्ड इसका संयुग्मी होता है।
उत्तर:
सत्य

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
2 और 3 के मध्य एक परिमेय संख्या लिखिए।
हल:
2 और 3 के बीच परिमेय संख्या
= \(\frac{2+3}{2}=\frac{5}{2}\)

प्रश्न 2.
दो ऐसी अपरिमेय संख्यायें लिखिए कि उनका योगफल एक परिमेय संख्या हो।
हल:
2 + √3, 2 - √3

प्रश्न 3.
दो ऐसी अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण । दीजिए जिनका गुणनफल एक परिमेय संख्या हो।
हल:
2, √3
इनका गुणनफल = √2 × √3 = 16 आता है, जो कि एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 4.
दो ऐसी अपरिमेय संख्याओं का उदाहरण दीजिए जिनका भागफल एक परिमेय संख्या हो।
हल:
\(\sqrt{18}\), √2.
चूँकि \(\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \)= 3 जो कि एक परिमेय संख्या है।

प्रश्न 5.
यदि x एक परिमेय संख्या तथा y एक अपरिमेय संख्या हो, तो x + y किस प्रकार की संख्या होगी?
हल:
अपरिमेय।

प्रश्न 6.
यदि a एक परिमेय संख्या और b एक अपरिमेय संख्या हो, तो ab किस प्रकार की संख्या होगी?
हल:
अपरिमेय।

प्रश्न 7.
√5 + 1 का परिमेयकारी गुणक लिखिए।
हल:
√5 - 1

प्रश्न 8.
\(\frac{1}{2+\sqrt{3}}\) के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल:
अंश तथा हर में (2 - √3) से गुणा करने पर

प्रश्न 9.
\(\frac{1}{7-2 \sqrt{3}}\) के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल:
अंश तथा हर में (7 + 2√3) से गुणा करने पर

प्रश्न 10.
2√2 + 5√3 और √2 - 3√3 को जोड़िए।
हल:
(2√2 + 5√3)+ (/2 - 3√3)
= (2√2 + √2) + (5√3 - 3√3)
= (2 + 1)√2 + (5 - 3)√3 = 3√2 + 2√3

प्रश्न 11.
8√15 को 2√3 से भाग दीजिए।
हुल:
8\( \sqrt{15} \div 2 \sqrt{3}=\frac{8 \sqrt{3 \times 5}}{2 \sqrt{3}}=\frac{8 \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}\)
= 4√5

प्रश्न 12.
\(\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\) के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल:
\(\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\)
अंश व हर में √3 + √5 का गुणा करने पर
= \(\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
= \(\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{3-5}=\left(\frac{-5}{2}\right)(\sqrt{3}+\sqrt{5})\)

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
\(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \)= a + b√3 तब a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार है \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\) = a + b√3
दी गई संख्या में √3 - 1 का अंश व हर में गुणा

∴ a + b√3 = 2 + (- 1)√3
दोनों पक्षों की तुलना करने पर
a = 2, b = (- 1)

प्रश्न 2.
\(2.\overline{37} \)को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
हल:
माना कि x = 2\(\overline{37}\)
x = 2.373737...........(i)
दोनों पक्षों में 100 का गुणा करने पर
100x = 100 × (2.373737.....)
100x = 237.373737

समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
99x = 235
x = \(\frac{235}{99}\)

प्रश्न 3.
√2 को संख्या रेखा पर प्रदर्शित कीजिए।
हल:
√2 का संख्या रेखा पर प्रदर्शन माना कि 1 एकक = 1 सेमी. संख्या पर AX पर 1 सेमी की दूरी पर A (शून्य) से 1, 2, 3, ..... भाग अंकित किए गए। इस प्रकार AB = 1 सेमी., अब AB के बिन्दु B पर परकार की सहायता से 90° का कोण बनाइए। बिन्दु B से 1 सेमी. का लम्बा चाप काटिए जो समकोण की भुजा को बिन्दु C पर काटता है। A व C को मिला दिया। यहाँ,
AC² = AB² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ AC = \(\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}\)

= \(\sqrt{1+1}\) = √2
अर्थात् AC की लम्बाई = √2 सेमी होगी।
पुनः AC लम्बाई को परकार में भरकर बिन्दु A से एक चाप खींचिए जो AX संख्या रेखा को बिन्दु D पर काटता है। इस प्रकार संख्या रेखा पर AD = √2 सेमी = √2 एकक होगी।

प्रश्न 4.
\(3.\overline{2}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में प्रदर्शित कीजिए जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
हल:
माना x = 3.2 3.2222..... .....(i)
दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर
10x = 10 × (3.2222.....)
10x = 32.2222..... .....(ii)

समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
10x - x = (32.2222.....) - (3.2222.....)
9x = 29
x = \(\frac{29}{9}\)

प्रश्न 5.
नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य? कारण के साथ अपने उत्तर दो।
(i) प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या होती है।
(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होता है।
(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।
हल:
(i) असत्य है, क्योंकि शून्य एक पूर्ण संख्या है परन्तु प्राकृत संख्या नहीं है।
(ii) सत्य है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक M को \(\frac{m}{1}\) के रूप में लिखा जा सकता है व इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
(iii) असत्य है, क्योंकि \(\frac{3}{5}\) एक पूर्णांक नहीं है।

प्रश्न 6.
\(\frac{1}{7}\) और \(\frac{2}{7}\) के बीच की एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
हम हल कर सकते हैं कि
\(\frac{1}{7}\) = \(0 . \overline{142857}\)
तथा यह भी सरलता से ज्ञात किया जा सकता है कि
\(\frac{2}{7}\) = \(0 . \overline{285714}\)
\(\frac{1}{7}\) और \(\frac{2}{7}\) के बीच की एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए हम एक ऐसी संख्या ज्ञात करते हैं जो इन दोनों के बीच स्थित अनवसानी अनावर्ती होती है। इस प्रकार की संख्याएँ \(\frac{1}{7}\) और \(\frac{2}{7}\) के बीच अपरिमित रूप से ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार की संख्या का एक उदाहरण 0.150150015000150000..... है।

प्रश्न 7.
जाँच कीजिए कि 7√5, 7, √2 + 21, π - 2 अपरिमेय संख्याएँ हैं या नहीं।
हल:
हम जानते हैं कि √5 = 2.236....., √2 = 1.4142...., π = 3.1415...... है।
∴ अब 7√5 = 7 x 2.236..... = 15.652....
\(\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}\) = 3.1304.....
√2 + 21 = 1.4142..... + 21 = 22.4142....
π - 2 = 3.1415..... - 2 = 1.1415.....
उपर्युक्त सभी संख्याएँ अनवसानी अनावर्ती दशमलव हैं। अतः ये सभी अपरिमेय संख्याएँ हैं।

प्रश्न 8.
निम्नलिखित व्यंजकों को सरल कीजिए
(i) (5+ √7)(2+ √5)
हल:
(5 + √7)(2 + √5)
=10 + 5√5 + 2√7 + √35

(ii) (5+ √5)(5 - √5)
हल:
(5 + √5)(5 - √5)
= (5²) - (√5)² = 25 - 5 = 20

(iii) (√3 + 7)²
हल:
(√3 + √7)²
= (√3)² + 2√3√7 + (√7)²
= 3 + 2√21 + 7 = 10 + 2√21

(iv) (√11 - √7)(√11 + √7)
हल:
(√11 - √7)(√11 + √7)
=(√11)² - (√7)² = 11 - 7 = 4

प्रश्न 9.
आपने देखा है कि √2 परिमेय संख्या नहीं है। दिखाओ कि 2 + √2 भी परिमेय संख्या नहीं है।
हल:
माना कि 2 +2 एक परिमेय संख्या r है।
∴ 2 + √2 = r
⇒ √2 = r - 2 ......(i)
∵ r तथा - 2 परिमेय संख्याएँ हैं अतः r - 2 भी एक परिमेय संख्या होगी।
तथा (i) के अनुसार √2 = एक परिमेय संख्या है जो कि असत्य है।
[∵ √2 परिमेय संख्या नहीं होती है।]
∴ हमारा माना हुआ कथन या संभावना सत्य नहीं है।
अत: 2 + √2 एक परिमेय संख्या नहीं है।

प्रश्न 10.
कारण सहित बताइए कि क्या √8 × √6 एक अपरिमेय संख्या है?
हल:
√8 × √6 = \(\sqrt{8 \times 6}\)
[सूत्र \(\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b}\) के अनुसार]
= \(\sqrt{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\)
= (√2)⁴ × √3 = 2² × √3 [सूत्र (\(\sqrt[n]{a})^{n}\)) = a के अनुसार]
= 4√3 = एक अपरिमेय संख्या क्योंकि एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या 3 का गुणनफल भी एक अपरिमेय संख्या होता है।
∴ √8 x √6 एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 11.
(1³ + 2³ + 3³)^-5/2 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 12.
यदि x, y, z वास्तविक धनात्मक संख्याएँ हैं तो सिद्ध करो कि
\(\sqrt{x^{-1} y} \cdot \sqrt{y^{-1} z} \cdot \sqrt{z^{-1} x}\) =1
हल:
प्रश्नानुसार \(\sqrt{x^{-1} y} \cdot \sqrt{y^{-1} z} \cdot \sqrt{z^{-1} x}\)

प्रश्न 13.
\(0 . \overline{235}\) को \(\frac{p}{q}\) के रूप में व्यक्त कीजिए जहाँ p वq पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
हल:
माना कि x = \(0 . \overline{235}\)
x = 0.235235235..... .....(i)
दोनों पक्षों में 1000 का गुणा करने पर
1000x = 1000 × (0.235235235.....)
1000x = 235.235235235..... .....(ii)
समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर
1000x - x = 235
999x = 235
x = \(\frac{235}{999}\)

प्रश्न 14.
लिखिए कि अग्रलिखित कथन सत्य हैं या असत्य
(i) 0 एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
सत्य

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या है।
उत्तर:
असत्य

(iii) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या है।
उत्तर:
सत्य

(iv) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है।
उत्तर:
सत्य

(v) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √P के रूप में होता है जबकि P एक प्राकृत संख्या है।
उत्तर:
असत्य

(vi) दो अपरिमेय संख्याओं का योग सदा एक अपरिमेय संख्या होती है।
उत्तर:
असत्य

(vii) (13+ √5)(13 - √5) एक परिमेय संख्या
उत्तर:
सत्य

(viii) 1 एक परिमेय संख्या है।
उत्तर:
असत्य

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
√3 को संख्या रेखा पर प्रदर्शित कीजिए।
हल:
√3 का संख्या रेखा पर प्रदर्शनसंख्या रेखा AX पर पूर्व में ज्ञात की गई लम्बाई AD = √2 काटी। पुनः बिन्दु D पर परकार की सहायता से 90° का कोण बनाइए। बिन्दु D से 1 सेमी. का लम्बा चाप काटिए जो समकोण की भुजा को बिन्दु E पर काटता है। बिन्दु A व E को मिलाइए। यहाँ,
AE = \(\sqrt{\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{DE}^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}}+1^{2}\)
= \(\sqrt{2+1}=\sqrt{3}\) सेमी. होगी।

अब AE दूरी को परकार में भरकर बिन्दु A से एक चाप खींचिए जो AX संख्या रेखा को बिन्दु F पर काटता है। इस प्रकार संख्या रेखा पर AF = √3 सेमी. = √3 एकक होगी।

प्रश्न 2.
सरल कीजिए
\(\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
हल:
\(\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
हर का परिमेयकरण करने पर

प्रश्न 3.
a और b का मान ज्ञात कीजिए
\(\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}\)
हल:
माना कि \(\frac{5+2 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}}\) = a + b√3
हर का परिमेयीकरण करने के लिए अंश व हर में 7 - 4√3 का गुणा करने पर

तुलना करने पर a = 11 तथा b = - 6

प्रश्न 4.
यदि x = \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) हो, तो ज्ञात कीजिए
(i) x² + \(\frac{1}{x^{2}}\)
(ii) x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\)
हल:
प्रश्नानुसार, x = \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
अंश व हर में \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) का गुणा करने पर

हर का परिमेयकरण करने पर

प्रश्न 5.
1 और 2 के बीच की पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
1 और 2 के बीच संख्याएँ


इस प्रकार 1 और 2 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ क्रमशः \(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{9}{8}\) तथा \(\frac{15}{8} \)हैं।

वैकल्पिक विधि - चूँकि हमें 1 तथा 2 के बीच 5 परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं अतः 5 + 1 = 6 को हर मानकर 1 व 2 को परिमेय संख्याओं के रूप में लिख सकते हैं । अर्थात् 1 = \(\frac{6}{6}\) तथा 2 = \(\frac{12}{6}\) । अब हम देख सकते हैं कि \(\frac{6}{6}\) तथा \(\frac{12}{6}\) के बीच परिमेय संख्याएँ क्रमशः \(\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}\) व \(\frac{11}{6}\) होंगी।

प्रश्न 6.
संख्या रेखा पर √8 का निर्धारण कीजिए।
हल:
आप जानते हैं कि 8 = (2)² + (2)²
अत: √8 की रचना हम एक ऐसे समकोण त्रिभुज के कर्ण की लम्बाई के रूप में कर सकते हैं जिसकी भुजाओं क्रमशः आधार तथा लम्ब की लम्बाइयाँ 2 और 2 हों। अब माना कि OX कोई संख्या रेखा है जिस पर 0 (शून्य) को और A, 2 एकक लम्बाई को प्रदर्शित करते हैं। अब एक रेखा AB ⊥ OA खींचिए अर्थात् AB लम्ब रेखा OA पर खींची जहाँ AB = 2 एकक

तब
OB = OA² + AB²
= 2² + 2² = 4 + 4 = 8

अब OX पर 0 के दाईं ओर एक बिन्दु अंकित किया जहाँ OP = OB। तब P बिन्दु ऐसा होगा जो अपरिमेय संख्या √8 को प्रदर्शित करेगा।

प्रश्न 7.
\(\frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}\) को हर का परिमेयकरण करके सरल कीजिए।
हल:
\(\frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}\)
प्रथम संख्या में 4 + √5 का तथा दूसरी संख्या में 4 - √5 का अंश व हर में गुणा करने पर

प्रश्न 8.
\(\left(\frac{256}{6561}\right)^{\frac{3}{8}}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
\(\left(\frac{6}{15}\right)^{3} \div\left(\frac{25}{32}\right)^{2} \times\left(\frac{45}{16}\right)^{3}\) को सरल कीजिए।
हल:
(s) (2) x(16) = (33) (32) (45) = (33) (2x2x2x2x2)

प्रश्न 10.
\(27^{\frac{2}{3}} \times 27^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{4}{3}}\) को सरल कीजिए।
हल:
\(27^{\frac{2}{3}} \times 27^{\frac{1}{3}} \times 27^{-\frac{4}{3}}\)

प्रश्न 11.
सिद्ध करो कि √3 - √2 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
माना कि √3 - √2 एक परिमेय संख्या है जो x के बराबर है अर्थात्
x = √3 - √2
⇒ x² = (√3 - √2)²
⇒ x² = 3 + 2 - 2√3√2
⇒ x² = 5 - 2√6
⇒ x² - 5 = - 2√6
⇒ \(\frac{5-x^{2}}{2}\) = √6
∴ x परिमेय संख्या है अतः x² भी परिमेय होगी।
⇒ \(\frac{5-x^{2}}{2}\) भी परिमेय है।
⇒ √6 भी परिमेय है।
लेकिन √6 एक अपरिमेय संख्या है। अतः हमारा प्रारम्भिक कथन कि √3 - √2 एक परिमेय संख्या है, असत्य है।
अतः √3 - √2 एक अपरिमेय संख्या है। (इति सिद्धम्)

प्रश्न 12.
सिद्ध करो कि
\(\frac{a^{-1}}{a^{-1}+b^{-1}}+\frac{a^{-1}}{a^{-1}-b^{-1}}=\frac{2 b^{2}}{b^{2}-a^{2}}\)
हल:

प्रश्न 13.
यदि x = 1 - √2 हो, तो \(\left(x-\frac{1}{x}\right)^{3}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार x = 1 - √2