RBSE Class 10 Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी

Rajasthan Board RBSE Class 10 Maths Important Questions Chapter 14 सांख्यिकी Important Questions and Answers.

RBSE Class 10 Maths Chapter 14 Important Questions सांख्यिकी

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी श्रेणी का बहुलक. मूल्य होता है-
(A) मध्यवर्ती मूल्य
(B) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य
(C) न्यूनतम बारम्बारता मूल्य
(D) सीमान्त मूल्य
उत्तरः
(B) सर्वाधिक बारम्बारता वाला मूल्य

प्रश्न 2.
निम्न श्रेणी का माध्यक मूल्य है-
520, 20, 340, 190, 35, 800, 1210, 50, 80
(A) 1210
(B) 520
(C) 190
(D) 35
उत्तरः
(C) 190

प्रश्न 3.
यदि 5, 7, 9, x का माध्य 9 हो, तो x का मान है
(A) 11
(B) 15.
(C) 18.
(D) 16
उत्तरः
(B) 15.

प्रश्न 4.
बंटन 2, 3, 4, 7, 5, 1 का माध्यक है-
(A) 4
(B) 7
(C) 11.
(D) 3.5
उत्तरः
(D) 3.5

प्रश्न 5.
बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक है-
(A) 7
(B) 4
(C) 3
(D) 1
उत्तरः
(B) 4

प्रश्न 6.
किसी स्कूल के छात्रों की संख्या उनकी आयु के अनुसार निम्न प्रकार है-

इनका बहुलक होगा
(A) 41
(B) 12
(C) 3
(D) 17
उत्तरः
(B) 12

प्रश्न 7.
यदि निम्न बंटन का माध्य 5 है, तो P का मान है-

(A) 8
(B) 7.5
(C) 7
(D) 6.5
उत्तरः
(B) 7.5

अतिलघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
प्रथम दस सम प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम दस सम संख्याएँ = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 हैं
अतः माध्य (x̄) = \(\frac{2+4+6+8+10+12+14+16+18+20}{2}\)
= \(\frac{110}{10}\)
= 11

प्रश्न 2.
बंटन 3, 5, 7, 4, 2, 1, 4, 3, 4 का बहुलक लिखिए।
उत्तर:
उपर्युक्त बंटन में 4 सर्वाधिक 3 बार आया है अत: बहुलक = 4 उत्तर

प्रश्न 3.
निम्न बंटन का माध्यक लिखिए-

हल:
\(\frac{n}{2}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5
यहाँ 5 संचयी बारम्बारता 5 में आता है जिसका मूल्य 6 है।
अतः माध्यकं = 6

प्रश्न 4.
निम्न बंटन में P का मान लिखिए-

हल:
10 - 7 = 3 अतः P = 3

प्रश्न 5.
निम्न तालिका से a का मान लिखिए-

हल:
a = 33 + 5 = 38

प्रश्न 6.
निम्न बारम्बारता बंटन का प्रत्यक्ष विधि से समान्तर माध्य ज्ञात कीजिये-

हल:

प्रश्न 7.
पदों 5, 6, 7, 9, k और 20 का समान्तर माध्य 11 है तो k का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

11 = \(\frac{5+6+7+9+k+20}{6}\)
⇒ 66 = 47 + k
⇒ k = 66 - 47 = 19

प्रश्न 8.
एक गाँव के 32 परिवारों में उसके सदस्यों की संख्या निम्न सारणी के अनुसार है

बंटन का बहुलक लिखिए।
उत्तर:
बहुलक = 6 ∵ 6 की बारम्बारता का मान सबसे अधिक है।

प्रश्न 9.
बहुलक के किसी प्रश्न को हल करने की एक स्थिति निम्न है
Z = 18 + \(\frac{15-8}{30-8-7}\) × 5
बहुलक वर्ग की बारम्बारता लिखिए।
उत्तर:
15

प्रश्न 10.
निम्नलिखित बाम्बारता सारणी को ध्यान से पढ़िये तथा b और d के मान ज्ञात कीजिये-

हल:
सारणी से स्पष्ट है कि
9 + b = 15
b = 15 - 9 = 6.
तथा 22 + 4 = d
d = 26

प्रश्न 11.
बंटन 1, 6, 3, 5, 7, 9, 11, 4, 9 का माध्यक तथा बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
आरोही क्रम में लिखने पर 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 9, 11
पदों की संख्या = 9 है जो कि विषम संख्या है।
अतः, माध्यक = \(\left(\frac{9+1}{2}\right)\) वाँ पद = 5वाँ पद
= 6
दिये गये बंटन में 9 की बारम्बारता 2 है जो कि सबसे अधिक है।
अतः दिये गये बंटन का बहुलक = 9

प्रश्न 12.
a₁, a₂, a₃ ............. a_n का माध्य A है, तो A का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 13.
यदि आँकड़ों का बहुलक और समान्तर माध्य क्रमशः 70 और 100 है तो माध्यिका (Median) ज्ञात कीजिये।
हल:
बहुलक = 70
समान्तर माध्य = 100 - 3
माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य
3 × माध्यिका = 70 + 2 × 100
3 × माध्यिका = 70 + 200 = 270
∴ माध्यिका = \(\frac{270}{3}\) = 90
अतः माध्यिका = 90

लघूत्तरात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए

हल:

प्रश्न 2.
निम्न बारम्बारता बंटन से माध्य ज्ञात कीजिए

हल:

X̄ = \(\frac{1520}{30}\) = 50.67 किग्रा (लगभग)

प्रश्न 3.
निम्न बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए

हल:

184.5 संचयी बारम्बारता 212 के अन्तर्गत आती है जो कि विचर 8.0 में है। अतः माध्यक = 8.0

प्रश्न 4.
क्रिकेट की एक टीम के खिलाड़ियों द्वारा बनाए गये रनों की संख्या निम्न प्रकार है
57, 17, 26, 91, 115, 26, 83, 41, 57, 0, 26.
इसका माध्य, माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माध्य X̄ = \(\frac{\sum x}{n}\)
= \(\frac{57+17+26+91+115+26+83+41+57+0+26}{11}\)
= \(\frac{539}{11}\) = 49 रन 

(ii) विचर की संख्याओं को आरोही क्रम में रखने पर 0, 17, 26, 26, 26, 41, 57, 57, 83, 91, 115.
यहाँ n = 11
अत: माध्यक M = \(\frac{n+1}{2}\)वीं संख्या = \(\frac{11+1}{2}\)वीं
संख्या = 6वीं संख्या
अतः माध्यक M = 41 रन

(iii)

यहाँ पर बारम्बारता 3 अधिकतम है। इसके संगत विचर का मान 26 है।
अतः बहुलक = 26 रन

प्रश्न 5.
यदि निम्नलिखित बारम्बारता बंटन का माध्य 7.5 हो, तो p का मान ज्ञात करो-

हल:

∵ Σ f_i = 41 + p तथा Σ f_ix_i = 303 + 9p
∴ समान्तर माध्य = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\)
⇒ 7.5 = \(\frac{303+9 p}{41+p}\)
⇒ 7.5 × (41 + p) = 303 + 9p
⇒ 307.5 + 7.5p = 303 + 9p = 4.5
p = 3

प्रश्न 6.
निम्न बारम्बारता बंटन के लिये माध्य ज्ञात कीजिये

हल:
दी गई बारम्बारता बंटन को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-

प्रश्न 7.
एक गाँव की ढाणी के 25 परिवारों का प्रतिदिन व्यय निम्न बारंबारता बंटन द्वारा दिया गया है।

प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:

= 49.6 रुपये
अतः प्रत्यक्ष विधि द्वारा परिवारों का माध्य = 49.6 रुपये

निबन्धात्मक प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न समूहित बारम्बारता बंटन का माध्यक ज्ञात कीजिए

हल:

माध्यक वर्ग = 100/2 = 50 अतः माध्यक वर्ग = (16 - 24)
l = 16, f = 30, C = 32, h = 8

प्रश्न 2.
निम्न बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए

हल:
यहाँ सबसे अधिक बारम्बारता 25 वर्ग 60 - 65 की है अतः बहुलक वर्ग = (60 - 65) है
अतः l = 60, f₁ = 25, f₂ = 10, f₀ = 20, h = 5
अतः बहुलक = l + \(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\) × h
= 60 + \(\frac{25-20}{2 \times 25-20-10}\) × 5
= 60 + \(\frac{5}{50-30}\) × 5
= 60 + 1.25
अतः बहुलक = 61.25 सेमी.

प्रश्न 3.
निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका 525 है। यदि बारम्बारताओं का योग 100 है, तो x और y का मान ज्ञात कीजिए:

हल:

यह दिया है कि n = 100 है।
अतः, 76 + x + y = 100 अर्थात् x + y = 24 ..... (i)
माध्यिका 525 है, जो वर्ग 500 - 600 में स्थित है।
अतः, l = 500, f = 20, cf = 36 + x, h = 100 है।
माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
525 = 500 + \(\left(\frac{50-36-x}{20}\right)\) × 100
या 525 - 500 = (14 - x) × 5
या 25 = 70 - 5x
या 5x = 70 - 25 = 45
अतः x = 9
इसलिए (i) से 9 + y = 24
∴ y = 15

प्रश्न 4.
किसी कक्षा के 30 विद्यार्थियों की मेडिकल जाँच के समय उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किये गये। छात्रों का माध्य भार ज्ञात कीजिये।

हल:
माना कल्पित माध्य (a) = 57.5 और वर्ग माप h = 5

Σf_iu_i = 2
यहाँ पर कल्पित माध्य (a) = 57.5
तथा वर्ग माप h = 5
∴ ū = \(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\)
= \(\frac{-2}{30}\) = - 0.0666
∵ माध्य (X̄) = a + hū
= 57.5 + 5 × (- 0.0666)
= 57.5 - 0.333
= 57.167 kg
अतः छात्रों का माध्य भार = 57.167 kg

प्रश्न 5.
निम्न आँकड़ों से माध्यिका ज्ञात कीजिए:

हल:
माध्यिका

यहाँ, Σf_i = n = 68 तो \(\frac{n}{2}\) = \(\frac{68}{2}\) = 54
जो कि वर्ग अन्तराल 125-145 में स्थित है।
∴ माध्यिका वर्ग = 125-145
अतः, = 125; n = 68; f = 20; c.f. 22 और h = 20

प्रश्न 6.
निम्न आँकड़े किसी विद्यालय कक्षा-X के 100 छात्रों के एक विशेष सत्र में दिये गये हैं। इस बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:
सही वर्गीकृत सारणी बनाने पर

यहाँ पर स्पष्ट है कि सबसे अधिकतम बारम्बारता (छात्रों की संख्या) 20 है, जिसका वर्ग अन्तराल 4050 है। अतः यहाँ पर बहु लक वर्ग अन्तराल (40-50) होगा और यहाँ पर f₁ = 20, f₀ = 12, f₂ = 11, l = 40 तथा h = 10
बहुलक का सूत्र Z = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
= 40 + \(\left(\frac{20-12}{40-12-11}\right)\) × 10
= 40 + \(\frac{8}{17}\) × 10
= 40 + \(\frac{8}{17}\) = 40 + 4.7
= 44.7

प्रश्न 7.
किसी मोहल्ले के एक शॉपिंग काम्प्लेक्स 1(shopping complex) की 30 दुकानों द्वारा अर्जित किए गए वार्षिक लाभों से निम्नलिखित बारम्बारता बंटन प्राप्त होता है:

उपर्युक्त आँकड़ों के लिए एक ही अक्षों पर दोनों तोरण खींचिए। इसके बाद माध्यक लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
पहले हम ग्राफ पेपर पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्ष खींचते हैं, जिनमें लाभ के अन्तरालों की निम्न सीमाएँ क्षैतिज अक्ष के अनुदिश लेते हैं और संचयी बारम्बारताओं का ऊर्ध्वाधर अक्ष के अनुदिश लेते हैं। फिर हम बिन्दुओं (5,30), (10, 28), (15, 16), (20, 14), (25, 10), (30, 7) और (35, 3) को आलेखित करके एक मुक्त हस्त वक्र से मिला देते हैं। इससे हमें 'से अधिक के प्रकार का' तोरण प्राप्त हो जाता है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। अब हम उपर्युक्त सारणी से वर्ग अन्तराल, संगत बारम्बारतायें और संचयी बारम्बारतायें प्राप्त करते हैं।


इन मानों का प्रयोग करके हम (10, 2), (15, 14), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35,27), (40, 30) को पहली वाली आकृति वाले आलेख में आलेखित करते हैं। फिर इनको एक मुक्त हस्त वक्र द्वारा मिलाकर 'से कम के प्रकार का' तोरण प्राप्त करते हैं, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। इनके प्रतिच्छेद बिन्दु से क्षैतिज अक्ष पर लम्ब डालने पर जो क्षैतिज अक्ष और लम्ब का प्रतिच्छेद बिन्दु है, उसी के संगत मान से माध्यक प्राप्त होता है। यह माध्यक 17.5 लाख रुपये है।

प्रश्न 8.
गणित की एक परीक्षा में 30 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किये गए अंकों का बंटन निम्नलिखित हैं

इन आँकड़ों से कल्पित माध्य विधि से माध्य ज्ञात कीजिए एवं बहुलक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

∵ माध्य (X̄) = a + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
= 47.5 + \(\frac{435}{30}\)
= 47.5 + 47.5
माध्य (X̄) = 62
अतः विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का माध्य 62 है।
दी गई बारंबारता सारणी से अधिकतम बारंबारता 7 है।
अतः बहुलक वर्ग = 40 - 55
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (l) = 40, वर्गमाप (h) = 15, बहुलक वर्ग की बारंबारता (f₁) = 7, बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबरता (f₀) = 3, तथा बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (f₂) = 6

बहुलक = 52
अतः उपरोक्त आँकड़ों का बहुलक 52 है।

प्रश्न 9.
यदि नीचे दिये हुए बंटन का माध्य 50 हो, तो x वy के मान ज्ञात करें

हल:

माध्य का योग करने पर = 170 + 30x + 1600 + 70y + 1710
= 30x + 70y + 3480
बारम्बारता का योग करने पर = 17 + x + 32 + y + 19 = 120
= x + y + 68 = 120
या x + y = 120 - 68 = 52
∴ x + y = 52
∵ X̄ = \(\frac{\Sigma f \times x}{N}\)
∴ \(\frac{50}{1}=\frac{30 x+70 y+3480}{120}\)
या 6000 = 30x + 70y + 3480
या 30x + 70y = 6000 - 3480 = 2520
या 3x + 7y = 252 ............. (2)
x + y = 52 ................ (1)
समीकरण (1) में 7 का गुणा करने पर

x का यह मान समीकरण (1) में रखने पर
x + y = 52
28 + y = 52
y = 52 - 28 = 24
∴ x = 28 तथा y = 24

प्रश्न 10.
निम्न बंटन का कल्पित माध्य मानकर माध्य x̄ ज्ञात कीजिए

अथवा
निम्न बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए

हल:

∵ माध्य (X̄) = a + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
[यहाँ कल्पित माध्य = 47.5]
= 47.5 + \(\frac{465}{30}\)
= 47.5 + 15.5
माध्य (X̄) = 63
अतः कल्पित माध्य की विधि से माध्य (X̄) = 63 उत्तर
अथवा
दिए गए आँकड़ों में अधिकतम बारंबारता 61 है और इसकी संगत वर्ग अन्तराल 60-80 है।
∴ बहुलक वर्ग = 60 - 80
अतः यहाँ l = 60, f₁ = 61, f_o = 52, f₂ = 38 और h = 20

अर्थात् बहुलक = 65.62

प्रश्न 11.
निम्नलिखित सारिणी एक स्कूल की कक्षा X के 50 विद्यार्थियों के गणित में प्राप्त अंकों को दर्शाती है।

माध्यक अंक ज्ञात कीजिए।
हल:

अतः n = 50 है अतः \(\frac{n}{2}\) = \(\frac{50}{2}\) = 25
यह प्रेक्षण अन्तराल 50-60 में आता है। तब,
l = 50
माध्यक वर्ग 50-60 के ठीक पहले वर्ग की संचयी बारंबारता (cf) = 22,
माध्यक वर्ग 50-60 की बारंबारता f = 12 तथा वर्ग माप h = 10 है।
सूत्र, माध्यक = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है।
माध्यक = 50 + \(\left(\frac{25-22}{12}\right)\) × 10
= 50 + \(\frac{3 \times 10}{12}\)
= 50 + \(\frac{30}{12}\)
= 50 + 2.5
= 52.5
अतः माध्यक = 52.5 अंक है।