RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.5

Rajasthan Board RBSE Solutions for Class 8 Maths Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ  Ex 9.5 Textbook Exercise Questions and Answers.

RBSE Class 8 Maths Solutions Chapter 9 बीजीय व्यंजक एवं सर्वसमिकाएँ Ex 9.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित गुणनफलों में से प्रत्येक को प्राप्त करने के लिए उचित सर्वसमिका का उपयोग कीजिए
(i) (x + 3) (x + 3)
हल:
(x + 3) (x + 3) = x² + (3 + 3)x + (3) (3)
[(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर]
= x² + 6x + 9 उत्तर
अथवा (x + 3) (x + 3) = (x + 3)² = x² + 2(3)x + (3)²
[(a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= x² + 6x + 9 उत्तर

(ii) (2y + 5) (2y + 5)
हल:
(2y + 5) (2y + 5) = (2y)² + (5 + 5) (2y) + (5)(5)
[(x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab का प्रयोग करने पर]
= 4y² + 20y + 25
अथवा (2y + 5) (2y + 5)
= (2y + 5)²
= (2y)² + 2(2y) (5) + (5)²
[(a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 4y² + 20y + 25 उत्तर

(iii) (2a - 7) (2a - 7)
हल:
(2a - 7) (2a - 7) = (2a - 7)²
= (2a)² - 2(2a) (7) + (7)²
(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 4a² - 28a + 49 उत्तर

(iv) (3a - \(\frac{1}{2}\))(3a - \(\frac{1}{2}\))
हल:
(3a - \(\frac{1}{2}\)) (3a - \(\frac{1}{2}\)) = (3a - \(\frac{1}{2}\))²
= (3a)² - 2(3a)(\(\frac{1}{2}\)) + (\(\frac{1}{2}\))²
[(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 9a² - 3a + \(\frac{1}{4}\) उत्तर

(v) (1.1m - 0.4) (1.1m + 0.4)
हल:
(1.1m - 0.4) (1.1m + 0.4)
= (1.1m)² - (0.4)² [(a - b) (a + b) = a² - b² का प्रयोग करने पर]
= 1.21m² - 0.16 उत्तर

(vi) (a + b) (a + b)
हल:
(a² + b²)(- a² + b²) = (b² + a²) (b² - a²)
= (b²)² - (a²)²
[(a + b) (a - b) = a² - b² का प्रयोग करने पर]
= b⁴ - a⁴ उत्तर

(vii) (6x - 7) (6x + 7)
हल:
(6x - 7) (6x + 7) = (6x)² - (7)²
= 36x² - 49 उत्तर
[(a + b) (a-b) = a² - b² का प्रयोग करने पर

(viii) (- a + c) (- a + c)
हल:
(- a + c) (- a + c) = (- a + c)²
= (-a)² + 2(-a) (c) + (c)²
[(a + b)² = a² - 2ab - b² का प्रयोग करने पर]
= a² - 2ac + c² उत्तर

(ix) (\(\frac{x}{2}\)+\(\frac{3 y}{4}\)) (\(\frac{x}{2}\)+\(\frac{3 y}{4}\))
हल:

(x) (7a - 9b) (7a - 9b)
हल:
(7a - 9b) (7a - 9b) = (7a - 9b)²
= (7a)² - 2(7a) (9b) + (9b)²
[(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 49a² - 126ab + 81b² उत्तर

प्रश्न 2.
निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात करने के लिए, सर्वसमिका (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab का उपयोग कीजिए
(i) (x + 3) (x + 7)
हल:
(x + 3) (x + 7) = x² + (3 + 7)x + 3x7.
= x² + 10x + 21 उत्तर

(ii) (4x + 5) (4x + 1)
हल:
(4x + 5) (4x + 1) = (4x)² + (5 + 1)(4x) + 5 × 1
= 16x² + 24x + 5 उत्तर

(iii) (4x - 5) (4x - 1)
हल:
(4x - 5) (4x - 1) = [4x + (- 5)] [4x + (-1)]
= (4x)² + (- 5 - 1) (4x) + (- 5)(- 1)
= 16x² - 24x + 5 उत्तर

(iv) (4x + 5) (4x - 1)
हल:
(4x + 5) (4x - 1) = (4x + 5) [4x + (-1)]
= (4x)² + [5+ (-1)] (4x) + (5) (-1)
= 16x² + 16x - 5 उत्तर

(v) (2x + 5y) (2x + 3y)
हल:
(2x + 5y) (2x + 3y)
= (2x)² + (5y + 3y) (2x) + (5y) (3y)
=4x² + 16xy + 15y² उत्तर

(vi) (2a² + 9) (2a² + 5)
हल:
(2a² + 9) (2a² + 5)
= (2a²)² + (9 + 5) (2a²) + (9) (5)
= 4a⁴ + 28a² + 45 उत्तर

(vii) (xyz - 4) (xyz - 2)
हल:
(xyz - 4) (xyz - 2) = (xyz)² + (- 4 - 2) (xyz)+ (- 4) (- 2)
= x²y²z² - 6xyz + 8 उत्तर

प्रश्न 3.
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित वर्गों को ज्ञात कीजिए
(i) (b - 7)²
हल:
(b - 7)² = b² - 2(b) (7) + (7)²
= b² - 14b + 49 उत्तर

(ii) (xy + 3z)²
हल:
(xy + 3z)² = (xy)² + 2(xy) (3z) + (3z)²
= x²y² + 6xyz + 9z² उत्तर

(iii) (6x² - 5y)²
हल:
(6x² - 5y)² = (6x²)² - 2(6x²) (5y) + (5y²)
= 36x⁴ - 60x²y + 25y² उत्तर

(iv) (\(\frac{2}{3}\)m + \(\frac{3}{2}\)n)²
हल:

(v) (0.4p - 0.5q)²
हल:
(v) (0.4p - 0.5q)² = (0.4p)² - 2(0.4p) (0.5q) + (0.5q)²
= 0.16p² - 0.04pq + 0.25q² उत्तर

(vi) (2xy + 5y)²
हल:
(2xy + 5y)² = (2xy)² + 2(2xy) (5y) + (5y)²
= 4x²y² + 20xy² + 25y² उत्तर

प्रश्न 4.
सरल कीजिए
(i) (a² - b²)²
हल:
(a² - b²)² = (a²)² - 2(a²) (b²) + (b²)²
[(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= a⁴ - 2a²b² + b⁴ उत्तर

(ii) (2x + 5)² - (2x - 5)²
हल:
(2x + 5)² - (2x - 5)²
= (4x² + 20x + 25) - (4x² - 20x + 25)
= 4x² + 20x + 25 - 4x² + 20x - 25
= 40x

(iii) (7m - 8n)² + (7m + 8n)²
हल:
(7m - 8n)² + (7m + 8n)²
= (49m² - 112mn + 64n²) + (49m² + 112mn + 64n²)
= 49m² - 112mn + 64n² + 49m² + 112m + 64n²
= 98m² + 128n²

(iv) (4m + 5n)² + (5m + 4n)²
हल:
(4m + 5n)² + (5m + 4n)²
= (16m² + 40mn + 25n²) + (25m² + 40mn + 16n²)
= (16 + 25)m² + (40 + 40)mn + (25 + 16)n²
= 41m² + 80mn + 41n²

(v) (2.5p - 1.54)² - (1.5p - 2.5q)²
हल:
(v) (2.5p - 1.5q)² - (1.5p - 2.59)²
= (6.25p² - 7.5pq + 2.25q²) - (2.25p² - 7.5pq + 6.25²)
= (6.25 - 2.25)p² + (- 7.5 + 7.5) pq + (2.25 - 6.25)q²
= 4p² + (0)pq - 4q
= 4p² - 4q²

(vi) (ab + bc)² - 2ab²c
हल:
(ab + bc)² - 2ab²c
= (ab)² + 2(ab) (bc) + (bc)² - 2ab²c
= a²b² + 2ab²c + b²c² - 2ab²c
= a²b² + b²c²

(vii) (m² - n²m)² + 2m³n²
हल:
(m² - n²m)² + 2m³n²
= m⁴ - 2(m²)(n²m) + (n²m)² + 2m³n²
= m⁴ - 2m³n² + n⁴m² + 2m³n²
= m⁴ + n⁴m²

प्रश्न 5.
दराईए कि
(i) (3x + 7)² - 84x = (3x - 7)²
हल:
बायाँ पक्ष = (3x + 7)² - 84x
= (9x² + 42x + 49) - 84x
= 9x² - 42x + 49
= (3x)² - 2(3x)(7) + (7)²
= (3x - 7)² = GRŤ TE

(ii) (9p - 5q)² + 180pq = (9p + 5)²
हल:
बायाँ पक्ष = (9p - 5q)² + 180pq
= 81p² - 90pq + 25q² + 180pq
= 81p2² + 90 pq + 25q²
= (9p)² + 2(9p)(5q) + (5q)²
= (9p + 5q)² दायाँ पक्ष

(iii) (\(\frac{4}{3}\)m - \(\frac{3}{4}\)n)² + 2mn = \(\frac{16}{9}\)m² + \(\frac{9}{16}\)n²
हल:

(iv) (4pq + 3q)² - (4pq - 3q)² = 48pq²
हल:
(iv) बायाँ पक्ष = (4pq + 34)² - (4pq - 3q)²
= (16p²q² + 24pq² + 9q²) - (16p²q² - 24pq² + 9q²)
= 48pq² = दायाँ पक्ष

(v) (a - b) (a + b) + (b - c)(b + c) + (c - a) (c + a) = 0
हल:
बायाँ पक्ष = (a - b) (a + b) + (b - c) (b + c) + (c - a) (c + a)
= a² - b² + b² - c² + c² - a²
= (a² - a²) + (-b² + b²) + (-c² + c²)
= 0 + 0 + 0 = 0 = दायाँ पक्ष

प्रश्न 6.
सर्वसमिकाओं के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए
(i) 71²
हल:
प्रश्नानुसार
71² = (70 + 1)²
= (70)² + 2 × 70 × 1 + (1)²
[(a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 4900 + 140 + 1 = 5041 उत्तर

(ii) 99²
हल:
99² = (100 - 1)²
= (100)² - 2 × 100 × 1 + (1)²
[(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 10000 - 200 + 1 = 9801 उत्तर

(iii) 102²
हल:
102² = (100 + 2)²
= (100)² + 2 × 100 × 2 + (2)²
[(a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 10000 + 400 + 4 = 10404 उत्तर

(iv) 998²
हल:
998² = (1000 - 2)²
= (1000²) - 2 × 1000 × 2 + (2)²
[(a - b)² = a² - 2ab+ b² का प्रयोग करने पर]
= 1000000 - 4000 + 4 = 996004 उत्तर

(v) 5.2²
हल:
5.2² = (5 + 0.2)²
= (5)² + 2 × 5 × 0.2 + (0.2)²
[(a + b)² = a² + 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 25 + 2 + 0.04 = 27.04 उत्तर

(vi) 297 × 303
हल:
297 × 303 = (300 - 3) × (300 + 3)
= (300)² - (3)²
[(a - b) (a + b) = a² - b² का प्रयोग करने पर]
= 90000 - 9 = 89991 उत्तर

(vii) 78 × 82
हल:
78 × 82 = (80 - 2) × (80 + 2)
= (80)² - (2)²
[(a - b) (a + b) = a²b² का प्रयोग करने पर]
= 6400 - 4 = 6396 उत्तर

(viii) 8.9²
हल:
8.9² = (9 - 0.1)²
= (9)² - 2(9)(0.1) + (0.1)²
[(a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर]
= 81 - 1.8 + 0.01 = 79.21 उत्तर

(ix) 1.05 × 9.5
हल:
1.05 × 9.5 = (1 + 0.5)9.5
= 1 × 9.5 + 0.05 × 9.5
= 9.5 + 0.475 = 9.975 उत्तर

प्रश्न 7.
a² - b² = (a + b) (a - b) का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए
(i) 51² - 49²
हल:
51² - 49² = (51 + 49) (51 - 49)
= (100) (2) = 200 उत्तर

(ii) (1.02)² - (0.98)²
हल:
(1.02)² - (0.98)² = (1.02 + 0.98) (1.02 - 0.98)
= (2) (0.04) = 0.08 उत्तर

(iii) 153² - 147²
हल:
(153)² - (147)² = (153 + 147) (153 - 147)
= (300) (6) = 1800 उत्तर

(iv) 12.1² - 7.9²
हल:
12.1² - 7.9² = (12.1 + 7.9) (12.1 - 7.9)
= (20) (4.2) = 84 उत्तर

प्रश्न 8.
(x + a) (x + b) = x + (a + b)x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिए
(i) 103 × 104
(ii) 5.1 × 5.2
(iii) 103 × 98
(iv) 9.7 × 9.8
हल:
(i) 103 × 104 = (100 + 3) (100 + 4)
= (100)² + (3 + 4) (100) + (3) (4)
= 10000 + 700 + 12
= 10712 उत्तर

(ii) 5.1 × 5.2 = (5 + .1)(5 + .2)
= (5)² + (.1 + .2)(5) + (.1)(.2)
= 25 + 1.5 + 0.02
= 26:52 उत्तर

(iii) 103 × 98 = (100 + 3) [100 + (-2)]
= (100)² + [3 + (-2)] (100) + (3)(-2)
= 10000 + 100 -6
= 10094 उत्तर

(iv) 9.7 × 9.8 = (9 +.7)(9 +.8)
= (9)² + (.7+.8)(9) + (.7)(.8)
= 81+ 13.5 + 0.56 = 95.06 उत्तर